Г.И. Хантли - Анализ размерностей (1155757), страница 25
Текст из файла (страница 25)
П р и м е р 1, Найти напряженность магнитного поля стержневого магнита в точке Р, находящейся от магнита на расстоянии, намного превышающем его длину. 160 Искомая напряженность магнитного поля Н зависит от расстояния г), на котором находится точка Р от магнита, от магнитного момента М магнита и от магнитной проницаемости 1а среды. Формулы размерности величин даны в нижеследующей таблице. Обозна.
чеине Фармтла размерности Физичеснаи величина Т рг Вапряженность магнитного поля в Р Магнитный момент магнита Расстояние от Р до магнита Магнитная проницаемость И га Взяв один член из ряда одинаковых по размер. ности членов, получаемых в результате разложения функции Н=)(М, А р), получаем уравнение Н = СМог1ь1ьс. Соответствующее уравнение размерности имеет вид ).-'М'т-' -'*(Ь'ьМ'*т-' 'Я)'Ь' '. Отсюда обычным методом получаем а=1, Ь= — 3, е= — 1. Следовательно, Н= С+.
р = 1 1приблнзнтельно) для воздуха. Если точка Р распело>кена на оси магнита, то С = 2 в случае, если Р находится в экваториальной плоскости магнита, С = 1. 11 Зан. бнр 161 П р и м е р 2. Электрическая цепь с пренебрежимо малой индуктивностью содержит заряженный конденсатор и сопротивление, соединенные последовательно. Определить заряд конденсатора через время 1 после начала его разрядки через сопротивление. Пусть первоначальный заряд конденсатора при 1 = 0 равен д„ а д — заряд, оставшийся по истечении времени й В число переменных задачи входят также емкость с конденсатора и величина г сопротивления, Запишем размерности всех этих ветичнн в следую- щей таблице: Обоана- чевне Формула раамерносто Фаанчеснаа величина б М Т Отношение оставшегося заряда к первоначальному Емкость Сонротннленнс ВРелан т и- т т Имеем Ч/до = ~(с, г,~) или у!цсееС с Грт'.
Формула размерности т'М Т =ЫТ, 1Тар 1) Х Х(ТТ '~)'Т'. Отсюда получаем Для определения вида функции требуется привлечение других методов, дающпх следующий результат; д =дсе "'= псе где д — постоянная времени электрической цепи. Приведем следующий пример, подобный предыдущему. П р и м е р 3. По цепи, состоящей из индуктивности н сопротивления, проходит электрический ток. Найти величину электрического тока через время 1 после внезапного уменьшения э.
д.с. до нуля. Эта задача предлагается читателю в качестве упражнения. Ее решение, полученное обычным аналитическим методом, имеет впд а=за ' = ГŠ— с — с где Х = 1/г — постоянная времени электрической цепи. Результатом решения следующей задачи является формула, известная изучающим атомную физику. Она находится в основе многих экспериментальных методов в ядерной физике и описывает движение заряженных частиц в циклотронах и других ускорителях.
Формула содержит шесть физических величин; тем не менее здесь можно получить полное решение задачи (если известен численный коэффициент). П р и м е р 4. Электрон движется под прямым углом к однородному магнитному полю. Найти радиус кругового дни>кения электрона. Пусть гп — масса электрона, е — его электрический заряд и и — скорость. Допустим, что он движется по кругу радиусом г с угловой скоростью еь Пусть Н вЂ” напряженность магнитного поля. Число переменных можно уменьшить, если воспользоваться соотношением аз = о(г. Приводим таблицу формул размерности: обо. вивче- иие Формуле резмериости Физичесизи величаев Т-' М Угловая скорость электрона Масса электрона Заряд электрона Напряженность магннтного поля Магнитная проницаемость среды ьт И и" т-' ь~з г -Чз е Н оу = ) (гп, е, гт, 1ь), Один из членов ряда имеет вид оз = С ° иоеьй"гер.
11» Представим оэ непосредственно как функцию остальных переменных Ь - 1, с 1, г1 1„ а= — 1, Отсюда поэтому илп, если ~ Н' Приведенных примеров достаточно, чтобы показать применение обычных приемов анализа размерностей к магнитным и электрическим явлениям так же, как это было сделано при рассмотрении задач механики, общей физики, теплотехники, оптики и акустики. Одно из главных отличий состоит в том, что в уравнениях размерности появляются дробные показатели степеней, Верно и то, что возможности применения метода размерностей к задачам из области электричества более ограничены по сравнению с другими разделами физики.
С дру~ой стороны, имеется достаточная область, где можно использовать анализ размерностей в каждодневной практике для проверки правильности уравнений. Любой учебник по электротехнике содержит большое количество уравнений и формул, которые читатель может проверить с точки зрения размерностей. Рассмотрим один пример. Мы уже знаем, что маг. нитный момент элементарного магнита, связанный с движением электрона, является величиной, кратной еА/4пт, называемой «магнетоиом Бора».
Читатель, привыкший исследовать формулы в отношении их размерности, немедленно задастся вопросом: <Имеет ли выражение ей14ппг размерность магнитного момента?ю Здесь е — заряд электрона, имеющий размерность Еч1М'Ьр-'Ь, й — постоянная Планка, имеющая размерность момента количества движения Е'МТ-'. Так как размерность магнитного момента есть Е'ьМ~*Т-'1ль, мы должны записать равенство в следующем виде: Е'*М'*Т 'р" = Е'*й4'р' Е'МТ-'. М-'. Это выражение является правильным, если 1л — числовая величина; справедливость последнего утверждения уже была показана ранее. Изучающим физику хорошо известно„что такие примеры встречаются достаточно часто, 164 Подобную проверку, которая может оказаться весьма длительным процессом, легко ускорить, если иметь под рукой таблицу формул размерностей.
ЛИТЕРАТУРА 1. й 0 с !ге г, РМ1. Маа. (50г Яепев), 27, 104. 2. С г а ги р, )со!иге, 130, 363, 692. 3. 1) пи с а и в оп, Ргос. Раув. Бос.„53, 432. 4. Р а г а й а у, Ехрегппеп!а! Йевеагс)гев !п Е!ес!г!спу, ч, Ш, р, 330. 5. Р1! в яег а! 4 С. и., Рай, Мод. (5!п Бег!ев), 27, 323. 6. 1г е и 4 е г в о п, Епа!пеегта, 14, 348 — 349, 454 — 435. Глава Х ЗАКЛЮЧЕНИЕ В предыдущих гпавах изложен анализ размерностей для студентов-физиков.
Приведенные объяснения, примеры и общие соображения были изложены языком, принятым среди физиков. Однако не следует забывать, что не только физики используют метод размерностей, В отдельных отраслях техники также достаточно широко используется этот метод. Это подтверждает ряд уже рассмотренных примеров. Так, пример 6 (стр. !46) представляет интерес для инженеров-теплотехников, а пример на стр.
)26 — для изучающих баллистику. В то время как почти все предложенные выше иллюстрации анализа размерностей возникли на базе экспериментальной физики, этот метод имеет также полезные применения к задачам теоретической физики. Поэтому представляется целесообразным в этих заключительных замечаниях отме. тить, что сфера применения метода шире, чем это показано в книге.
Иногда возможно применение принципов этого метода в самых неожиданных областях науки. Это можно показать при кратком экскурсе в элементарную аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия. Известно, что выражение у= +Ьх является уравнением прямой линии. Так как каждый член имеет одинаковую размерность и так как х и у — длины, то а — также длина и Ь вЂ” число., Отрезок, который прямая отсекает на оси Оу, ра.
вен а, а Ь является тангенсом угла наклона прямой к оси Ох, пли первой производной функции у. С дРУ гой стороны, уравнение к2, пг а1 ' ь' 1бб является уравнением эллипса. Поскольку это уравнение однородно по размерностям и так как в правой части находится число, а х и у — длины, то а и Ь должны иметь размерности [Е„) и [Е»]. Действительно, они являются взаимно перпендикулярными осями эл. липса. Наконец, уравнение у = а+ Ьх+ схэ является уравнением параболы.
Каждое слагаемое справа имеет размерность [1.„1, если уравнение однородно по размерностям; а имеет размерность [/.„), поскольку является отрезком, который отсекает парабола на оси Оу, Ьх имеет размерность [Е»1, если размерность Ь представить в виде [й,/., ]. Это выра>кение является точной размерностью Ь, так как Ь вЂ” это «наклон» г/у/с/х параболы в точке пересечения параболы с осью Оу. Слагаемое сх» имеет размерность [Е»1, если размерность с есть [У.«/.
]. Но это как раз точная размерность с, так как с является кривизной параболы в точке перегиба, ее размерность равна размерности аэу/ах» нлп а/ах(с/у/ах), т. е, [/. /. Не будем далее развивать здесь этот метод. Изучающие аналитическую геометрию легко найдут для себя дальнейшее применение метода размерностей в этой области, Однако этих простых примеров достаточно, чтобы показать более широкие возможности метода, чем это представлено в книге. «Рабочий инструмент».
Главная цечь метода размерностей, который рассматривался выше, состояла в практическом его применении. Прп постановке вопросов, изложении новых идей и выборе примеров автор руководствовался желанием вызвать у читателя достаточный встречный интерес для того, чтобы помочь ему приобрести, хотя бы даже подсознательно, привычку рассматривать физические уравнения с точки зрения их размерности. Метод размерностей расхваливался не ради него самого и не преподносился как законченная теория, а был рекомендован как средство достижения конкретных целей.
Реальная ценность анализа размерностей заключается в том, что он способен служить ученому физику в качестве рабочего инструмента в различных областях науки, о чем уже было подробно сказано. Физик, приобретший привычку мыслить категорнями размерностей, применяет это умение для восстановления забытых формул, проверки уравнений, преобразования единиц, для исклвэчения излишних и выбора решающих экспериментов, для извлечения максимального количества информации, связанной с естественными соотношениями, сушествуюшпми между переменными нерешенной задачи, и для других целей. Так как этн пели носят практический характер, то ценным дополнением к анализу размерностей служит опыт и интуиция.
Замечательным примером такого комплексного анализа является объяснение Релеем с помощью метода размерностей голубого цвета неба '(см. стр. б9). До тех пор пока рассматриваемое явление не выражено посредством уравнения или формулы, нет оснований отвергать помощь, которую прн. носит знание экспериментальных результатов пли соотношений, подсказанных интуицией. С другой стороны, создается иное положение, если анализ размерностей изучается ие как средство для достижения цели, а как самостоятельный предмет. Очевидно, что в этом случае необходимо вести исследование с более общей точки зрения. Следует рассматривать его так, как это делал великий Ньютон.
Некоторые принципиальные вопросы еше требуют ответа и весьма возможно, что хорошо обоснованные принципы метода приведут к плодотворному увеличению количества и значения его практических приложений. В прошлом попытки формально обосновать метод являлись обильным источником противоречий, и даже в настоящее время нет установленных п всеми принятых основ метода размерностей. Возможно, прошло уже время дискуссии о том, какие единицы измерений являются «действительно» основнымн; однако до сих пор еше нет согласия по вопросу о количестве основных единиц, все еше под вопросом находится метод наиболее рационального выбора соответствующих физических величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
