Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 22

висит также от Е через й и и и массу молекулы лз. Обозна. ~ение Формулз размерности Физическая зелачнна Ь М г Коэффиииент вязкости Средняя скорость молекул Масса молекулы Размерная постоян. ная Ы (и+! М тг Показатель п является числом. т! = С ° с'!пей', Т.-гМт 1-(~т-!) Ир()."е!Мт-'~', (и+ 3) (и+ !) — 3 а= —, Ь с= (и — !) г (и-!) ' (я — !) / ра+загнт! !!г(н-гз Таким образом, т) = С ~', / . Согласно ьг экспериментальным данным, т! = сопз( Х Тя, где 138 Молекулярные силы.

Следующий пример служит остроумным приложением метода размерностей к определению зависимости меж молекулярных сил от расстояния между молекулами !61. Он основан на экспериментальном соотношении между вязкостью и температурой газа. имеет различные значения для разных газов. Так как Т-с', то ~! = сспМ с'», Отсюда 2р =. (а+ 3) Напри(я — 1) ' мер, для гелия р = 0,68, так что п = 12 и ь с= —, ам Это выражение показывает, что сила взаимодействия между атомами газообразного гелия уменьшается чрезвычайно быстро с увеличением расстояния.

Для углекислого газа р = 0,98 и Р= —, э (э. Следовательно, « р адиус действия» молекулы углекислого газа сравнительно велик. Следующий пример выбран для иллюстрации возросшеи эффективности анализа после введения векторных размерностей вместо [Ц н дифференциации размерности массы на [Мя[ и [ЛЦ. Одним из достижений молекулярно-кинетической теории газов было определение зависимости теплопроводности газов от свойств их молекул.

Такой же результат можно получить методом анализа размерностей. П р и м ер 3. Найти выражение для теплопроводности газа в зависимости от его молекулярных свойств. Предположим, что тепловой поток направлен параллельно оси Ох н что теплопроводность газа зависит от следующих семи физических величин: !. Коэффициент теплопроводности А. Формула размерности основана на опрсдслснни этой величины в виде Я л ~ на/н( Если представить формулу размерности Н в виде ь,"т*„'1.,'М,Т ', то формула размерности для й бу. дет изображаться как й: й, ч(., «М,Т '0 ' 2.

Масса молекулы т. Ее размерность обозначается как М„. Для удобства эти величины сведены в таблицу, Ввиду весьма большого количества переменных здесь более удобен другой метод составления таблицы. ~ ос ' нзтс- нне Псязтзтсль степени рззмернестн Онзнчссязя ссзн сныз !! ьз и из г)е Ь ! (-З вЂ” ! 1 — ггз Теплопроводность Масса молекулы Чг!сто молекул в единице объема Средняя скорость молекул Средняя длина свободного пробста молекул газа Зсавлеигте газа Теплоемкость на единицу массы пт ( аХ вЂ ! — 1 †! — 1 — 1 — ! 1 гч ' ЬХ -Чз -Чз гг гг lз Iз 1 -2 — 1! -2 — ! Р Сп Представим уравнение, связывагогцее эти пере. ыеиные, в виде й С гн"йг'с'Л р'Св. 110 3. Число молекул в единице объема тт1.

Формула размерности этой величины есть 7. 7.„7., '. 4. Средняя скорость молекул с. Так как мы рассматриваем передачу энергии только вдоль оси Ох, то формула размерности этой величины имеет вид 7лТ !. 5. Средняя длина свободного пробега молекул газа т.. Ее размерность есть |,„ 6.

Давление газа р. Эта величина, конечно, не является однонаправленной, ввиду чего ее формулу размерности можно предста вить как А „'1.„чт., ч М;7 7. Теплоемкость единицы массы С„. Формула размерности 77/МпО или Й~. ЙМ,'М;Г"В '. Соответствующее уравнение размерности, которое содержит обычные размерности [(.] и [М], имеет вид ЕЛ1Т 0 ~ =-Л1'[й ~ЯТ ) Е~(й ~Л4Т ~) [1 7 й ). Здесь четыре уравнения содержат шесть неизвестных показателей. В итоге получаем формулу, представля!ошую лишь небольшой интерес: !ноД ьРа — ~1 ~ — за ьэь в Используя векторные составляющие [Ц и проводя различие меэкду [Мя] и [ЛЦ, получим семь уравнений, связывающих шесть показателей степени. Шесть уравнений независимы. Так как уравнение размерности громоздко, то шесть независимых уравнений можно получить, используя приведенную выше таблицу.

В итоге получим следующее рещение этих уравнений: е= О, 1=1. с=1, Ь=1, с1 =!, н=1, Таким образом, А = С (и!Х)сЛС„. Величина ьчЛ! есть плотность р газа, а с приблизительно пропорциональна абсолютной температуре Т. Следовательно, А = С,рТЛСш Эксперименты подтверждают, что теплопроводность газа приблизительно пропорциональна абсолютной температуре. Вызывает удивление, что теплопроводность газа не зависит от давления (е = 0), хотя это также находится в согласии с опытом.

Решение этой задачи [полное с точностью до численного коэффициента), в которой фигурируют семь переменных, следует рассматривать как безусловный успех усовершенствованного анализа размерностей, Теплообменник [7]. Жидкость или газ протекае~ по трубе, погруженной в резервуар с жидкостью. Труба изготовлена из высокотеплопроводного материала, между внутренней и наружной поверхностями трубы поддерзкнвается постоянная разность температур.

По. ток жидкости нли газа может быть ламинарным или турбулентным, но в любом случае у внутренней по. верхиости трубы имеется тонкий слой, движущийся без турбулентных пульсаций. Можно предположить, что толщина э|ого слоя зависит от вязкости и скорости жидкости пли газа, а также от диаметра трубы, Теплоотдача зависит от толщины этого слоя. Попытаемся с помощью анализа размерностей установить, как теплопсредача зависит от переменных, которыми она определяешься. П р и м е р 4. Определить коэффициент теплоотдачн в теплообменнике. Укажем на те шесть физических переменных, которые, по-видимому, существенны для этой задачи; 1.

Коэффициент теплоотдачп Ь. О~ определяется как количество тепла, переданного в единицу времени через единицу поверхности прп единичной разности температур между границами слоя. Функциональная формула имеет впд й=— Я АО~ ' Соответствующая формула размерности такова; Т 'т 'Нй Предположим, что следующие три величины влияют на Ь, поскольку онц определяют собой толщину пограничного слоя. 2. Вязкость пограничного слоя ть Ее формула размерности $.

'л4Т-'. 3. Массовая скорость среды рц. Она равна коли. честву жидкости пли газа, проходящему в единицу времеви через единичную площадь поперечного сечения. Формула размерности есть ь й4Т-', 4. Диаметр трубы А размерность У., Укажем еще два фактора. 5. Теплопроводность жидкости А.

Формула размерности 1, 'т 'НО '. б. Теплоемность на единицу массы жидкости Си. Ее формула размерности М 'НО-'. Все этн величины сведены в следующую таблицу: Пензззтезн степени Ос н че. ние Физичеензв величине Коэффициент теплоотда ш Вязкость жид- кости плп газа Массопая ско- Ч аХ ЬХ рость зпидко- стц или газа диаметр труды Коэффициент теплопроаод. ности кидко стн н.тп газа Массовая теп- ! — ! сХ и'Х Си еХ лоемкость Представим Ь в виде функции остальных перемен. ных.' Ь=!(11, рр, Ы, Ь, Си) !лн отсюда ~ рптз) ~ ПСи) нли !43 Л = С т!'р о!а'Ь~С'„.

Уравнение размерности имеет вид -з,-1 -! ( -1 ~у,— г1чз!1-зЬ1т-г1ь, Х У'1т. 'т-'НВ-')" (М 'На '>'. Эбычная система уравнений, связывающая показатели, может быть составлена либо на основе последнего уравнения, либо по табличным данным, Получаем в итоге с=е — Ь, Ь=Ь, с=Ь вЂ” 1, 11=1 — е, е=е. Пояазатень стенено рззнеряостн Обоз- нзче- нне Ф и з н ч е с зт а н невинна ь(м ! лй т ) в Ь 1Х Плотность тепло- ного потока йтассован скорость жидкоспз Разность температур Теплопроводвость жидкости Теплоемкость зкидкости на египпшу массы Линейный размер о 1 — 3 и с,'", С те тц; 1 — 2 ! е,'< где у" — неизвестная функция, которую необходимо найти экспериментальным путем. Читатель может убедиться, что тот же результат получается при использовании системы единиц 1МТ, Вынужденная конвекция.

Когда жидкость или газ прп своем двпжеппн переносит тепло из одной точки в другую, процесс теплопередачи называется конвекг1псс7. Известны два вида конвекшш. В одном случае движение среды возникает в результате изменения ее плотности вблизи нагретого тела; под действием силы тяжести она поднимается вверх. Такой процесс иа. зывается естественной конвекпией. Рз другом случае движение среды вблизи нагретого те.на вызывается посторонним источником. Этот процесс называется вынужденной конвенцией. Задачи, связанные с конвективиой теплопередачей, можно решать методами размерностей. Рассмотрим вначале пример решения задачи о вынужденной конвекции.

П р и и е р 5. Определить теплоотдачу тела при обтекании тела жидкостью, двпжушейся с постоянной скоростью. В этой задаче, известной как задача Бусспнеска, фигурирует несколько физических переменных, собранных в нижеследуюшей таблице. Будем считать, что жидкость несжпмаема и не обладает вязкостью. Уравнение заменено рядом однородных по размерностям членов, каждый из которых имеет вид ро' р й'С„('. Уравнения, связывающие показатели степеней этих членов, можно составить, воспользовавшись табли- цей: (длпна) О = — 2а+ с+ 2д+ е, (масса)„ О = а — с1, (масса), 1.= с+ г(, (время) (телгпература) 0 == Ь вЂ” с — г4. Отсюда а=а, 6=1, 3 =-- а+ Зг+ 2г1 с=1 — а, 0=а, с=а †ча Гр с„11' Следовательно, Ь = С Если видоизменить аргумент, введя в него коэффициент вязкости ть которыи имеет размерность 1='МТ ', то в итоге получаем Введя же кинематнческую вязкость т = т(/р и объем- ную теплоемкость Сл = рС„, получаем Особенно интересен для экспериментатора случай, когда тело представляет собой длинную проволоку.

Если Ь' — плотность теплового потока, отнесенная к единице длины, то эта величина не зависит от 1 145 10з .лаз Если ввести С„ — теплоемкость единицы объема, то С„ = рСв и решение примет вид для длинной проволоки и вместо 7 в формулу можно подставить А т. е. диаметр проволоки. Кроме того, если жидкостью является двухатомньш газ, то опыт показывает, что — ч — постоянная величина. Отс, ь тг' ! ад 1 сюда — =) ~ — ). Тшательно выполненные экспери) менты 181 показывают, что все точки зависимости й'/й от ог1/т располагаются на плавной кривой в ши- роком диапазоне значений Ы вЂ” от 0,003 до 5,0 см. Естественная коивекция.

П р и м е р 6. Определить теплоотдачу тела, погруженного в жидкость. Предположим для определенности, что рассмат- риваемые тела представляют собой цилиндры с вер. тикальной осью, параллельной оси Ог прямоуголь- ной системы координат. Требуется определить коэф. фициент теплоотдачи. Здесь мы будем применять метод Робертса 191, гю заменим 1Ц на 1У,1, ~Е,„) ° и 1. Плотность теплового потока Ь.