Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости, страница 3

Общие уравнения равновесия жидкости с учэтом действия массовых сил, содержащие частные производные от неизвестной функции давления, были даны в 1743 г. в работе Клеро «Теория ') Н ь ю т о н И„й!атематические начала натуральной философие, перев. с лат. А. Н. Крылова (А. Н, К р ы л о а, Собрание трудов, т. НН, стр. 486). ввидвнив фигуры Земли». Открытие принципа Даламбера, своьлщего задачи о движении к вадачам о равновесии сил, позволило тому же Даламберу в 1752 г. в работе «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» от уравнений равновесия жидкости перейти весьма просто к дифференциальным уравнениям движения жидкости с учатом одного лишь давления. Однако вполне законченную форму уравнения движения идеальной жидкости получили лишь в 1755 г.

в мемуаре Эйлера «Общие принципы движения >хидкости», в котором впервые получает своз математическое оформление в виде уравнения неразрывности закон М. В. Ломоносова о сохранении массы. Присоединение к уравнениям движения уравнении неразрывности позволило замкнуть систему дифференциальных уравнений для случая несжил~аемой идеальной жидкости в том смысле, что число ураянений стало совпадать с числом неизвестных функций. При этом в качестве неизвестных функций стали рассматриваться проекции вектора скорости и давление, отнесенные не к фиксированной частице жидкости, а к фиксированной геометрической точке.

Таким образом, переход от общих уравнений равновесия жидкости к общим уравнениям движенин жидкости с учетом одного лишь давления на основе предположения о несжнмаемости жидкости произошзл в течение весьма короткого времени в с 1743 по 1755 г. Для этого перехода потребовалось только введение в рассмотрение, помимо скалярного поля давлений, векторного поля скоростей. При этом были использованы гипотеза о оплошности жидкой среды и гипотеза о непрерывности и днфференцируемости функций давления и проекций вектора скорости.

развивая гидродинамику идеальной жидкости, многие исследователи вса же не только допускали возможность существовании трения жилкости о стенки, но и считали наличие этого трения основной причиной расхождения теоретических результатов с результатами наблюдений и измерений. Так, например, Д. Бернулли в своей книге «Гидродинамика» на страницах 58 — 59 после проведения сравнения результатов расчета с результатами измерений для случая течения в коленчатой трубке пишет следующее: «Эти огромные расхождения я приписываю действию главным образом прилипания воды к стенкам трубки, которое в таких случаях может играть весьма большую роль, ибо когда я пользовался трубкой с диаметрам, немногим больше двух линий, тогда получалось более лучшее совпадение, чем для трубки с большим диаметром.

Кроме того, вероятно, что и кривиана трубки з ей нижней части также несколько уменьшает скорость движения воды». Однако про Эйлера известный французский механик и гидравлик Прони' ) в 1804 г. писал следующее; «Заслуживает сожаления П Р гоп у, йесйегсдез РЬЫсо-шащепь гаг 1з Шзогш пез еапх сопгап!ез, Раггз, 1804.

введения и даже уливления то обстоятельство, что прослзвленный Эйлер, который на страницах своих обширных трудов отводит столько внимания разрешению физико-математических проблем н их применению к практическим вопросам, не попытался пересмотреть теорию жидкости, принимая во внимание сцепление молекул и некоторого рода трение; лаже если бы он включил в анализ этн факторы в чисто гипотетической форме, было бы интересно знать его мнение об их влиянии; я не знаю, однако, ни одной статьи, где бы эти факторы упоминались».

Приведенные выше слова Д. Бернулли и Прони свидетельствуют о том, что многие исследователи осознавали необходимость учета внешнего и внутреннего трения при движении жидкости, но не находили епщ возможности для такого учета в самих уравнениях движения жидкости. Развитие техники в ХНШ столетии вынуждало многих ученых (Купле, Шези, Дюбуа, Боссю, Жирар н др.) проводить экспериментальные исследования над теченкямн волы в трубзх и каналах. Некоторые из этих исследователей (Шези и Боссю) пытались составлять уравнения равномерного движения волы в канале с учетом сопротивления трения о стенки в предположении, что это сопротивление пропорционально квадрату средней по сечению канала скорости. В конце ХЧШ столетия были опубликованы результаты экспериментальных исследований Кулона по определению сопротивления трения с помощью крутильных колебаний лисна в жидкости.

Все эти экспериментальные исследования, несомненно, послужили мощным толчком к тому, чтобы предпринимать попытки к теоретическим исследованиям по вопросу о составлении дифференциальных уравнений дзижевия жилкости с учйтом не только давления, но и внутреннего тренин. К этому времени стали открываться возможности для теоретических исследований такого рода в связи с раввитием механики улрузо десдормируемого тела.

Накопление исследований и решений конкретных задач по теории изгиба брусьев, по теории кручения стержней и по теории колебаний стержней и пластинок на основе использования закона Гука о пропорциональности напряжений леформацням созлало все предпосылки не только к тому, чтобы установить общие уравнения равновесия и колебаний упругих тел, но и к тому, чтобы закон Гука в несколько измененной форме распространить на жидкость и на основе этого создать дифференциальные уравнения движения жидкости с учятом внутреннего трения.

Этим обстоязельством и объясняется тот факт, что создатели математической теории упругости — Навье, Пуассон, Коши, Сен-Венан и Стокс оказались одновременно и созлателями математической теории движения вязкой жидкости. Первые теоретические исследования по вопросу об общих уравнениях движения вязкой несжимаемой жидкости были проведены Навье. ввздвнив Устное сообщение в Парижской Академии наук об этих исследованиях было сделано в !822 г., а опубликованы онн в журнале за 1827 г.>).

В начале своего мемуара Навье указывает на то„ что при изучении движения жидкости необходимо учитывать существование особых молекулярных сил взаимодействия. Однако из последующих рассуждений Навье можно обнаружить, что под термином «молекулярных сил> подразумевались не силы взаимодействия между отдельными действительными молекулами жидкости в современном понимании этих слов, а силы взаимодействия между малыми частицами, на которые мысленно можно разложить сплошную среду, обусловленные изменением расстояния между ними при движении жидкости.

Таким образом, в работе Навье с самого начала используется гипотеза о сплошпости жидиои среди и предположение о непрерывности деформироеапип частицы жидкости. Навье вводит в рассмотрение разность векторов скоростей в двух соседних точках и устанавливает выражение для скорости абсолютного удлинения элементарного прямолинейного отрезка, соединяющего две соседние частицы. Таким образом, если у Ньютона при формулировании гипотезы о вязкости по существу речь шла о деформации простого сдвига частицы жидкости, то у Навье речь вдет уже о деформации удлинения отрезка произвольного направления.

В своих дальнейших рассу>кдениях Навье использует следующую гипотезу: дополнительная к давлению сила взаимодействия между двумя соседними частицами жидкости прямо пропорциональна скорости абсолютного удлинения расстояния между ними. Коэффициент пропорциональности считаетси аависящим от расстояния так, что прн удалении частиц друг от друга он должен стремиться к нулю, а при приближении этот коэффициент должен стремиться к конечному значению, отличному от нуля, Под дополнительной силой в своей гипотезе Навье понимал силу, приходящуюся на единицу объема одной фиксированной частицы со стороны единицы объема второй фиксированной частицы. По этой причине гипотеза Навье формально не совпадает с принимаемой в настоящее время обобщенной гипотезой Ньютона для вязкой несжимаемой жидкости, но по своему содержанию оца все жс близка к ней, Чтобы оценить суммарное воздействие всех окружающих частиц жидкости на одну фиксированную частицу с единичным объемом, Навье подсчитываег сумму всех элементарных рабдт рассматриваемых сил воздействия со стороны всех окружающих частиц жидкости на том элементарном перемещении, которое представляется вариацией абсолютной скорости удлинения.

Суммирование этих элементарных работ проводится с помощью интегрирования по объему всего пространства при использовании сферических координат с началом >) !Ч ач ! ег, Меао>г зш !ез !оы ци шоцчешев! Еез ПиЫз, Меаь Ле Е' Ас. йоуа!е де зс. ае !.' !шщн! де Ггзпсе, т. У1, !827. )е ввхдвнив в фиксированной точке. При выполнении вычислений вводится еле. дующее обозначение: е= Зо ~ ггг'(г)Иг, йя ! о где у'(г) представляет собой коэффициент пропорциональности в ука.

ванной выше гипотезе Навье. Далее, с помощью принципа возможны» скоростей Навье получает дифференциальные уравнения движениг вязкой несжимаемой жидкости в том именно виде, в котором онг испольауются и по настоящее время. В этих уравнениях коэффи. циент е совпадает с коэффициентом вязкости в. Аналогичным путем вводится коэффициент внешнего трения и формулируется граничное условие на стенке в виде равенства сил внешнего и внутреннегс трения. В !Ч главе работы Навье рассматривается прямолинейное неуста.