Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 24

ьМиТ ~яь. 4. Сила тока. Формулу размерности этой величины можно получить более прямым путем, чем в электромагнитной системе. Она получается из соотношения ~ = дц|дС: 1 = сгТ ' = 1. пМ ьТ й '. 5, Магнитная масса и напряженность магнитного поля. Из уравнения, которое мы уже использовали для связи магнитного заряда и электрического поля, пи' я'я получаем формулу размерности магнитной массы: ~ иМ ьй-у Напряженность магнитного поля получается, если воспользоваться уравнением тН. Отсюда Н= 1.иМьТ "я~'. 6.

Электродвижущая сила пли разность потенциалов. Как и ранее, из соотношения Мощность Сила тока Х э. д. с. получим формулу размерности Е= ЛеМТ ~1 ' = Е 'М"Т 'й Т. Электрггческое соггротнвленпе Формула размерности получается, как н ранее, на основе отношения э д. с./сила тока 1!г = Е1 ' = 1. ' Тй 8.

Емкость. Эта величина равна отношению количества электричества к разности потенциалов, ее формула размерности С=ЯЕ '=И. 9. Индуктивность. Мы уже видели, что формулы размерности самонндукцип и взаимной индукции получаются из соотношений гп гн э. д. с. =1 — или э, д. с. = пг —. гп ' и Отсюда ЕТ1 '=Е 'Тй '. Другие основные единицы измерений. Приведенные выше размерности наиболее важных магнитных и электрических величин даны в приложении !см. табл. П, стр.

173). Эта таблица показывает, что большое количество размерностей имеет дробные показатели степеней. Ввиду того что некоторые обозначения размерностей с дробными показателями, например М'г*, не имеют физического смысла, многие ученые предлагали выбрать какую-либо четвертую основную единицу измерения с целью упрощения формул. Уже указывалось, что выбор единиц измерения, которые можно было бы считать основными, определяется соображениями удобства. Если, например, в качестве основной выбрать единицу сопротивления Р в дополнение к единицам Ь, М и Т, мы можем получить таблицу формул, в которых не будут содержаться 1г ий, хотя дробные показатели степеней останутся. К существенному упрощению размерностного представления магнитных и электрических величин ведет предложение проф. Кремпа 12), состоящее в том, чтобы считать единицу количества электриче.

ства 0 в качестве четвертой основной единицы !вместо единиц р и к). Дав примеры формул, соответствующих этому предложению, Кремп указывает: 155 «Следует заметить, что введение новой единицы измерения автоматически исключает асе дробные пока. затели степеней. Рассмотрение размерностей показывает, что, в то время как Я появляется в числителе, М появляется в знаменателе, и наоборот, Следовательно, если рассматривать М как функцию Я, она полностью исчезнет из таблицы размерностей, и все механические, электрические и магнитные величины можно будет выразить через Я, Е и Т».

Это предложение в дальнейшем было развито Данкенсоном ~ЗЬ который доказывает предпочтительность использования единицы Я вместо единицы й как четвертой основной единицы. Размерность (Ггй). Одновременное использование двух абсолютных систем электрических единиц, приводящее не только к различным численным значениям одной и той же величины, но также и к различному виду формул размерности, может быть причиной ошибок. Хотя здесь не рассматриваются собственно единицы измерения, представляется необходимым выяснить возможность выражения размерностей гг и й через обычные основные единицы.

Мы уже видели, что формула размерности электрического заряда или количества электричества в электромагнитной системе единиц имеет вид Я = ~.мМ~"р а и электростатической снстеме— 9 = Л "М "Т Ъ ~'. Этн две системы можно согласовать теоретически на основе двух экспериментальных фактов. Первый из них состоит в том, что движугдийся поток электронов создает электрический ток, второй — что движущийся электрический заряд создает магнитное поле. Следовательно, обе формулы количества электричества эквивалентны в отношении размерности, т, е. Т'ьМ'а -'ь Тч Мну — ~йчг Н нлн 156 Таким образом, хотя размерности р и й в отдельности неизвестны, величина, обратная корню квадратному нз их произведения, имеет размерность скорости.

Тот же результат получаем, если сравним формулы размерности для силы тока в этих двух системах:. откуда ==ЛТ 1 у' вь Сопоставление размерностей любой электрической величины дает тот же результат; читатель может самостоятельно проверить это по табл. 111 приложения (стр. !73). Так как все подобные сопоставления приводят к одному и тому же заключению, а именно что 11''у' рл имеет размерность скорости, то, следовательно, сравнивая экспериментально численные значения любых электрических величин в двух указанных системах, можно найти значение этой скорости, Наиболее подходящей величиной для этой цели является емкость конденсатора простой конструкции.

Емкость в электрической системе определяется непосредственно по линейным размерам, а емкость в электромагнитной системе можно определить с помощью баллистического гальванометра. Если Сь — емкость в электростатических единицах и С„ — емкость в электромагнитных единицах, то С,. Г7Л) =- С,17.-'т'р-'), У Ск (1Т ) — ! 1 =о см сек ', рви где Это отношение было измерено; в результате было получено, что п = 2,99 1О" сл сек-'. Таким образом, 1/)г рв равно скорости света в вакууме. 157 Этот замечательный факт привел Максвелла 1865 г, к догадке о том, что как свет, так и электре магнитное излучение распространяются в виде вол в среде, которая в то время именовалась светонос ным эфиром. Фарадей несколько ранее отметил.

«Вполне возмо>кно, что если бы существовал эфир, он мог бы не только быть простой радиационной средой, но и выполнять другие функции» 14~. Три десятилетия спустя после проницательной догадки Максвелла, а именно в 1889 г., когда Рюккер изучал вопрос о размерностях р и А, Герц в серии классических опытов доказал, что электромагнитные волны обладают всеми свойствами световых волн. Хотя, как мы уже видели, можно определить размерность произведенвя рй в функции 1. н Т, однако размерности магнитной проницаемости или диэлектрической проницаемости, взятые в отдельности, остаются неопределенными. Возможно, что одна из этих величин безразмерна; однако предполо>кение о том, что они обе безразмерны, немедленно приводит к неувязке.

Фитцджеральд 15] высказал предположение, что размерности р и й следует считать «идентичными размерности „медленности", т. е. величине, обратной скорости (г,"Т)ж В этом случае, как отмечал Фитцджеральд, «две системы становятся одинаковыми в отношении размерностей и различаются только численными коэффициентами, подобно тому как различаются сантиметр и километр». Однако хотя конечной целью является получение идентичных размерностей одних и тех же физических величин в двух системах, метод Фитцджеральда все же пе является единственным путем достижения этой цели; желательно, чтобы такая идентичность формул основывалась не только на догадках и предположениях.

Магнитная проьзщаемость и диэлектрическая проницаемость имеют весьма различный физический смысл, и нет оснований считать их размерности одинаковыми. Размерности 1« и й 16]. Если бы размерности 1> и « можно было определить раздельно, то тем самым была бы существенно упрощена таблица размерностей физических величин. Покажем теперь, что такой результат может быть получен на основе гипотезы 158 и! ш' им з! ~Ьд5 Фм~ Умножая (11) на (!2), получаем вп д» »,г' где й =)'и~А.

(11) (12) (13) (14) Уравнение (12) можно записать в виде лч' х ы а~ г г ж и! Приравнивая его размерность размерности ния (!О), получаем уравнение размерности — ' .— й Х уравне- (! 5) 159 Ампера о природе магнетизма. Хотя дробные показатели степени при этом не ликвидируются, можно найти по отдельности зависимости рм магнитной проницаемости вакуума, и йм диэлектрической проницаемости вакуума, от Ь, М и Т; кроме того, достигается унификация формул размерности в электромагнитной и электростатической системах, когда для выражения той пли иной магнитной или электрической величины достаточной оказывается только одна формула.

Теория Ампера была основана на предположении, что магнетизм вызывается круговыми токами молекулярного масштаба, образующими элементарные «магнптикн»», которые могут поляризоваться при действии электрического тока соленоида, окружающего магнит. После открытия электрона электрическая теория магнетизма обрела прочный фундамент. Полагая, что эта теория точно соответствует опытным данным, мы можем рассматривать магнитные массы как проявление суммарного действия большого числа круговых электрических токов в контурах атомного масштаоа. Рассмотрим теперь основные уравнения с этой точки зрения.

Имеем (10) Таким же образом, сравнивая (11) н (12), получаем Р ЕЕ 1'н0 !г/, ' Максвелл показал, что скорость (ЬТ-') в уравнении (!5) есть скорость света с. (16) Так как было установлено, что с' = 1|р,й„то из (17) следует, что йэ — безразмерная величина. Согласно гипотезе Ампера, члены уравнений (11) н (12) должны соответствовать друг другу. Эти два уравнения одинаковы в отношении размерностей, и поэтому Иэ =йн Отсюда — '= с'. ло Однако нз (14) lг, = Цц.

Поэтому ЦрД,=с'. (17) Следовательно из (14) рч = йз и из (!б) Р = ЬЬ. Как мы уже установили, йз — безразмерная величина, следовательно, р0 также безразмерная величина и й = —. ! О С2' Таким образом, так как р0 — численная величина, размерности всех магнитных н электрических величин можно выражать через Ь, л4 и Т, причем формулы размерностей в электростатической и электромагнитной системах будут одинаковыми. Применения. Применение формул размерности магнитных и электрических величин для вывода известных уравнений будет показано на нескольких примерах. Ввиду того что ранее было рассмотрено много примеров, иллюстрирующих общий метод, здесь достаточно будет привести по одному примеру из областей магнетизма, электричества и электромагнетнзма.