Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости, страница 9

Исходя из этих положений, Г. М. Панченков установил форм>лу зависимости коэффициента вязкости жидкости от температуры, давления и энергии связи молекул жилкости. Расч~ты по этой формуле для ряда жидкостей дали удовлетворительные совпадения с результатами экспериментов. При дополнительных предположениях из формулы Г. М. Панченкова получается приведенная выше форнула А.

И. Бачинского. ф 6. Распределение скоростей в частице Рассмотрим частицу жилкости (рис. 3). Какую-то точку внутри частицы с кооРдинатами х,, хе и хв обозначим чеРез О 'и навозам еб условно ценглром частицы. Пусть вектор скорости )г в центре частицы имеет проекции на прямоугольной оси координат о,, о и о . Обозначая единичные векторы осей координат через Ты вэ и Тм будем иметь: в=з )г= ~ о„сги «=! Возьмйм теперь произвольную точку Л4 динатами х,+Зхп хе+ вхв, хв+вхв скорости в этой точке в предположении, настольно малы, что квадратами их с каор- рнс. 3.

Вектор что значения вхы ехв и ехз можно пренебречь, будет 4) П а и ч е н к о в Г. М., Теория вязкости жидкостей, Гостоптелиздат,1947. ложил свою формулу, выражаюшую зависимость коэффициента вязкости от удельного объема: С (4,5) 36 скотости деоогмлций члстицы. компоненты нлптяжэний (гл. г представляться в виде Км = 1г(х,+ох,, х +ох, х +ох; т) = = ~ (хз хэ хз т)+г Э д,, 3хк.

(5.1) к1"" Таким образом, вектор относилгельной схорослзи глочки М по отно- шению к точке О будет представляться в виде олноролной линейнои фуннции относительных координат, т. е. ъч д(г '(гом =-,~ — дхк. .ЕЭ дхк (5.2) к=к Проекция вектора относителыюи скорости рассматриваемои точки М на ось хд будет тогда представляться в виде к=э (о )ом= ~ —.3хк.

цч дпь (5.3) Прибавляя и вычитая из правой части (5.3) следующие количества: — 3хз — -, — дхв —, 1 доз 1 доз 2 здх,' 2 вдхз' проекцию (оз) можно представить слелуюшии образом: Вводим следующие обозначения: е„ (5.5) При этих обозначениях равенство (5.4) прелставится в виде к-з го, 4Оз (ог)рм = У зкдхк+ 1охэ охз (5.6) е дэ дх,' доз е дх.„' доз длз' 1, Гдэд дэзт 1 !доз доП + 2 ч (,дхз дх,) 2 э (,дх~ дх.,) ' 87 5 51 тлспгедвлзние скогостей в частице Проведя аналогичные преобразования по отношению к проекциям (оз) о, н (оэ) «м, пол)'чим: а=з ("з)ом = ' валахе+ а=« и (о1«)ой — ~1 езл 8ха+ 6х, (5.7) Ееа ( =е а=е ~ 1', 11 вз том ~а ~~~а еижйхзаи«+! ы1 мэ м«~.

и = 1 Л.=1 бх ех ох. ~ 1 Е Э (5.8) Определитель в правой части (5.8) есть векторное произведение вектора ы на относительный радиус-вектор ез, Такое векторное произведение может рассматриваться как вектор линейной скорости точки М от вращения частицы кзк единого целого относительно мгновенной оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью и, т, е.

г, 1е г. (У,„),в=- Х8з=- 8х, ехв ехз (5.9) Вектор ы, проекции ко«ирого представляются тремя последними соотношениями (5.5), наэь1вается вектором вихра частицы, Что касается первого вектора в правой части (5.8), то зто есть дополнительный вектор той скорости, которая обусловлена вбэможными деформациями частицы. Обозначая его через (Уом),, будем иметь: «и-.з Ь=е (1 ОН)и«а =- .Са~ ~ма~ еинйХ1 1«и и=«а=1 (5.10) Учитывая обозначения (5.9) и (5.10), равенство (5.8) можно представить в виде Уом = (Уом)„+ (Уом)и,е.

(5.1 1) Таким образом, относительное движение точек части1гы по отношению н еа центру составляется иэ вращательного движения частицы как целого и движения, обусловленного деформацией чзстиць«. Умножая левые и правые части (5.6) и (5.7) на единичные векторы 11, (е и 11 соответственно и складываЯ, полУчим следУющее выРажение для вектора относительной скорости в произвольной точке М частицы: 38 скотости двеотмьций частицы, компонкнты наптяжвний (гл, г Возвращаясь к равенству (5.1) и учитывая (8.11), получим: Ум = Уо+(Уом),р+(Уои)„а.

(5. 12) Равенством (5,12) представляется теорема Гельмгольца о разложении движения часагигьы жидкости. Согласно этой теореме движение частицы жидкости может быть составлено из гарах движений: 1) поступательного движения, совпадающего с движением центра частицы, 2) вращательного движения вокруг льгновенной оси, проходящей через центр чистицы, с угловой скоростью, равной вихрю вектора скорости центра, и 3) двилсения, обусловленного деформацией частицы.

ф 6. Компоненты тензора скоростей деформации частицы МсМс — У(хю х., хз, Г)аг+ — ОхьЫ, дх, МОМл — У(хо хг, х, Г) ЛГ+ — Охг аг. дхг Рис. 4. Прн этих предполоькениях будем иметь следующие координаты точек О', М' и М,'. О'(Х,+О,йг, Ха+пэмт, ХЗ+Оеаг), М (~, + дх, + о, й(+. — ' дх, 1ЬГ, х + о, йт -~- дх, + д— охь аг, ха+ оз йг + — охь йг), ддг(хл+о,йт+ — 'охам, хг+Охг+ояйу+ дхг Я г + —" дХг Сьг, Ха+ Овйг-+.

ОВ ОХяЖ). Рассмотрим два прямолинейных элементарных отрезка частицы, параллельных осям х, и х (рис. 4). Через промежуток времени аг' эти отрезки сместятся и изменят свои длины тг и направления. Пусть элементарное смещение точки 0 будет: 00'=-. У(х,, ха, хз', 1) йг, дхг лг,' тогда векторы смещений точек М, и М могут быть представлены в виде и 61 компонянты твнзоел скотоствй дееогмлцни частицы 39 На основании этик координат находим значения длин отрезков: ,Г, 1=2 О М, = ех1$/ 1 + 2 — 1 61+ (~~~ ( †) Ьтз, дхг Ь=1 1=2 а=1 (6.1) М1М2 — — ' ~ дх1+дхз — 2 дх,дх Ы~ — '+ — 2)+ дх1 1 2=2 1 2..1 1 Таким образом, относительные уллинения отрезков, параллельных осям х, и хз, булут представляться в виде В=з ~~,'„,~ '=~' ~2-2,", 2.ьл; фут' — ~, К=1 / 2=2 л=! Раскладывая правые части по биному Ньютона и ограничиваясь лишь слагаемыми, содермгащими бт в первой степени, получим: ОМ вЂ” ОМ, до, ОМ1 дх1 Π̄— ОМ2 дп ОМ2 дх2 Если относительные удлинения отрезков ОМ, и ОМ.

разделить на промежуток времени, в течение которого образовались зти относительные удлинения, и перейти к пределу, уменьшая промежуток времени Ы до нуля, то получим скорости деформации удлинений рассматриваемых отрезков ОМ,— ОМ, де О М,— ОМ дп Таким образом, величины вы 222 2112 (6.2) 40 скогости ляеогмлций частицы. компоненты нлпеяжений (гл. > представляют собой скорости деформаций удлинений отрезное, нираллельннх осям координат. Определим теперь величину скошепия прямого угла нежлу отрезками ОМ, и ОМ .

На основании формулы квадрата стороны против острого угла в треугольнике ! ! О М,Мз находим: 2 Ом ОМ. Подставляя в правую часть значения длин из (6.1) с точностью до дг в первой степени и производя соответственные сокращения, по.>учим: соя(М>О М,) = 1+ — ~ аг+ — ~ зс дх, дхз ! ! Значение косинуса угла М,О Мз будет характеризова>ь скошенно прямого угла М,ОМ за промежуток времени Ь/. Если величину этого скошенна разлепить иа промежуток времени бг и перейти н пределу, уменьшая иг до нуля, то получим скорость деформации скощеиия или сдвига. Итак, величины 2з з, 2з>з, 2зг (6.8) мг — снорослги деформаций сдвига е трех координатных плоскостях. Наядам теперь скорость объемной деформации. Объем параллелепипеда, ребрами которого служат отрезки ОМ„ОМз и ОМз, булет (рис.

5): Ьтв — Вхз Вхз ЕХз, объем же косоугольного параллелепипеда, составленного из отрезков ! ! ! ! ! ! О >Иь О Мз и О Мз, будет прелставляться в виде определителя третьего порядка из разностей координат концов этих отрезков, т. е. ! М Рвс. 5 до> — йг дха д«,д доз — 'йг +доз бт дхз доа дг дхз д "з дт дх> доз зт дхз Ьт = Вх>дхз3хз 6 61 компоненты тензога скогоствп двеогмации частицса Таким образом, относительное изменение объама с точностью до й( в первоя степени булет представляться в виде Д~ — йнь /дог+ доз+ доз~ йть (дхс дхь дха) Разделяя величину относительной объемной леформации на проме- жуток времени й( и переходя к пределу при Ж -ь О, получим скорость относительной обьемной деформации а=ь а=ь дт — эта, ъч дисс %1 Опс — — -=Омо р — с= т еа.

ьЬ-ьь ае ать д.та Лд а.=1 а=-1 (6.4) Следовательно, скорость относительной объамиоп деформации частицы представляется в зиле суммы скоростей леформапив удлинения трах взаимно перпендикулярных отрезков этой частицы. Изидам скорость абсолютного удлинения отрезна ОМ произвольного направления. для этого вектор относительной скорости ьГом, представленный в зиле (5.8), спроектируем на направление самого отрезка ОМ, т.