Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости, страница 4

новившееся движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе прямоугольного сечения и в цилиндрической трубе круглого сечения пох действием силы тяжести. Навье указывает иа аналогию последнег задачи с задачей теплопроводности для круглого цилиндра и дащ полное решение этой задачи в виде ряда по цилиндрическим функциям нулевого порядка. Из этого решения Навье получаеч как предельный случай и решение аааачи о прямолинейном установившемся течении вязкой несжимаемой жилкости в круглой цилиндрической трубе под действием силы тяжести.

Полагая в этом решении радиус трубки очень малым, Навье получает следующее выражение для средней скорости течения: рлз!вз Р где р — плотность, 0 — угол наклона оси трубы к горизонту, )т — радиус трубы и Š— коэффициент внешнего трения. Согласнс полученной формуле средняя скорость течения в трубке с ма. лым диаметром будет пропорциональна первой степени диаметра, Получив этот резутьтат, Навье отмечает, что этот результат согласуется с результатами экспериментальных исследований Жирара. Это последнее обстоятельство, повидимому, и остановило Навес от дальнейшего анатиза полученной им общей формулы лля ско.

рости установившегося движения в цилиндрической трубке. А между тем, если исходить из общей формулы г!авье и устремить коэф. фициент внешнего трения к бесконечности с учйтом принимаемого граничного условия на стенке, то можно вывести формулу, полу. чившую поаднее название формулы Пуазейля, согласно которой средняя скорость будет пропорциональна не первой степени диаметра, а второй. вввдвнии Таким образом, в цитированной выше работе Навье были получены не только полные дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости, содержащие постоянный коэффициент вязкости, но и граничные условия на стенке в своей общей форме и решения отдельных задач о неустановившемся прямолинейном движении жидкости. Вскоре после опубликования работы Навье в 1829 г.

было сделано устное сообщение в Парижской Академии' наук об исследованиях Пуассона общих уравнений равновесия и движения упругих тел и жидкости. Этн исследования Пуассона были опубликованы в 1831 г.'). В первом параграфе своего большого мемуара Пуассон различает два вида сил: 1) силы притяжения, не зависящие от природы тел, пропорциональные произведению их масс и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними, и 2) силы притяжении или отталкивания, зависящие в первую очередь от природы частиц и количества содержащейся в них теплоты; интенсивность этих сил весьма сильно убывает с увеличением расстояния между частицами.

Весь мемуар Пуассона по существу посвящен вычислению механического эффекта именно ,вторых сил и выводу уравнений равновесия упругих тел (й 3), уравнений равновесия жилкости с учатом капиллярного натяжения гэ б) и уравнений движения жидкости с учЕтом внутреннего трения жидкости (ф 7). При выволе соотношений, связывающих проекции соответственных сил, представляющих по современной терминологии нормальные и касательные напряжения на трех взаимно ,перпендикулярных элементарных площадках, с производными по коор'динатам от проекций вектора скорости, используются соответственные соотношения для напряжений в упругом теле с помощью следующих рассуждений. Общий промежуток времени ! делится на и равных малых промежутков времени т.

В первый интервал времени т после воздействия внешних сил жидкость смещается как упругое тело, поэтому распределение напряжений будет связано с распределением смещений так же, как и в упругом теле. Если внешние силы, вызывавшие смещение, перестают действовать, то частицы жидкости быстро приходят в такое расположение, при котором давление по всем направлениям становится одинаковым, т. е. касательные напра. женин исчезают. Зз это время перераспределения распело!кения частиц происходит, таким образом, переход состояния напряжений, отвечающего упругому деформированию, в состояние напра!кении давлений, отвечающее состоянию равновесия жидкости.

Если же причина смещения продолжает своз действие и в течение второго интервала времени, то, предполагается, что различные малые смещения будут происходить независимо от предшествующих и что новые смещения ') Ро! зов, Машо!ге зш !ез айеагюпз йапегз!ез йе УепшйЬсе е! пп вовчеаеп! без согрз во!ыз иазгщяез е! цез пагйеэ, Вошла! це ь'Все!е Кота!е Ро!угесьпщпе, т.

Х!!1, !331, 18 вввдвнив частиц во втором интервале времени будут происходить так же, как и в первом. Предполагая и бесконечно большим, мы придем к тому, что жидкость будет в начале каждого слелуюшего бесконечно малого интервала времени деформироваться как упругое тело, а к концу этого интервала времени состояние упругих напряжений будет перерождаться в состояние давлений, одинаковых по всем направлениям. С помощью такого рода рассуждений Пуассон и устанавливает впервые те соотношения, согласно которым дополнительные к давлению напряжения при движении жидкости линейно зависят от соответственных скоростей деформаций частицы.

Касательные напряжения по соотношениям Пуассона полу чаются пропорциональными скоростям сдвига. Что же касается соотношений для нормальных напряжений, то в них, помимо давления и слагаемых, пропорциональных величинам скоростей удлинений отрезков, входят два лополнительных слагаемых, из которых первое пропорционально о~носительному изменению во времени плотности, а второе в пропорционально изменению во времени лавления.

Соотношения Пуассона содержат три постоянные, из которых одна постоянная совпадает с постоянной, введенной Навье, и представляет собой коэффициент вязкости, входящий в формулу гипотезы Ньютона о вязкости. Вторая постоянная предстзвляет собой коэффициент об.земной вязкости или второй коэффициент вязкости. Третья постоянная Пуассона в последующих работах совершенно не была принята во внимание.

Используя эти соотношения для напряжений, Пуассон, далее, получает дифференциальные уравнения движения жидкости, по внеш. ней форме совпадающие с уравнениями Навье. Различие состоит только в том, чта давление заменено в уравнениях Пуассона через некоторую функцию, содержащую, кроме давления, производные по времени от давления н плотности. Чтобы замкнуть систему уравнений, Пуассон присоединяет к ней уравнение неразрывности в общей форме с учетом изменения плотности и уравнение физического состояния, связывающего плотность, давление и температуру. К этим уравненинм присоединяется уравнение теплопроволностн в своей простейшей форне, т. е. без учатз конвекции.

Таким образом, в мемуаре Пуассона впервые были введены соотношения, выражающие линейную зависимость тензора дополнительных напряжений жидкости при еа лвиженни от тензора скоростей деформаций частицы, и установлены дифференциальные уравнения движения вязкой сжимаемой жилкости. Одновременно с Навье и Пуассоном уравнениями равновесии упругого тела занимался и Коши. Но исследования Коши по своему методу существенно отличаются от нсслелований Навье и Пуассона, В работах Коши последовательно используются понятия напряжения и относительных деформзций, представления о поверхности напряжений и поверхности деформаций, представления о главных нзпряжениях н главных относительных уллинениях н основная гипотеза 19 ввйдвниз о том, что главные напряжения в каждой точке упругого тела пропорциональны соответственным главным удлинениям.

Но наряду с упругим телом Коши рассматривал и неупругое тело и жидкость. В своей основной работе' ), сообщение по которой было сделано ещз в 1822 г., в 9 3 Коши рассматривает движение внутри неупругой среды и вместо проекций смещений вводит проекции вектора скорости смещения и свою основную гипотезу формулирует так: главные напряжения з каждой точке пропорциональны мгновенным главным удлинениям или сжатиям.

На основании этой гипотезы Коши получает дифференциальные уравнения, отличающиеся от современных урзвнений движения вязкой жидкости только отсутствием слагаемого с давлением. Затея он видоизменяет свою гипотезу, полагая напра>кение состоящим ив двух слагаемых, из которых первое считается пропорциональным мгновенным сжатиям или расширениям, а второе считается зависящим только ог положения точки.

Далее, второе слагаемое принимзется пропорциональным скорости объемного расширения. Вследствие этого получзются дифференциальные уравнения, схолные с уравненш>ми движения вязкой сжимаемой жидкости. Таким образом, Коши, создавая основные понятия теории упругости, вместе с этим установил и некоторые основные понятия теории движения вяакой жидкости. В статье, опубликованной в !843 г., Сен-Венан э) ссылается на цитированные выше работы Навье, Пуассона и Коши и показывает возможность вывода уравнений движения вязкой жидкости с помощью видоизменения положений теории упругости о пропорциональности касательных напряжений деформациям сдвига без применения гипотез о притяжении и отталкивании отдельных частиц.

Он вводит в рассмотрение направления главных скоростей скошенна и главных тапгенциальных напряжений, принимает гипотезу о совпадении этих направлений при движении жидкости и в конце концов получает два вида соотношенцй: 1) соотношения пропорциональности разностей нормальных напряжений разностям соответственных скоростей удлинений и прог~орциональностп касательных напряжений соответственным скоростям сдвига с общим коэффициентом пропорциональности, представляющим собой коэффициент вязкости жидкости, и 2) соотношение, связывающее линейной неоднородной зависимостью среднее арифметическое от нормальных напряжений со скоростью объемного расширения.

Из этих соотношений Сен-Венан получает соотношения Пуассона и Коши для отдельных компонент напряжению. В другой статье, в том же томе Доклалов Парижской Академии наук !стр. 1108 — 11! 5) Сен-Венан применяет уравнения движения вязкой жидкости к случаю течения >) Сакс Ь у, йвг !ез Епвзиопз, Чш ехрг!шеп! !ез салай>юпз >!'еппй!Ьге, оп !ез !о1з пп шоптегпеп! т!епепг и!пп сегрз э>пйе, Оаыгйпе оп поп е!ззпчпе, Ехегс!сш де Ма!пеша!!Чпе рзг Сапсьу, Ш-е Аппае, 1828. ') 8 а ! п г-Че п а и 1, Хо!е а )о!пдге зв >лешо!ге зш !а Пулам!Чве Пез йп1- >!ез, совр!ее йепппз пез яезпсез пе !.'Асад.

без 8с., т. 17, 18и. ввидкник в канале прямоугольного сечения со свободной поверхностью, При этом сила внешнего трения на дне и боковых стенках представляется в виде суммы двух слагаемых, из которых одно пропорционально первой степени скорости, а второе — второй степени. Нелинейность граничных условий создабт затрулнения в уаовлетворении условиям, Граничные условия на стенках удовлетворяются только в ряде точек. В первой половине Х!Х в, во Франции наряду с рассмотренными выше теоретическими исследованиями по основам гилродинамики вязкой жидкости продолжались и экспериментальные исследования течений жидкости в трубах и каналах.