Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика, страница 7

Однако для немагнитных течений это уравнение имеет удивительно широкие приложения, например, в теории датчиков скорости — таких, как трубка Вентури, датчик с отверстием с острой кромкой и трубка Пито — и при определении силы реакции, действующей на изгиб горизонтальной трубы или в течении через каскад вентиляторов. Если, кроме того, заметить, что каждая комбинация магнитного слагаемого с известным слагаемым в интеграле Бернулли описывает новый класс течений жидкости, можно получить некоторое представление о том богатстве, которое магниты приносят в гидродинамику. И Величина Ре имеет одинаковое численное значение в единипак генРи на метр (Гн ° м «), тесла-метр на ампер (Тлям ° А '), ньютон иа квадратный ампер (Н ° А а) или кгпв иаэс а ° А т и и ° Тл' ° г! Это есть обобщенное уравнение Бернулли в дифференциальной форме без ограничения о постоянстве плотности.

Интегрируя уравнение (!.38) вдоль трубки тока от сечения 1 до сечения 2, получим т — + +д(йт — Ь«) — Ро~ — «(Н=О. (139) « Если магнитные жидкости предполагаются несжимаемыми, то р постоянно и обобщенное уравнение Бернулли представляется в виде о, Н~ Р, + Р о + РЯл« вЂ” Р~ ~ М ««Н = е зт Пб, Обобщенное уравнение Бернулли Простейший пример.

На вставке рис. 1.! изображена прозрач- ная цилиндрическая пробирка с прослойкой магнитной жид- кости между двумя несмешивающимися прозрачными жидко- стями с приблизительно такой же плотностью. Постоянные маг- ниты у противоположных стенок пробирки удерживают магнит- ную жидкость и формируют ее верхнюю и нижнюю поверхности раздела. Проанализируем форму мениска при помощи обоб- щенного уравнения Бернулли. Анализ. Выберем любые две точки на поверхности раздела и назовем их точками 1 и 2. Уравнение Бернулли (1.40) можно применить к жидкости с любой стороны мениска. Со стороны прозрачной жидкости имеем о~ = от= О, М~ = Мв = О, Р~ + Рй)т = Ра+ Рййт. Со стороны магнитной жидкости получим о,=о,=О, н1 и, Р1+ РИМ вЂ” !ье~ М "Н = Ра+ Рй)гя — !ао ~ М ЙН.

(1.42) а о Вычитая уравнение (1.41) из (1.42) и перегруппировывая сла- гаемые, находим н П ~ М (Н=О. (1.43) и, Так как величина намагниченности принимает только положительные значения, то уравнение (!.43) может выполняться, лишь когда значения поля одинаковы Н~ = На. (1.44) / 1 ! /~ Начальная фОралп н При этом существенным предположением является равенство давлений р, и рт в магнитной и обычной жидкостях. В общем случае это неверно (см. гл. 5). — Прим. дед. Рис. 1.13. Капелька магнитной жидкости под дейстянем однородного Это означает, что в рассматри- магнитного поля вытягивается.

наемом здесь приближении мениск следует вдоль поверхности постоянной величины магнитного поля. Магнитная жидкость ведет себя словно новый гауссметр. Задача, удовлетворяющая условиям уравнения Бернулли, но не решаемая здесь с его помощью, иллюстрируется рис. 1.13. Д Введение 38 Сферическая капелька магнитной жидкости под действием приложенного однородного магнитного поля вытягивается вдоль направления поля. Объяснение этого явления требует более глубокого анализа гл. 5, в которой рассматриваются магнитные и поверхностные силы, появляющиеся на поверхности разрыва.

1.7. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ И ЕГО ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Понятие напряжения и его тензорное представление вводится в магнетиках точно так же, как и в гидродинамике. Рассмотрим произвольный объем У, ограниченный поверхностью 5 (рис. !.14). Пусть М вЂ” равнодействующая сил, действующих Ряс. 1.14. К определению вектора яаяряжевяя. через элемент поверхности А5 с одной ее стороны на среду с другой ее стороны. Ясно, что сила М зависит как от величины А5, так и от вектора и — единичной внешней нормали к площадке А5. Средняя поверхностная сила или сила, отнесенная к единице площади А5, дается выражением М/А5. Согласно принципу напряжений Коши, это отношение стремится к определенному пределу е(1/Ы5 при Ь5- О в точке Р с радиус-вектором г. Это выражает принятую в механике точку зрения континуума и принимается как математически ожидаемое значение.

Величина е(1/е(5 называется вектором напряжения 1,(г): !пп ~ — 1 = — 1„(г). (1.45) — — я Следует помнить, что вектор напряжения, действующий на элемент поверхности, меняется в жидкости от точки к точке, а также зависит от ориентации элементарной площадки. Вектор напряжения также часто называют вектором натяжения'~. о В отечественной литературе используются термины «свлы внутренних напряжений» в «тензор напряжений». — Прим.

ред. зэ 1,7, Тензор напряжений и его физический смысл Чтобы описать напряженное состояние в данной точке Р, достаточно знать векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках в точке Р'>. Если эти три площадки Рис. 1.13. Кубик, введенный для определения компонент напряжений. лежат в координатных плоскостях декартовой системы коор- динат, то для векторов напряжения, согласно рис. 1.!5, имеем разложения (1.46а) (1.46Ь) (1.46с) $к = Ткк( + Тки! + Тккй 1 =Т к(+Т )+Т„к(с, " Это утверждение доказывается в равд. злп где Тк, — компонента вдоль оси к вектора напряжения, действующего на элементарную площадку с единичной нормалью 1; Т„к — компонента вдоль оси х вектора напряжения, действующего на элементарную площадку с единичной нормалью 1, и т.

д. Общее правило: компонента Тн представляет собой компоненту вектора напряжения вдоль 1-й оси системы координат, действующего на элементарную площадку с внешней нормалью, параллельной с'-й оси. Вектор напряжения 1, как определено выше, есть сила, рассчитанная на единицу площади, действующая со стороны +и элементарной площадки на вещество со стороны — и этой площадки. Также Ь н> — сила, действующая на вещество у стороны +и поверхности со стороны — и.

Из третьего или из второго 1. Введение 40 Теперь рассмотрим контрольный объем в виде тетраэдра, изображенный на рис. !.16. Применяя второй закон Ньютона, получим Ьа д(рч! — = а„1< „, + а„!< „>+ а,т<,<+ а1„, (1.48) где ч — скорость жидкости, р — плотность жидкости, а а„, а„, ав — площади граней, перпендикулярных осям х, у, г соответ- <-ч! ья и ая \< ! Рис. 1.1В. Тетрввдр, используемый при выводе выражения для дивдикв ивпряжеиий.

ственно. Разделив уравнение (!.48) на а, устремив й к нулю и используя уравнение (1.47), получим (1.49) Очевидна справедливость соотношений (см. рис. 1.16) й, йв й — =и.1, — =и 1, — =и 1<; й й й с учетом этих соотношений уравнение (149) приводится к виду 1„=и (14, + !1в+ к1,). (1.51) Выражение в скобках есть диадик и называется диадиком напряжений или тензором напряжений Т: Т = И„+ 11„+ И,. (1.52) (1.50) закона Ньютона для элемента поверхности й5 (пренебрежимо малой массы) следует $„= — 4< „ь (1.47) д7.

Тензор нанрлзсений и его физический смысл Таким образом, описать напряженное состояние в точке среды вовсе не так безнадежно трудно; для этого нужно всего лишь девять чисел. Введя тензор Т в уравнение (!.51), получим компактное выражение для вектора напряжения в символической записи и 1„= п ° Т. (1.54) Покажем, что для любого тензора Т выполняется равенство и. Т==Тт п, где Тт — транспонированный тензор. и Т=Тт п — постановка вопроса в символической записи; лаеа ° Тне;е, = Тне;е1 пиен — покомпонентнаЯ запись; п,Тнег = Т1сесн! — уничтожение ортогональных векторов; исТие! — — Тне1н, — перестановка немых индексов; п Т = Тт и — что и требовалось доказать.

Заметим, что только когда тензор Т симметричен, можно писать и. Т=Т и. Сила, определяемая тензором напряжений Как следует из уравнения (1.54), вектор напряжения 1„, действующий на любую элементарную площадку е(5, получается сверткой единичной нормали п к площадке с(5 с тензором напряжений Т, т. е. п.Т. Суммируя векторы напряжения, действующие на дифференциальные элементы поверхности, по всей поверхности тела, находим полную поверхностную силу„действуюсцую на тело: Р=$!лй5=$п Тс!5. (1.55) Полная сила, действующая на тело, представляется следующим выражением, которое получается в результате преобразования последнего интеграла в уравнении (1.55) по теореме о дивер- генции для тензора: (1. 56) о В приложении ! дана сводка формул в символической записи. Подставив соотношения (1.46) в определение (1.52), получим развернутую форму записи тензора напряжений Т = Т„„11+ Тка Ц + Так(к + Тз„)1 (- Т„„Д -1. Те,д + Т„(11 + + Т,„Ц + Т„И1.

(1.53) /. Введение Поэтому подынтегральное выражение т Т может рассматриваться как выражение для плотности силы, или силы на единицу объема 1; это выражение компактно записывается в виде 1=!/ Т. (1.57) Полученное выражение для плотности силы 1, определяемой тензором напряжений, является столь важным результатом, что мы выведем его еще раз, используя дифференциальную формулировку Эйлера. Рассмотрим снова «кубик» с напряжениями на рис. !.15 и запись векторов напряжений в виде разложений (1.46). На каждой стороне кубика для компонент напряжения можно записать следующие выражения.

Для грани с нормалью ! компонента напряжения вдоль оси х равна Т„„. Для противоположной грани с нормалью — ! компонента напряжения вдоль оси х есть Т„, + (дТ„„/дх) ( — Ьх), где Ьх— длина стороны кубика вдоль оси х. Аналогично для грани с нормалью ) компонента напряжения вдоль оси х равна Т„„, а такая же компонента для противоположной грани равна Та, + (дТ„,!ду) ( — Ьу). Соответствующее выражение для грани с нормалью (с есть Т,„+ (дТ,„/дх) ( — Ьх). Грань с нормалью 1 имеет площадь Ьубг; поэтому сила, определяемая напряжениями на этой и противоположной гранях, дается выражением ~Т»» [Т»»+» ( Ьх)ф~бубх= » где ЬУ = Ьх Ьу Ьг — объем кубика жидкости. Аналогичные вклады от граней с нормалями ! и й суть (дТ»,'/ду) ЬУ и (дТ„/дх) ЬУ соответственно.

Поэтому сумма всех сил, действующих на всю поверхность кубика вдоль оси х, представляется в виде Выписав аналогичные выражения для сил, действующих вдоль осей у и г, найдем выражение для вектора плотности силы 1, действующей на кубик, Правая часть этого уравнения в точности совпадает с правой частью уравнения (1.57) в декартовой системе координат, т. е. 1= «.Т. 43 1.В. Добавление.

Эквивалентность онисаниб 1.8. ДОБАВЛЕНИЕ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДИПОЛЬНОГО И ПОЛЮСНОГО ОПИСАНИЙ Введение в этой главе представлений о магнитных полюсах полезно и правильно, как это и есть на самом деле. Теперь покажем формально математическую эквивалентность дипольного и полюсного описаний намагничивающегося вещества. Соответствие можно установить следующим образом. Из уравнения (1.10), выражающего плотность магнитной силы в виде ие(М. ° Ч) Н,, и вектоРного тождества Ч (МНь) = Не(Ч М)+(М Ч) Не следует, что полная сила, действующая на намагниченное тело, представляется в виде 1=~и,(М Ч)Н,Л = = ~ Ч (ремне)с()т + ~ ( 1ьоЧ ' М) Нос(У (1 59) Переходя в первом слагаемом от интегрирования по объему к интегрированию по поверхности, получим ~ Ч ° (ремне)д)т = $п ° ремнос(5= ~ но(п М) НесЮ.

(! 60) Объединяя эти соотношения, получим другое выражение для плотности силы 1= ~ и, (м ч) н, л = =$(1лем и) Нес(5+ ~( — реЧ М) Нед(т. (1.61) Так как Не — сила, действующая на единичный полюс, и величины 1ьем п и — РоЧ М имеют РазмеРность магнитного заРЯда на единицу площади и объема соответственно, то уравнение (!.61) позволяет установить следующие связи; рв = !тем ° и — = поверхностная плотность полюсов, (1.62) рг = — 1ьеЧ М = — объемная плотность полюсов. (1.63) Таким образом, эквивалентность описаний установлена. Этот результат был сформулирован Брауном (Вгони, 195!), который также получил соответствующие уравнения для момента сил, действующего на тело. Ряд близких теорем, включая обобщение на случай вещества с квадрупольным моментом, имеется в работе Далера и Скривена (ОаЫег„5сг(чеп, !963). д Введение ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Предмет феррогидродинамики (ФГД) введен в работе (Ыепг1пдег„Козепзтие!ц, 1964).