Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944), страница 3

стоянных мы можем выбирать опытным путам, независимо друг от друга, единицы измерения для п величин (и ) 3), но при этом мы должны ввести а — 3 размерных физических постоянных. В этом случае формулы производных величин будут содержать в общем случае и аргументов., При изучении механических явлений принято вводить .только три независимые основные единицы измерения †д длины, массы (или силы) и времени.

Этими единицами можмо обойтись также и при изучении тепловых и дажеа электрических явлений. Из фи- ., зики известно, что размерности тепловых и электрических вели- чин можно выразить через г'., М и Т, Например, количество те- плоты и температура имеют размерность, механическвй энергии. 13 г Однако, на практике во многих вопросах термодинамийи н гаво.

вой динамики удобнее выбирать единицы измерения для к<ьзичества теплоты и температуры независимо от ед/янины измерения механической энергии. Для измерения температуры единицей служит градус Цельсий, для измерения количества теплоты — калория. Эти единицы измерения устанавливаются опытным путам, независимо от единиц измерения для механических величин. При изучении явлений, в которых имеет место преобразование механической энергии в тепловую, необходимо вводить в рассмотрение . дополнительно две физические размерные постоянные; одной из них является. механический эквивалент тепла ,/ = 427 кглг/кал, а другой †ли коэффициент теплоемкости с кал/.из град, либо газовая посщянная /с жа/сека град, либо прстоянная Вольцмана /г = 1,37 "10 'з эрг/град. Если мы будем измерять количество теплоты и температуру в механичееких единицах, то механй ческий эквивалент тепла и постоянная Больцмвна будут входить в формулы как абсолютные безразмерные постоянные и будут аналогичны переводным коэффициентам при пересчйте, например, метров в футы, эргов в килограммометры и т.

п. Нетрудно видеть, что число основных единиц измерения можно . взять и меньшим трйх. В самом деле, все силы мы можем срав- нивать с силой тяготения, хотя это неудобно и противоестественно в тех вопросах, в которых сила тяготения не играет роли. В фи- зической. системе единиц сила вообще определяется равенством Р=та, а Сила тяго~ения — равенством тгтг Г =1— гг гле 7 есть гравитационная постоянная, имеющая размерность 7=М- Езт-з. Подобно тому как разме/тиую постоянную механического эквивалента тепла можно заменить безразмерндй постоянной при измерении количества тепла в механических единицах, так и гравитационную постоянную можно считать абсолютной безразмерной постоянной. Этим определится размерность массы в завйсимости от Е и Т: 1т1.=М= ЬзТ з.

Следовательно, в этом случае изменение единицы массы полностью' определяется изменением единиц измерения для длины и времени. Таким образом, рассматривая гравитационную постоянную как 13 абсолютную безразмерную постоянную, мы будем иметь всего две независимые единицы измерения. Число независимых единиц измерения можно сократить до одной, если мы примем за абсолютную безразмерную постоянную еще одну размерную физическую. постоянную, например коэффициент кииематической вязкости воды -ч или скорость света в пустоте с.

Наконец, мы можем рассматривать все физические величины . как безразмерные, если примем соответствующие физические по- стоянные за абсолЮтные безразмерные постоянные. В этом случае исключается возможность употребления различных систем единиц измерения. Получается одна едннственная система единиц измере- ния', основанная на выбранных физических постоянных (например, на' гравитационной постоянной, скорости света и коэффициенте вязкости воды), значения которых принимаются,в качестве абсо- лютных универсальных постоянных.

В науке можно было наблюдать тенденцию к введению такой йистемы единиц, так как она позволяет установить единицы изме- рения, которые не могут быть утрачены, подобно эталонам для метра и килограмма — величин, являющихся по существу случай- ными. величйнами, не связанными с основными явлениями при- роды ').

Введение такой единственной системы единиц измерения, ис- ключающей все другие системы 'единиц, равносильно полному уст- ранению понятия размерности. В единой универсальной системе единиц измерения численные значения всех количественных ха- . рактеристик определяются однозначно их физической вели- чиной. В,некоторых отношениях такая универсальная единая 'система едйниц измерения, т.

е. употребление одинаковых мер, способов. исчисления времени и т. п., представляла бы собой определанное удобство для практики, являясь одним из звеньев стандартизации способов измерения. г) По перзолачальной идее комиссии Франпузейой академии наук; которая занималась установлением метрической системы мер, один метр 1 был определяя как, доля длины парижского меридиана, юя, а 1 килограмм — как вес кубического дециметра двстиллироваиной воды при 4' С, Бстествеино, чте измерение длины меридиана и изготовление эталенов для метра и килограмма было произведено с некоторой ошиб- кой, которая оказалась большей, чем погрешности, допустимые при позднейших точных измерениях.

Так как прн повышении точности опре- деления длины меридиана или веса литра частой воды пожив было ожидать обнаружения новых отклонений, то во избежание постоянного Изменения эталонов метра и килограмма было условлено принять вели- чины изготовленных прототипов эталонов за основные едииипы язме- Реиая н отказаться от связи единиц с длиною меридиана и весом литра воды.

Однако,. во миогих явлеииях гравитационная постоянная, скорость света в пустоте.или коэффициент кинематической вязйости воды совершенно несущественны. Поэтому единая универсальная система единиц -измерения, связанная с законами тяготения, распространения света'и вязкого трения. в воде или с кйкими-нибудь другими физическими процессами, во многих случаях носила бы искусственный. характер и была бы ппактически неудобна. Наоборот, практически в различиых разделах физики удобно пользоваться системами- единиц измерения с различными осиоввыми единицами в соответствии с существом и сравнительной значимостью ° физических понятий, участвующих в рассматриваемых явлениях.

В механике за основные величийы удобно взять силу, длину и время, причЕм в технической механике единицы для сил и длины удобнее взять иные чем в небесной механике; в электротехнике за основные величины выгоднее принять силу тока, сопротивление, длину и время (ампер, ом, сантиметр и секунда) и т. д. Более того, при конкретном изучении отдельных специальных классов явлений численные значения количественных характери- стиМ часто выгодно выражать ввиде отношения к задаваемым.или наиболее характерным. величинам по смыслу рассматриваемых частных задач.

В разных случаях этп харзктерные основные величины могут быть различными. я й 4. О ФОРМУЛЕ РАЗМЕРНОСТИ. Зависимость единицы измерения производной величины от единиц измерения основных величин может быть -представлеиа в виде формулы. Эта формула называется размерностью, и ез можно рассматривать как сжатое определение и характеристику физической природй производной величины. О размерности можно говорить только применительно к определйиной системе единиц измерения.

В разных системах единиц измерений формула размерности одной и той же величины может содержать различное число аргументов и может иметь различный вид. В системе едияагц измерения СОВ формулы размерности всех физических величин имеют вид степенного одночлена 1.~М~Т . Покажем, что такой вид формулы размерности определяется следующим физическим условием: отношение двух численных значений какой-нибудь производной величины не должно зависеть от выбора масштабов для основных единиц измереиия. Например, будем ли мы измерять площадь в квадратных метрах или квадратных саитиметрах, отношение двух площадей, измеренных в квадратных метрах, будет таким же, как и отношение этих же 15 4 (2) или — = — = е(а) у (а) у' (а) у(Ц у (1) Следовательно, отношение численных значений производной геометрической величины, измеренной в разных масштабах длины, зависит только от отношения масштабов длин.

Из соотношения (2) легко найти внд функции о(а). В самом деле, имеем: . у (а1) у (аа) — =о(а ); — =м(ая). у (1) ' г (1) Отсюда получаем: так как Дифференцируя 'уравнение (3) по а, и полагая а, = аэ = а, пцлу чаем: 16 йлбп(адей, измеренных в квадратНых сантиметрах. 1;(лв основных величин это условие является составной частью определения единицы измерения и удовлетворяется само собой.

'Пусть мы имеем какую-йибудь размерную производную величину у; для.простоты примем сначала, что величина у является геометрической и поэтому зависит только от длин, следовательно: у = у(х„ хэ, ..., хи), где хм хя, ..., х„Суть некоторые расстояйия.

Обозначим через н' то значение величины у, которое соответствует значениям Р / а аргументов х~, хт, ..., х„. Численное значение у, а также у, за-а, . висит от единицы измерения для расстояний х„хэ, ..., х„. Уменьшим эту единицу илн масштаб расстояний в а раз. Тогда согласно сформулированному выше условию мы должны иметь: а / г к Р / у~ у(хп хю ..., х„) у(х~ а, ха а, ..., ха «) у(хы .ка, ...,.х„) у(ха а, хаа, ..., х„а) ' ()) у/ е. отношение — должно быть одинаковым при любом масштабе у длин а. Из равенства (1) получаем: у(хга, ха а, ..., хк,а) у(х1а,.хаа, ...,х„а) $ у(х,, хм ..., х„) у(ки х, ..., х„') Интегрируя, найдйм <~ =Са'".