Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944), страница 5

Очевидно, нельзя сказать, что силы, действукицне в этот момент со стороны воды на лодку, будут одинаковы; силы могут значительно различаться между собой. В первом движении в предылущие моменты лодка могла сильно взволновать воду, тогда как при втором движении лодки движение воды в рассматриваемом месте может быть более спокойным. В этом примере очевидно, что силы, действующие на лодку, будут зависеть функциональным способом от закона движения, т. е.

от всей истории движения; иными словами, будет иметь место как бы явление наследственности. Таким образом, в качестве основных законов природы следует считать опытные законы, подобные ааконам всемирного тяготения, закону Гука и т. п. Все эти законы получены из рассмотрения широких классов движения, ° которых сила определялась как произведение массы на ускорение. Следовательно, соотношение Р = тй естественно рассматривать как равенство, определяющее силу, а не как универсальный закон природы, и именно поэтому это соотношение не подлежит проверке в опытах или опытному уточнению и дополнению, что возможно по отношению к закону всемирного тяготения, закону трения и т.

п. и вообще по отношению ко всякому закону природы. Исследование механических явлений можно проводить аналогичным путям, если взять вместо силы за основную величину другое механическое понятие, например кинетическую энергию системы. Равенство (6) мы можем рассматривать как простое определение кинетической энергии механической системы.

Исследуя экспериментально некоторые классы движений данной механической системы, мы можем подметить зависимость величины энергии Е от ряда других механических характеристик. Например, при движении консервативной системы устанавливается, что кинетическая энергия может быть представлена как некоторая функция координат точек системы н аддитивной пострянной Ь, значение которой выделяет известный подкласс среди всех возможных движений системы: Е = — г'+Ь. (7) Величина У носит название потенциальной энергии сивяемы.

Равенство (6) и закон (7), характеривующий консервативную систему, приводят к уравнению . которое выражает собой закон сохранения механической энергии. В настоящее время в исследованиях целого .ряда механических явлений мы еще не можем производить определение движений с помощью соотношения (3) или (7), так как наукой ещй не решены окончательно простейшие задачи о зависимости силы и кинетической энергии от обстоятельств механического состояния системы.

В аналитической механике всегда подразумевается, что законы для сил нли выражение потенциальной энергии известны. Основные задачи аналитической механики связаны с вопросами матема- тического аппарата исследованию с методами интегрирования урав-. нений движений и установлением различных эквивалентных илн более широких принципов, которые могут заменять исходные опытные законы. Главнейшая задача механического нли вообще физического исследования многих явлений заключается в установлении законов для сил в зависимости от основных характеристик состояния движения и в срази с этим в выявлении определяющих характеристик и самой возмон~ности установления подобных законов для практических целей. Основная заслуга Ньютона состоит в том, что он указал на произведение массы на ускорение, как на величину, которая может.

иметь одинаковое значение для разных тел и различных движений, происходящих в разных местах пространства с различными скоростями, н главное, как на величину, которую 'можно в ряде случаев определять в опытах в функции от в;.емени, положениа -и скорости точек системы. Однако, определение силы в функции простейших характеристик движения, как мы виделн, принципиально не всегда возможно. В этих случаях возникает вопрос, не удобнее ли вместо произведения массы на ускорение взять другие характеристики движения и исследовать нх связь7 Рассмотрим еще кратко вопрос о силах инерции.

Возьмем совокупность различных систем координат, движущихся друг относительно друга, Ускорение имеет различную величину и направление в двух системах координат, совершающих разные движения. Связь между ускорениями точки по отношению х системам координат, движущимся друг относительно друга, устанавливается в кинематике. Мы не можем указать некоторую систему коорди- ' нат, которая имела бы абсолютное значение и которую можно было бы припать ва неподвижную систему координат. Поэтому сила, определяемая, как произведение массы иа ускорение, не имеет абсолютного значения и связана с выбором системы координат. Зависимость силы от основных характеристик движения устанавливается опытно в некоторой определанной системе коорлинат, обычно в системе коордвнат, связанной с Землзй или с центром тяжести солнечиой системы.

Если нам известны законы для сил в некоторой системе координат, то мы легко найдзм произведение массы на ускорение, т. е. силу в любой системе координат, движение которой относительно исходной системы задано. Как известно, в этом случае мы должны вводить в рассмотрение так называемые силы инерции. Для наблюдателя, связанного неизменно с подвижной системой, действующие силы слагаются из сил, определанных в системе координат, в которой производился опыт (исходная система координат), и из сил инерции. ч В 6. СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФИЗИЧЕСКИМИ ВЕЛИЧИНАМИ.

Физические закономерности, устанавливаемые теоретически или опытно, представляют собой функциональные зависимости между величинами, характеризующими исследуемое явление. Численные значения этих размерных физических величин зависят от выбора системы единиц измерения, не связанной с существом явления. Поэтому функциональные 'зависимости, выражающие собой физические факты, которые не зависят от системы единиц измерения, должны обладать некоторой специальной структурой. Пусть мы имеем размерную величину а, которая является функцией размерных величин а„ аз, ..., а„: а=/(а„ая, ..., аа, ал+„..., а„); некоторые из этих параметров в рассматриваемом процессе могут быть переменными, другие †постоянны.

Выясним структуру функции у(а„ ая, ..., а„) в предположении, что эта функция выражает собой некоторый физический за,кон, иезависимый от выбора системы единиц измерения. Пусть среди размерных величин а„ ая, ..., а„ первые А величии (А~л) имеют независимые размерности (число основных единиц измерения должно быть больше или равной). Независимость размерностей означает, что формула, выражающая размерность одной из величин, не может быть представлена как комбинация в виде степенного одиочлена из формул размерности для других величин.

Например, размерности длины Ь, ско- 1. М1, рости — и энергцн [ь — неаавиеимы; равмерноети длины [., скоь /. рости — и ускорения -~, зависимы. Среди механических величин обычно имеется не более трах с независимыми размерностями. Мы предполагаем, что Й равняется наибольшему числу параметров .с независимыми размерностями, поэтому размерности величин а, аз+1, ...., а„можно выразить через размерности параметров а„аз, ..., ал. Примем а независимых величин а„аз, ..., аь за основные величины и введйм для их размерностей обозначения: [а,] =А~, .[аз1 Аз; ...; [аа) =А„.

Размерности остальных величин будут иметь внд [а) =А~а'А~'... Аа юз [а„+,[ = А, А, фАа , Изменим теперь единицы измерения величин а„ а, ..., аь соответственно в а,, а, ..., ав раз; численные значения этих величин и величннй а в новой системе единиц будут соответственно равны: а, =а,а„ Р а, =азае, м1 ии "Ы а = а, 'ае '... аа а, а' =а а' а а а+1 3 з ''' ь а+1г Р а„= а„аь.

а =ашачз ... авва . / в ~ з ь и. В новой системе единиц измерения соотношение (1) примет вид а'=а 'а '... а" а=а 'а '...а "у(а а ... а)= ь а ' ) =у'(а,а,..., аьаа, а~1аяа. а"аа ..., ае'ачз ..ааааа„). (2) вв Это равенство показывает, что функция г обладает свойством однородности относительно масштабов а„а, ..., аа.

Масштабы а„а, ...; аа произвольны. Воспользуемся выбо-, ром этих масштабов для сокращения числа аргументов у фун- кции г'. Положим ] 1 1 а, —; аз — —,...аь= —, а1' а,' ' ' ' аа' т. е. вмберэм систему единиц измерения таким обрззом, чтобы энач6ния первых й аргументов в правой части соотношения (2) равнялись' единице '). Иначе говоря, используя это обстоятельство, что соотношение (1) согласно предположению не зависит от сястемы единиц измерения, мы устанавливаем систему еднницизмерения так, чтобы Ф аргументов у функции К имели фиксированные постоянные значения, равные единице.

В этой относительной системе единиц измерения численные значения параметров и, аз+„ ..., а„ определяются формулами: П= аечаю ° ... а'"» 1 "э " ь аз+ г лг „щ лгэ» 1 3 а„ П 1 амаэ'... аэеа 1 а гле а, аы аэ, ..., а„суть численные значения рассматриваемых величин в первоначальной системе единиц измерения. Нетрудно видеть, что значения П, Пп ..., П„ „ не зависят от выбора первоначальной системы едйниц измерения, так как оии имеют нулевую размерность относительно единиц измерения А„ Аэ,..., А». Очевидно также, что значения П, П„ ..., П„ „ вообще не зависят от выбора системы тех единиц измерения, через которые выражаются й единиц измерения для величин а„ аэ,..., а„. Следовательно, эти величины можно рассматривать как безразмерные. Пользуясь относительной системой единиц измерения, соотношение (1) можно представить в виде П=У<1, 1,..., П„..., П„,), ' (З) Таким образом, связь между и+1 размерными величинами а, а„..., а„, независимая от выбора системы единиц измерения, представляется, как соотношение между и+ 1 — л величинами П, П„..., П„„, представляющими собой безразмерные ком' бинации из и+1 размерных величин.

Этот общий вывод теории размерностей известен под названием П-теоремы. В явном виде эта теорема впервые была высказана, повидимому, Бэкингемом. Если известно, что рассматриваемая безразмерная величина является функцией ряда размерных величин, то эта функция может э) для простоты мы принимаем, что параметры аь аз, ..., аь конечны и отличяы от яуля. Последующие выводы распространяются на случаи, когда аэ аэ, ..., аэ могут обращаться з нуль или в бесконечность, если фуикцвя у при этих значениях аргументов непрерывна. 25 зависеть только от безразмерных комбннацнй, составленных нэ определяющих размерных величин.