Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944)

МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ТЕОРИИ ПОДОБИЯ огиз гостихиздлт * ьм ПРЕДИСЛОВИЕ В физике и в технике при экспериментах и в практических расчЕтах постоянно необходимо принпмать во внимание различные обстоятельства, связанные с физическим подобием явлений и с раа» мерностями рассматриваемых величин. Постройка самолЕтов, кора,' ° блей, плотин и многих других сложных технических сооружений основана на предварительйых обширных исследованиях, среди которых важную роль играют испытания моделей. В теории размерностей н подобия устанавливаются условия, которые должны соблюдаться в опытах с моделями, и выделяются характерные и удобные параметры, определяющие основные эффекты и режимы процессов.

Вместе с этим сочетание соображений теории размерностей и подобия с общим качественным анализом механизма физических явлений, в ряде случаев, может служить плодотворным теоретическим методом исследования. С вопросами теорий размерностей и моделирования мы стал- . киваемся при самом первоначальном изучении физики в школе, ' а в исследовательской работе в в самой начальной стадии постановки новых задач. Добавим ещЕ к этому,"что эти теории отличаются крайней простотой и элементарностью.

Несмотря ма это, соображения о подобии явлений получили широкое распро* странение и лознательное использование сравнительно недавм но; так, например, в гидромеханике — только в последние 30 — 40 лет. Общеизвестно, что-изложение этих теорий в учебникйх и в практике преподавания <в высших учебных заведениях обычно страдает многими, недостатками; как правило, эти вопросы затра' гиваются только вскользь и попутно. Основные понятия, даже' такие, как понятия размерной и безразмерной величин, вопрос о числе основных единиц измерения и т. п., не выясняются в отчЕт- лизой форме. Между тем смутные и интуитивные представления в содержании понятия размерности 'служили нередко источником 3 Ь % возникновения взглядов, в которых форагулам размерности при-.

писывался некий мистический нлй' особый сокровенный физяческий смысл. В некоторых случаях неясности приводили к паРа. ' ' доксам, служившим предметом недоумений. Мы разбираем подробно один пример такого недоразуменйя в связи с выводами Редея о теплоотдаче тела в потоке жйдкости. При назон<енин теории подобия часто привлекаются соотношения и математический 'аппарат, не связанные с существом этой теории.

Построение теоРии размерностей н подобия, как и всякой вообще теории, желательно производить с помощью методов и основных посылок, адэ- Ф кватных существу теории. Такое построение позволяет ясно проследить границы и возможности теории. Это особенно необходимо для теории размерностей и подобия, так как часто приходится встречаться с крайними мнениями: с одной стороньг, о ее всесильности н, с другой, о ее тривиальности. То и другое мнение нельзя прнзнать правильным. Следует отметить, однако, что наиболее существенйые' и подезные результаты получаются путем комбинирования соображений теории .размерностей с общефизическими предполгвкениямн, которйе сами по себе непосредственно не дают интересных выводов Поэтому с целью более полной иллюстрации разнообразных приложений мы рассматриваем целый ряд мвзанических задач и примеров комбинирования '.методов размерностей с различного рода другими качественнымн механическими и математическими соображениями.

Это же побудило нас коснуться более подробно проблемы турбулентных движений жидкости. В теории тхрбулеитности методы подобия являются основными - рабочими теоретическими методами, так как в этой области мы еще не имееМ замкнутой . системы уравнений, которые позволяли бы сводить задачи механики к задачам математическим. В разделе о турбулентных движениях жидкости содержатся новые результаты, которые дополняют и разъясняют некоторые вопросы теории турбулентности.

Помимо примеров применения методов подобия и размерностей мы стремились осветить постановку ряда важнейаиХ для техники механических задач, из которых часть являются иовымн и 'еще очень мало разработанными. г . В связи с общими соображениями о природе различных механических соотношений, а также в связи с некоторым самостоятель- . ным значением, мы остановились несколько подробнее на рассмотрении' основцзго уравнения механики, выражающего собой второй закон Ньютора.

Излагаемая нами по этому поводу точка зрения не является новой, однако, она сильно отличается от трактовок этого основного вопроса механики в некоторых распространйнных учебниках по теоретической механике. Число известных приложений теории размерностей и подобна к механике очень велико, многих из них мы не касались. Автор надеется, что предвагаемая книга даст читателю представление о типичных приЕмах и возможностях этих методов, поможет при ' разборе новых задач и прн постановке и обработке новых экспериментов.

Для чтения большей части книги не требуется специальной подготовки. Для понимания материала, помещенного во второй половине книги, необходимо иметь некоторьуе общие сведения из гндромеханики, Л. СеФов. ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. , 7 ичины ..... ..... 8 цы,измерения .. ..... 10 15, 17 связей между. физическими 23 с явлений ... ...... , 27 тинка. .. .... ., ...

30 33 35 ости....'........ 46 прозаике явлений...... '50 59 63 69 76 82 90 92 95 99' 123 $1. Введение $2. Размерные и безразмерные вел 6 3. Основные и.производные единн 9 4. О формуае размерностя . 6 б. О втором законе Ньютона . % 6. Ст1зуктура функциональных величинами 6 7. Параметры, определяющие клас ,6 8. Движеняе математического мая 6 9. Водослив Джемса Томсона 10. Движение жидкости в трубах 6 11. Движение тела в жидкости.. 6 12. Теплоотдача тела в потоке жидк 6 13. Динзмическое подобие н модел 6 14. Установившеесв движение твердого тела в сжимзеиой жядкостн 6 15. Неустановившееся движение внутри жидкости . 6 16. Движение корабля . 6 17. Глиссированне по поверхности воды .

6 18. Удар о воду 6 19. Погружение в'-жидкость конуса и клина с псстояиной скоростью . $ 20. Диффуаия вихрей в вязкой жидкости . 6 21. Пограничный слой при обтекании вязкой жидкостью паоской пластинки 6 22 Изотропные турбулентные яйижеиня несжймаемай жидкости .8 23. Установнвшвеся турбулентные движения .

т $1. ВВЕДЕНИЕ При изучении механических явлений ввЬднтсй целый ряд йонятий, например скорость, энергия, напряжение н т. п., которые характеризуют рассматриваемое явление и которые могут быть за-' даны и определены с помощью чисел. Все вопросы о движении и о равновесии формулируются как задачи об определении некоторых функций и численных значений для величин, характеризующих явление, причем при решении таких задач законы'природы и различные геометрические соотноше- ния представляются в виде функциональных уравнений — обычно дифференциальных.

При чисто теоретических исследованиях эти уравнения служат для установления общих качественных свойств движений и,для фактического вычисления искомых функциональных связей с помощью различных математических операций. Однако, механическое исследование не всегда 'возможно осуществить путем математических раСсуждений и вычислений. В ряде случаев решение механических за'дач встречается с непреодолимыми математическими трудностями. Очень часто мы не имеем вообще математической постановки задачи, так как исследуемое' механическое явление настолько сложно, что для него пока ещз нет удовлетворительной схемы и нет ещй уравнений движения.

С таким положением мы встречаемся при решении многих очень важных задач в области авиамеханики, гидромеханики, в вопросах о прочности и о деформаццзх цате-. риалов при работе различных конструкций и т. п. В этих случаях главную рцль играют экспериментальные методы исследования, которые дают возможность установить простейшие опытные факты. Вообще всякое изучение явлений природы начинается с установления простейших опытных фактов, на основе которых можно формулировать законы, управлвюшне исследуемым явлением,.

и записать их в виде некоторых математических соотношений. Для правильной постановки и обработки экспериментов, результаты которых позволяли бы устаровить общие закономерности н могли. бы быть приложенными к случаям, в которых эксперимент не производился непосредственно, необходимо вникать з сущность изучаемого вопроса, необходимо давать пбйгий качественный. анализ. Кроме того, самая'постановка экспериментов, результаты 7 ч .у -.и - -. 4..~..1.. щих исследуемые стороны явлений, может осуществляться только йа основе предварительного теоретического анализа. В постановке опытов и вообще для практики очень важно правильно выбрать безразмерные параметры, Число их должно быть минимальным, и взятые параметры должны отражать в наиболее удобной форме основные эффекты. 'Возможность такого предварительного качецтвенно-теоретик ческого анализа и выбора сибтемы определяющих безразмерных параметров дайец теория размерностей и "подобии.

Она может быть приложена к рассмотрению весьма сложных явлений и значитель-. но облегчает обработку экспериментов. Более того, в настоящее время грамотная постановка и обработка экспериментов немыслима без учета вопросов подебия и размерностей; Иногда ° начальной стадии изучения некоторых. сложных 'явлений теория размерностей является единственно возможным теоретическим методом. Однако, не следует переоценивать возможноотей этого метода: Результаты, которые можно получить с помощью теории размерностей, огра~ничены и во многих случаях тривиальны.