Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 21

Сравнивая эти результаты, имеем [УО] =- ['ь Т [й0] =[l МТ [)т0] = [Г~МТ Полагая до сих пор, что размерности теплоты и энергии одинаковы, мы находились на твердой почве. Однако если считать, что температура — это энергия, приходящаяся на едишщу массы и имеющая размерность [Е«Т-«], то Т в таком случае — безразмерная величина, размерность /г имеет вид [Е-'МТ-'], а размерность )с выражается как [М). Иными слонами, в использовании дополнительной основной единицы 0 отпадает необходимость, если Т выбрана в качестве безразмерной величины. В некоторых работах, например в [3], температура определяется согласно кинетическому уравнению для газов й= — Е, т.

е, [О] = [1.'МТ ']. Отсюда следует, что газовая по. стоянная )г безразмерна, энтропия (= г)Е10) тоже представляет собой обычное число, а Т имеет размерность [М-']. Полученные таким путем противоречивые ре зультаты свидетельствуют об отсутствии единодушна среди физиков по вопросу оо «истинных» размерно. 132 стях тепловых величин. Это различие во мнениях широко распространено уже в течение длительного времени. Поэтому представляется вполне естественным исследовать причины бесплодности столь долгих споров. <сАбсолютные размерности». Тщательное изучение соответствующей научной литературы показывает, что точка зрения некоторых физиков основана на предположении, которое невозможно доказать, а именно что каждой физической величине соответствует единственная формула размерности, которая может быть составлена единственным путем. Например, Старлнпг с41, говоря о магнитной проницаемости и диэлектрической проницаемости, отмечал, что «до тех пор, пока мы не станем более информированнымп о свойствах светоносного эфира, нельзя утвер>кдать, каковы должны быть их абсолютные размерности>>.

Следует подчеркнуть, что не существует такого понятия, как абсолютная размерность физической величины, аналогично тому, как не существует понятия «абсолютнзя скорость». Размерности скорости и других подобных понятий являются относительными по своему определению. Мы придерживаемся следующей точки зрения. фор,ирли розлсерноста физической величины основана на определении эгон' величиньс, которое само по себе зависит ог метода измерения велссчпньс с использованием основных единиц излсеренил, выбор которых (в определенных пределах) произволен.

Если один из физиков пользуется формулой размерности той нли иной физической величины, кото. рая отличается от формулы, используемой другим физиком, то можно сделать вывод, что они прибегают к различным методам измерения величин и, следователыю, пользуются различными определениями этих величин. В случае возникновения затруднений и выборе формул размерностей некоторых физических величин причину следует искать не в каких-либо таинственных скрытых характеристиках этой величины, а в неоднозначности ее определения.

Отсюда следует, что, когда мы встречаемся с азаимоисключающимнся эквивалентными формулами !33 размерности, наш выбор определяется соображениями пригодности и удобства. В тех случаях, когда бросается в глаза энергетический характер тепла, пред. почтительнее формула размерности ~Глй4Т 21 в других случаях, например в задачах теплопроводности, лучше пользоваться размерностями ~О~ и ~03 ввиду нх простоты. В одной из публикаций [5) была 42спользована формула ~теплота1 = ~Г 2Т 41. Единственным критерием ее ценности является прагматическая сторона применения, что же касается логических обоснова. ний, то против нее нет возражений.

Итак, формулы размерностей тепловых величин мо. тут быть различными в зависимости от методов, используемых для измерения этих величин, и выбора основных единиц измерения. В нижеследующей таб. лице приведены соответствующие примеры Основные елнннаы нзыеленнн Ф2СЗНЧЕСНЕЕ величины нсг е телловые 2 несзннчес2сне ееыынны ) еелнчнвы смг 2 2МУ вЂ” 2 0 Н М9 0 0 Нв ' М Нб 2Г-20 ' 1.

'МГ б'МГ Гзг Колнчестпо тепла Температура Теплоеыкость Теплопровод- ность Г2МГ-29 — ' ДМГ-29 М ь-4МГ 194 Здесь мы приняли, что Г является безразмерным коэффициентом пропорцнональности. Таким образом, пятый столбец таблицы получается из третьего, если вместо 0 подставлять РТ-2. Аналогичным образом четвертый столбец получается из второго, если вместо 22Г подставлять 1 2ЧТ-'. Среди равнозначных систем основных единиц из.

мерения система ГМТ О, вероятно, наиболее удобна. Принимая 0 в качестве независимой основной единицы, мы отказываемся тем самым от установления каких-либо ее соотношений с Г., Й4 н Т. Кроме того, для снижения числа безразмерных комплексов, образзющих аргументы функции ~( ) = О, желательно увеличивать число основных единиц измерения на столько, чтобы число физических величии превышало их не более чем на ! О единице измерения массы. Прежде чем перейти к рассмотрению примеров по прпмененшо анализа размерностей в задачах пз области теплофизикн, подведем итоги выводов, сделанных в гл. Ч в отношении двойственного характера массы, единица измерения которой является основной.

Мы уже впделп, что длина имеет, так сказать, сложную структуру, которую можно записать в виде ~ =!1.„! 1~„!'Р.,!' !а+!О+у= 1), и что оказалось полезным рассматривать как век. торы многие физические величины. Компоненты Ь следует считать в большей степени «основными», чем собственно !Е!. Как уже отмечалось в гл. Ч, «основная величин໠— масса — ие является столь основной, как ее обычно принимали авторы работ по теории размерностей. Будет показано, что различие, сделанное между массой как количеством вещества, пмеюшей размерность [Мя), и массой как мерой инерции, имеющей размерность )М;), полезно учитывать при выводе формул и уравнений теплофизики. Очевидным успехом такой практики является то обстоятельство, что формулы размерностей некоторых тепловых величин становятся более содержательными.

Например, теплоемкость единичной массы вещества численно равна в системе СГС (но не эквивалентна по размерности) удельной теплоемкостп вещества; ее размерность можно представить как НМ ''В Однако зта формула имеет большое значение, если записать ее в виде ЧМя 8, так как зто означает, что масса как мера инерции не сугцествекиа для данной физической величины. Далее, если У рассматривать как механическую, а не тепловую величину, то ее размерность уже не будет выражаться как ~ МТ, посколысу в этом случае размерность теплоемкости единичной массы была бы ЕзТ й Новая формула размерности теплоты принимает впд Е~М,Т, откуда следует, что формула размерности теплоемкости единичной массы есть / И;М„~Т 0 Ранее употреблявшаяся упрощенная формула была 135 о основана на предполо'кении, что М,Мь М, т.

е, две эти величины полностью тожде твенны; однако онн, хотя и строго пропорциональны друг другу, всв же являются разнородными. Кан мы увидим впоследствии, такая, например, формула размерности, как Е'М~М,,'Т 0 ', не только содержательнее, чем Е Т О, но п полезнее в том отношении, что ограничивает число возможных взаимосвязей между физическими величинами, входящими в формулу. Это объясняется тем, что требование однородности членов уравнения по размерностям до сих пор относилось только к [М], а теперь оно относится как к [М„], так и к [М,].

Ясно, что . это приводит к увеличейию на ! числа уравнений в системе, связывающей показатели уравнения размерности, и, следовательно, к уменьшению на ! числа показателей, для которых не моягет быть найдено численное значение. Несомненно, это весьма важное преимущество. Кроме практической ценности, для метода размер. ностей эта новая идея имеет еще один интересный аспект.

Как мы ранее принималн, в некоторых физических формулах ряд соотношений между перемен-' ными величинами оставался неопределенным из-за требований однородности размерностей [Ц, [й!], [Т] и мог быть найден только экспериментальным путем. Эти соотноцгения являются теперь столь же определенными, как и остальные, поскольку уравнения должны быть однородными не только относительно [М], но также относительно [Ми] и [М;] Если бы физические эксперименты не были нужны для определения численных значений коэффициентов в формулах, то некоторые разделы физики отошли бы кобласти чистой математики! Нижеследующие примеры иллюстрируют применение метода размерностей к решению задач, где в качестве параметров фигурируют теплота и температура. Некоторые такие задачи с большей точностью решаются обычными математцческцми методамп, однако задачи по теплопроводности и конвекцип с большей эффективностью решаются с помощью анализа размерностей. ! Осозиз.

чеизе ФРРИРЗЗ РЗЗИ РР Ееи Физпччеизч вечпчпиз Давлснне газа е!село молекул в сдпнпчс объема Масса молекулы . Абсолютная температура Газовая постоянная 1на единицу массы) !П М Т 0 и 1. Т 'а-' Представим р как функцию остальных величин: р = С Н'ггг~Т'гс'~. Соответствугогцее уравнение размерности имеет вил Т. 'МТ в='1Т ')" И"и'(Твт 'Е ')". Отсюда а=!, Следовательно, р= С ЙпТК. Таким образом, давление идеального газа пропор.

ционально плотности и абсолютной температуре газа, Так как Мт = сопз1гобъем о, то это уравнение при. нимает знакомый вид: рц = гт'Т. 137 Уравнение состояния идеального газа. П ри м ер 1. Определить соотногиеиие между даилением, объемом и абсолготной температурой идеального газа. Сделаем попытку найти зависимость давления идеального газа от его плотности и абсолютной температуры на основе молекулярно-кинетической теории. Известно, что молекула с массой пг занимает пренебрежимо малый объем и является идеально упругой. Давление газа р объясняется изменением количествз движения молекул, отраженных от стенок сосуда.

Плотность газа равна Лгггг, где гчг — число молекул в единице объема. Следует учитывать также газовую постоянную Я, отнесенную к единице массы. П р и и е р 2. Определить характер изменения меж. молекулярных спл, если известен закон изменения вязкости газа от температуры. Примем, что молекулы при сближении отталкивакется с силой, которая изменяется обратно пропорционально расстоянию между ними в некоторой степени л, т. е. где Й вЂ” размерная постоянная, имеющая формулу размерности 1.иргйч'гТ '. Вязкость, зависимость которой от температуры выражается через среднюю скорость с молекул, за.