Р. Розенцвейг - Феррогидродинамика, страница 6

Как обычно в механике континуума, для описания движения жидкости необходимо ввести некоторые математические величины. Принято определять фиксированную точку течения координатами радиус-вектора х, у, г. Компоненты скорости о„, ов, ее вдоль осей х, у, г соответственно являются функциями координат х, у, г и в общем случае времени 1: а» пк (х у~ г~ ~) ав — — ов(х, у, г, 1), он=пи(х, у, г, 1). (1.21) Векторные величины позволяют записать эти соотношения более коротко.

Если ч — вектор скорости с компонентами и, ав, а„а г — радиус-вектор с компонентами х, у, г, то ч=г(г, 1). (1.22) Так как скорость ч непрерывно распределена в пространстве, как и векторы В, Н и М, то можно говорить о поле скоростей ч. Уравнение неразрывности Полезно провести систему линий, касательных в каждой точке к вектору скорости. Эти линии известны как линии тока.

По определению никакой поток жидкости не пересекает линию а Рис. Кв. Совокупность линий тока, образующих трубку тока. тока. Линии тока, проходящие через замкнутую кривую, образуют трубку тока (рис. 1.9); если эта кривая выбрана достаточно маленькой, то скорость может считаться однородной в любом поперечном сечении трубки тока. Закон сохранения массы требует, чтобы вдоль трубки тока имело место равенство раа = сопя(, (1.23) Дб. Огиоаиае понятия гидродииамики где р — плотность жидкости, а — площадь поперечного сечения трубки тока и п =~к~ — величина скорости жидкости.

Однако для анализа нам требуется более общее уравнение, выражающее закон сохранения массы,— дифференциальное уравнение неразрывности. Линии тока поля скорости аналогичны линиям магнитного поля В: масса сохраняется вдоль трубки тока в поле скоростей, как сохраняется магнитный поток в магнитном поле. В действительности аналогия исторически возникла в обратном порядке. При выводе уравнения неразрывности, так же как и дифференциального уравнения, описывающего динамику движения жидкости, можно пользоваться различными системами координат: неподвижной в пространстве или движущейся вместе с жидкостью.

Эти два подхода известны как способы описания Эйлера и Лагранжа соответственно; в этой книге используются оба способа. При выводе можно выбирать малый (дифференциальный) или макроскопический (интегральный) контрольный объем. Чтобы проиллюстрировать оба способа описания, проведем вывод уравнения неразрывности разными способами. Дифференциальная формулировка Эйлера. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами длиной г(х, г(у, г(г в Рне. К!О. Эйлероа дифференциальный контрольный объем. некоторой прямоугольной системе координат (рис. 1.10).

Рассмотрим грань АВСР. Расход массы жидкости сквозь эту грань внутрь элемента объема равен произведению ее площади г1уг(а на среднее значение плотности и скорости вдоль оси йп рп„. Средний поток массы может вычисляться по значению в центре грани, равному дрок дя рп дк 2 Е Введение Поэтому скорость притока массы внутрь элемента объема через грань АВСР равна (Р~е д о ) Уие а скорость оттока массы через грань ЕВОН равна (Р~е+ д о ) Упз. Аналогичные выражения можно выписать для притоков массы через грани АВРЕ и АРЕН и для оттоков массы через грани СРЕН и СВОН.

Скорость изменения массы внутри элемента объема рав- няется — (р е(х е(у е(з) — — е(х е(у дг . др (1.24) Применяя закон сохранения массы, т. е. требуя, чтобы сумма скоростей притоков массы минус скорости оттоков массы равнялась скорости изменения массы, получим дро дро„ дро др д» ду де дГ ' + — "+ — *= — —, (1.25) или в векторной записи дР + о - (рч) = 0; др (! .26) это уравнение и есть уравнение неразрывности гидродинамики.

Для несжимаемой жидкости, как, например, магнитной жидкости, в качестве прекрасного приближения можно принять, как это обычно и делается, что р постоянно, и уравнение неразрывности сводится к уравнению у ч= 0. (1.27) Этот способ вывода на основе дифференциального эйлерова контрольного объема используется в разд. 1.7, чтобы приравнять дивергенцию тензора поверхностных напряжений к объемной силе, связанной с распределением напряжений. Способ вывода уравнения неразрывности непосредственно из соответствующим образом введенного определения производной можно найти в работе Берда, Стюарта и Лайтфута (В(гс$, 5(ехоаг1, 1(дЫ(оо(, ! 960) .

Интегральная формулировка Эйлера. Начав все заново, рассмотрим фиксированный в пространстве контрольный объем макроскопического размера произвольной формы, изображен- 15. Основные лонятия гидродинамики 33 (1.28) Следовательно, ш~~ ~ дт (1.30) Элемент поверхности г(5 = пс(5, где п — единичный вектор внешней нормали. Поэтому интеграл по поверхности, содержащийся в уравнении (1.30), можно преобразовать по теореме Гаусса к интегралу по заключенному в ней объему: ч ~ рч ° и с(5 = ~ тт ° (рч) с()т. (1.3! ) Из соотношений (!.30) и (1.3!) следует ~ — сЬ'+ ~ ч (рч)с(!т=О. ч ч (!.32) Рис.

!.11. Эйлеров интегральный кон- трольный объем. Так как это соотношение должно выполняться для любой среды, положения, формы и размера объема, то знаки интегралов могут быть отброшены; в результате получается уравнение дрт+ч (р )=О, (1.33) которое и есть уравнение неразрывности, ранее полученное в виде (1.26). формулировка Лагранжа. В формулировке Лагранжа контрольный объем содержит постояную массу жидкости; прп движении объема вместе с жидкостью его размер и форма ме- ный на рис. 1.11. Жидкость втекает в объем и вытекает из него через точки поверхности.

Элемент поверхности, обозначенный с!5, имеет площадь величиной с(5, т. е. модуль вектора с(5, и направление вдоль внешней нормали к поверхности. Компонента скорости ч, параллельная вектору с($, уносит жидкость из объема )т. Следовательно, Поток массы из объема !т= ~ рч с(5. 5 Полная масса в объеме (т = ~ рс()т.

(1.29) 34 1. Введение няются. Для интегрального объема жидкости закон сохранения массы формулируется в виде (1.34) где Р/Р1 обозначает материальную (или индивидуальную) производную при постоянных вмороженных в среду координатах, т. е. изменение со временем в движущейся индивидуальной частице среды. Рассматриваемое здесь уравнение можно преобразовать и получить результат в формулировке Эйлера. Такое преобразование проводится в гл. 8 при помощи теоремы переноса Рейнольдса. Материальная производная Природа материальной производной требует дальнейшего обсуждения.

Пусть 1 = 1(х, у, г,1) — некоторое поле скалярной величины, например плотности или магнитной проницаемости жидкости. Из математического анализа известно, что за время Ж изменение функции 1 будет равно г() = — е(1 + — Ых + — е(у + — е(г, д1 д1 д) д) д1 дх ду дх где все производные берутся в координатах Эйлера; например, д/д1 вычисляется при постоянных х, у„г, а д/дх — при постоянных 1, у, г. Разделим изменение е() на е(1; в результате получим д1 д1 д1 дх д1 ду д) дх — = — + — — + — — + — —.

де д1 дх дг ду дг дх д1 так что 0 д — = — +ч 7 В1 д1 (1.36) есть оператор, представляющий материальную производную (во вмороженной в среду системе координат). Слагаемое ч ч) Величина п1/Ж есть изменение величины 1 в системе координат, движущейся относительно эйлеровой со скоростью ч(е(х/Ж, оу/Ж, е(г/Ж). Если система координат движется вместе с жидкостью (лагранжева система координат), тс в этом частном, но очень важном случае е(х/Ж вЂ” компонента скорости о жидкости, пу/Ж = ои и е(г/Ж = о,. При этом производная по времени и/е(1 обозначается через О/01. Поэтому в векторной форме последнее уравнение записывается в виде — — — +ч Ц=( — +ч. ч)1, (1.35) Бб. Обобщенное уравнение Бернулли выражает тот факт, что в независящем от времени поле скалярной величины ), когда ! зависит только от пространственных координат, имеется изменение ! в движущейся индивидуальной частице из-за изменения при течении положения в пространстве этой частицы жидкости.

Слагаемое д//дт — эйлерова производная, вычисляемая в фиксированной точке пространства. 1.6. ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Выведем теперь хорошо известное уравнение Бернулли в обобщенной формулировке, учитывающей влияние магнитных сил. Результат относится к идеализированному случаю течения невязкой жидкости или жидкости без трения вдоль трубки тока.

Линии посгпоянноа величины ыагнищного полн и-- Уровень огпсчегпа Рнс. 1.1З. К выводу обобщенного уравнения Бернулли. Хотя вывод здесь нестрогий, а результат неполный, некоторое улучшение понимания сути дела оправдывает затраченные усилия. Пусть з — расстояние вдоль направления трубки тока, ив скорость элемента жидкости и а — высота по вертикали относительно некоторого фиксированного уровня отсчета (рис.

1.12). Рассмотрим элемент жидкости со значением длины сЬ в данный момент времени и массы раде, движущийся вдоль трубки тока. Для установившегося течения (д/дт = О), согласно уравнению (1.35), в котором ! = о, х = з и дх/дГ = о, ускорение элемента есть адо/дз; уравнение движения, выражающее закон Ньютона, можно сформулировать в виде ао ар ан ра дво — = — а — сЬ вЂ” ра дзд з!п а+ !лоМ вЂ” а сЬ; (1.37) бг аг о здесь слева (массах,'ускорение), слагаемые справа означают силу давления, силу тяжести и магнитную силу соответственно. А Введение Некоторую неуверенность в этом соотношении вызывает выражение для магнитной силы, которая была выведена для всего тела; здесь она записана в применении к частице объема. Кроме того, при выводе магнитной силы использовалось внешнее поле Но, тогда как здесь записано истинное поле Н вЂ” поле, измененное наличием жидкости.

Сокращая общий множитель а«(з н учитывая, что з!и с« = «й/«Ь, перепишем уравнение в виде др до дй дН вЂ” +Ро — +И вЂ” — РаМ вЂ” =О. дв дв дв дв (1.38) оа Н, Ра+ Р 2 + Ркнт Ра ~ М«(Н. (1.40) е Размерность каждого слагаемого — размерность энергии на единицу объема (Н м м-т) или давления «>. На первый взгляд может показаться, что уравнение Бернулли имеет очень ограниченное применение в случаях, когда эффекты вязкости относительно неважны.