Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 23

Размерность ,этой величины есть Е Т Н нли при использовании векторных основных единиц 1.„"Е„'*7., Т Н. Эта формула, как и нижеследуюшие, отвечает условию симметрии системы относительно оси Ог. 2. Средняя разность температуры между телом и жидкостью р. Соответствующую размерность можно обозначить как О. 3. Теплопроводпость жидкости й и ее размер- ность имеет вид Е.-~Т-~НО-~. 4. Объемная теплоемкость С. Размерность Ь„Е,, 'й, 'НО 5. Коэффициент объемного расширения жидко.

сти а. Он равен 1/нар/Ю и имеет размерность О '. С ним связано ускорение силы тяжести д; таким об. -з -! разом, формула размерности есть да, т. е. 5,7 О б. Лпяейный размер тела й Здесь его размер. ность можно представить в виде Е,,Ъх'Е,". 7, Кинематическая вязкость з = й1р; ее формула размерности х'мт' = У.„1., Т д 'ь-'!. л! к к 146 Эти семь физических переменных сведены в таблицу: Показатели стенени размерности Обоз паче нне Фггзгтчеснаа «еличииа ~т и в 1Х вЂ” '/ Плотность тепло- Ь вЂ” /г — 1 — ! ваго потока Разность темпе- — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 — 2 /3 1 /а — 1 /з 1 еХ /Х Зависимость Ь от остальных величин можно представить в виде ряда, каждый член которого имеет одинаковую размерность; поэтому достаточно рассмотреть лишь одно уравнение Ь = С гр'/е~С',да~М.

Соответствующее уравнение размерности весьма громоздко, но уравнения, связывающие между собой показатели, можно составить, пользуясь таблицей. В результате получим следу!ощие значения показателей: 7 а=— б' с/=— 1 б' Ь=Ь, с=! — Ь, 9 /= — — Ь, 3 ! Енз —— 2 Отсюда (Чг С,дон~)Л( Л ) 10е 147 ратур Теплопроводпость жидкости Теплоемкость жидкости Ускорение силы тяжести Коэффвнпент обьемвого расгдиревпя Линейный размер Кннематпческая вязкость гр ах /г гтХ Се сХ дХ Произведя замену Ь = — — Ь, получаем 2 Эта формула отличается от решения, полученного без учета векторного характера !Ц, поскольку вместо неизвестного показателя здесь фигурирует число г/з Как и в предыдущем примере, этот результат проверен экспериментально, и, как отметил Робертс 191, «достигнуто замечательное согласование результатов, полученных как для паропроводов, так и для тонких проволок».

Диаметр г( изменялся от 0,004 до 30 им, Это убедительное подтверждение ценности анализа. ЛИТЕРАТУРА !. Ьа по!ге»1ег, ТЬе ТЬеогу о1 0ипепз!опз, р. 99 2. Епс(гег, РЬ!!. 51«9., 27, !04 (!888). 3. 0 и пса п »о и %. Е., Ргос. Рауз. 5ос,, 53, 298, 444, 4. 8 1 а г ! ! п 2 Е!ес!г!с(!у апб Маапе!!зпг (1926), р. 366, 5. В г о в п 0. В., Ргос. Рьуа 5ос,, 53, 298, 426, 6. С Ь а гп р ! о п, 0 а ау, Ргорег1!ез о1 Майег (1947), р. !94, 7.

МсА 5 а газ, Неа1 Тгапып1зз!оп (1942), р. 92. 8. 0 а е1 з, Р!и1, Мод,, 40, 692. 9. ЕоЬег(з, Неа1 апд ТЬеггпойупаппсз (!949), р. 245. Глава 1Х ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ Существуют две системы абсолютных электрических единиц, и они определяют собой два различных метода измерения электрических величин. Речь идет об электростатической и электромагнитной системах. Поэтому можно ожидать, что мера любой данной величины в одной из этих систем в общем случае отличается от ее меры в другой системе, однако ее формула размерности не должна зависеть от используемой системы единиц. Электростатическая система единиц базируется на фундаментальном уравнении где 1 — сила притяжения или отталкивания между двумя точечными электрическими зарядами о~ и от, находящимися на расстоянии т, а А — постоянная, называемая проницаемостью среды, находящейся между зарядами.

Фарадей дал этой величине название диэлектрической проницаемости. Для вакуума ее значение равно единице, а для воздуха при атмосферном давлении оно составляет 1,000590. Если размерность д обозначить как Я, то, считая й безразмерной величиной, получаем из (1), что Я = 1. ьМ ~'Т (2) В электростатической системе единица силы тока определяется как перенос единицы количества электричества в единицу времени: !49 Отсюда можно получить уравнение размерности ( = ЯТ = /.

'М ~'Т (1) Электромагнитная система единиц основана на искусственном понятии об изолированной магнитной массе. Фундаментальное уравнение в этом случае имеет внд Я Э ГДЕ 1П~ И глз — МаГНИтНЫЕ МаССЫ И и — ПОСтОЯННаЯ, называемая пронш(аемостью среды, в которой они расположены.

Принимая Р в качестве обозначения размерности т и полагая и безразмерной величиной, получаем Р= ЬьМ~"Т (6) Третье фундаментальное уравнение, основанное на результатах опытов Лмпера, определяет силу при. тяжения нли отталкивания между двумя параллельными проводниками Ыз и с(з', несущими токи / н г; как И1Д Нз Ыз' г2 (7) и, так как й/ = ( сИ, (9) Сравнение уравнений (4) и (8) и уравнений (2) и (9) показывает, что нами получены различныеформулы размерности в единицах длины, массы и времени для одинаковых физических величин, Так как это противоречит одной нз аксиом анализа размерностей, то, по-видимому, имело место какое-то допущение, которому не было придано значения.

Эта ситуация сходна с принятием 6 в качестве безразмерной величины в формуле всемирного тяготения / = 6ММ'/г'. Таким образом, становится возможным 150 Поскольку Издз'/г' — безразмерная величина, то, согласно уравнению (7), получаем /= /.~*М1'Т ' (8) утверждение, что, хотя й и р порознь могут быть безразмерными величинами, по крайней мере одна из них непременно должна быть размерной.

Этот вывод был сделан Рюккером (1! в !889 г. Ранее было принято повсеместно включать в формулы размерности электрических величин две основные величины й н р. Оставался открытым вопрос, действительно ли они являются основными и можно ли их выразить через Е, М и Т. На основе определения единицы количества электричества, формулируемого согласно уравнению (1), можно построить систему единиц магнитных и электрических величин, включающих диэлектрическую проницаемость й.

Это электростатическая система единиц. Таким же образом на основе определения единичного полюса, формулируемого согласно уравнению (5), можно построить систему единиц тех же физических величин, включающих магнитную проницаемость 1ь Это электромагнитная система единиц. Обе системы, использующие в качестве основных единиц сантиметр, грамм, секунду, называются абсолютнымп системами. Значения и п й принимаются равными 1 для вакуума. Электромагнитная система. Выведем формулы размерности некоторых известных электрических и магнитных величин из уравнений, которые им соответствуют. Существуют две системы таких формул, которые становятся идентичными лишь в случае, когда можно найти соотношение между р и й.

Рассмотрим вначале электромагнитную систему, которая основана на уравнении (5) в предположении, что читатель знаком с основами предмета, его главными определениями и уравнениями 1. Магнитная масса. Из уравнения (5) получаем Р= т.':Ь!'-т '1"-, Хотя такие обозначения, как М", ие имеют физического смысла, напомним, что эта формула полностью базируется на результатах опытов с двумя магнитными массами и что она является просто математически удобным вариантом уравнения Рэ У 3МТ вЂ” 2 !51 2. Напряженность магнитного поля.

Сила, действующая на мапштную массу т в магнитном пола напряженностью Н, )= Нгп, Следовательно, используя Н как обозначение раз. мерности напряженности магнитного поля, получаем !.тат г -'ь '6 -1 !.чи'-т-'и'~: 8. Магнитная индукция. Она определяется кан произведение нН. Поэтому ее размерность есть ! -~1:М'ьТ-! Ч~ Р ° 4. Магнитный момент, Магнитный момент дипол или стержневого магнита есть пара сил, действую щих на него со стороны магнитного поля. Он раве также произведению длины магнита на магнитную массу. Оба эти определения приводят к формуле раз. мерности РЕ = Е'М "Т-'и"'.

5. Сила тока. Из уравнении (б) и (7) получаем следующее соотношение между силой тока и взаи. модействующнм с нпм магнитным полем: ни' аз 1 ч Г Отсюда получаем формулу размерности ! = !. "МмТ Р б. Количество электричества. Из последней формулы и уравнения ! = йд(й! имеем Я = Е !'М ~'р 7.

Электродвижуи!ая сила илн разность иотенйиалов. Формулу размерности этой величины можно вывести из следующего соотношения: Мошиость = Сила тока Х э. д, с., т. е. Е'МТ ' = = Г~-М'аТ ' Х э. д. с. Обозначая э.д. с. через Е, получаем слсдуюгную формулу: Е =- Л М "Т ' и ь. 8. Электрическое сопротввленне. Сопротивление равно отношению э. д. с./сила тока Поэтому формула размерности имеет вид !! = Е! ' = 1-Т !у..

Таким образом, если полагать и безразмерной величиной, то сопротивление имеет размерность скорости. 9. Емкосттх Емкость равна отношению количества электричества к разности потенциалов: 1! С=ОЕ '= — " =Е ~Т тч м'ьт-2 '! !О. Т)ндрктавность. Размерности самоиндукции и взаимной индукции и! одинаковы. Они выводятся из следующих соотношений: в! в! э.

д. с. = ! — или э. д. с. = пг— Н ' ' ' Ж' откуда с'!..мы- „ь ЕТ! =, н, =! !."-М' Г- а- Таким образом, если р — величина безразмерная, то индуктивность измеряется в сантиметрах. Электростатическая система. Рассмотрим теперь втору!о систему абсолютных единиц. В электромагнитной системе мы были обязаны использовать дополнительную основную единицу р магнитной проницаемости, отложив выяснение вопроса о том, каким образом эта величина может быть выражена через Е, М и Т.

Аналогичным образом мы должны теперь ввести в рассмотрение другую основную единицу, а именно единицу измерения диэлектрической прони!!аелсости, или диэлектрической постоянной, отложив на время решение вопроса об ее связи с другими основными единицами. ), Количество электричества. Формула размерности в электростатической системе основана на определении количества электричества согласно уравнению (1). Отсюда получаем формулу размерности для электрического заряда или количества электричества: Я = Еч'М"-Т ''й'*. Отсюда выводятся формулы других электростатических величин. 2, Напряженность электрического поля. Эта величина, аналогом которой является магнитное поле, определяется как сила, действующая на единичный электрический заряд: Сядь 7МГ 1Н И, ~ 1Ь Заряд ЬНМЧ'и ~эЬ 3. Индукция электрического поля. Индукцня аналогична магнитной индукции и равна произведению й Х напряженность электрического поля; соответственно она имеет размерность 1.