Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944), страница 4

Так как прн а = 1 имеем э = 1, то С = 1, следовательно: я )В 6) Этот вывод справедлив для любой размерной величины, зависящей от нескольких основных величин, если мы будем менять только один масштаб. Нетрудно видеть, что если изменяются масштабы а,р,Т трах основных величин, то функция р будет иметь вид у = ая'~чТг. Этим доказывается, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных одночленов, й 6.

О ВТОРОМ ЗАКОНЕ НЬЮТОНА. При исследованиях механических или вообще физических яв. лений мы вводим, во-первых, систему понятий — величин, характеризующих различные стороны изучаемых процессов (будем называть их просто характеристиками), и во-вторых, систему единиц измерения, й помощью которой определяются численные значения введенных характеристик. Между характеристиками явления имеется ряд соотношений.

Некоторые из этих соотношеннй присущи только для конкретной системы и для отдельного частного процесса, другие соотношения могут быть справедливы для некоторых классов систем и движений. Соотношения последнего рода имеют особую ценность, и отыскание подобных соотношений. составляет важнейшую задачу физических исследований.

Одним из средств определенна'соотношенйй между характеристиками могут служить, методы теории размерности и подобия, Наша цель — показать в дальнейшем способы и приамы применения и использования этих методов. Перед непосредственным изложением этих приамов рассмотрим на примерах сущность некоторых механических соотношений н общие характерные способы их получения. В связи с этим, а также в связи с некоторым самостоятельным интересом, мы рассмотрим основное соотношение механики, известное под названием второго закона Ньютона. Некоторые из соотношений между характеристиками являются простыми следствиями, выражающими определение этих величин. Например, величина, скорости и равняется отношению пройдвнного пути к соответствующему промежутку времени, кинетическая энер- ~Ф гия материальной точки Е равняется -з-, где ги есть масса материальной точки, и т. д.

Помимо этих тривиальных соотношэний можно находить с пбмощью экспериментальных или теоретических исследований функциональные связи между численными значениями характеристик явления, вытекающие из природы и особенностей рассматриваемого явления или класса явлений. Примером таких соотношений могут служить законы Кеплера о движении планет и аакон всемирного тяготения; Осветим кратко связь между этими законами. На основании многолетних и обширных наблюдений над движением планет в 1609 и 1619 годах Кеплером были сформулированы следующие общие законы: 1. Планеты описывают окове Солнца эллипсы, прнчйм Солнце находится в одном из фокусов эллипса. И.

Радиус-вектор, соединяющий Солнце с планетой, ометает в равные промежутки времени равные площади. 111. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам соответствующих средних расстояний планет от Солнца, Если ввести, по определению, силу как массу, умноженную на ускорение, то из законов Крплера математическим путем можно вывести закон всемирного тяготения: Рит1В, г'=т где Р есть сила притяжения, г †расстояние меж материальными точками, а лва и та в их массы.

Этот закон был установлен Ньютоном в 1682 г. и в дальнейшем был проверен и подтвержден сравнением полученных с его помощью многочисленных выво. дов с наблюдениями в природе и в специально поставленных опытах. Другим примером может служить закон, выражающий зависимость между силою Р натяжения пружины и удлинением х пружины.

Этот закон выводится с помощью определения силы, как произведения массы на ускорение, и на основе правила сложения сил из наблюдений равновесия и движения груза, подвешенного на пружине. В математической записи этот закон имеет вид Р=йх, (2) где А есть коэффициент пропорциональности (коэффициент жЕсткости пру>кипы). ' Пользуя=ь этим законом, можно в различных частных случаях (груз подвешен на нескольких пружинах, изменяется масса или жесткость пружины, изменяются начальные условия движения и т. д.) теоретически определить закон движения; т, е. зависимость от времени всех механических величин, найти период колебания и т.

д, 18 Решение этих и других подобных задач механики основано на иссдедовании уравнения движения материальной частицы Р=ша, (3) где а есть вектор ускорения, и †мас материальной точки и 7 †вект силы. Сила Г в ряде случаев представляется в виде векторной суммы нескольких сил: Р'=Р'~+Ря+"' (4) характеризующих различные эффекты. Рассмотрим теперь подробнее величины, входящие в уравнение(3). Ускорение а представляет собой кннематическую величину, которую всегда можно получить опытно, независимо от уравнения (3).

Масса и определяет свойство инерции тела. Лля материальной точки понятие массы можно ввести на основе третьего закона Ньютона (всякое действие представляет собой взаимодействие с равными, но противоположно направленными силами). В самом деле, каждой материальной точке можно приписать значение постоянной величины — ее массы — так, что при движении любых двух изолированных взаимодействующих материальных точек М, и Мя или М, и Мэ будут иметь место соотношения: т,а +льэп =0; (5) Следовательно, отношение масс всегда можно определить опытно, независимо от уравнения (3), путям измерения отношения ускорений при движении взаимодействующих тел.

Постоянство массы, определяемой соотношениями (5) при всевозможных движениях, является опытным фактом, выражающим собой закон природы, который, вообще говоря, может допускать уточнения. Если движение известно, то соотношение (3) может служить просто равенством, определяющим суммарную силу. На практике уравнение (3) очень часто слумсит для вычисления силы.

В задачах об определении движения соотношение (3) можно использова~ь только в том случае, когда известна зависимость силы от величин, характеризующих движение (время, координаты' положения точки, скорость и т. п.). Эта зависимость может быть получена либо теоретически, на основании, дополнительных гипотез, которые обявательно должны быть проверены на опыте, либо непосредственно опытным путзм.

Как прн теоретических рассуждениях, так и в опытах, определение зависимости силы от различных физических величин получается с помощью уравнения (3). Из наблюдения простейших движений устанавливается зависимость гла от других параметров 2ь 49 двнжения.

затем полученные зависиности обобщаются на более сложи ый класс движений, справедливость обобщений опять должна проверяться опытно, путам сравнения выводов, полученных из уравнений движения, с результатами опыта. Таким образом, общий путь получения закона всемирного тяготения .из законов Кеплера характерен для определения силы в зависимости от параметров движения. Аналогичным образом определяется сила взаимодействия электрических зарядов †зак Кулона, сила магнитного напряжения— закон Био †Сава, сила капиллярности †зак Вебера, сила трения между твйрдыми телами — закон трения Кулона, связь между напряжениями и деформациями в упругом теле — закон Гука, сила вязкого трения внутри жидкости — закон Ньютона и т.

п. Часто высказывается мнение, что силу можно определить неаависимо от уравнения (3), статическим путам. В самом деле, в ряде важных случаев, в частности, когда можно принять, что сила зависит только от положения, зависимость силы от координат можно определить путйм сравнения искомой силы с известными силами из рассмотрения частного случая движения †пок, когда а О *).

Однако, в связи с зтим необходимо иметь в виду следующее: во-первых, сравнивая при статическом определении силы искомую силу с известными силами, мы пользуемся уравнением (3) прн а = О, во-вторых, утверждение о справедливости зависимостей, найденных для силы прн покое, также и при движении, является' дополнительной гипотезой, требующей опытной проверки, которйя осуществляется с помоктью уравнения (3). Часто опытная проверка не подтверждает сделанного предположения.

Такой случай имеет место, например, с силами трения; оказывается, что трение при покое и при движении может быть различным; так обстоит дело и с силой пружины, действующей на подвешенный груз. Закон, определяющий силу в зависимости от натяжения [формула (2)], справедливый для пружины любой массы при статических измерениях, перестайт быть справедливым при движении, причем отклонения получаются темббльшвми, чем больше массапружины. Вслн масса пружины мала по сравнению с массой груза, то формулу (2) можно считать справедливой при движении груза. Часто вообще нельзв сказать, что сила определяется как функция времени, положения, скорости и ускорения. В самом деле, рассмотрим суммарную силу, действующую со стороны ь) На практике при определении сил часто пользуются ешй тем, что система сил ие меняется при сообщении всей системе поступательного движения с постоянной скоростью, так как прн етом ускорения ие изменяются.

эолы на лодку, совершающую сложные петлеобразные движения по поверхности воды. Сила, действующая со стороны воды на лодку, аависит от состояния движения воды, которое определяется всем законом движения лодки. Пусть в двух различнмх движениях лодки для некоторого, одного и того же, момента времени (время можно отсчитывать от начзла движения, когда вода и лодка покоились) положейяе, скорость и ускорение лодкиодинаковы.