Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (Н.В. Богомолов - Практические занятия по математике (2003)), страница 10

В зависимости от знака днскрнмннанта уравнения ахг+Ьх+е-0 возможны три случаи 1) Ь -4ае>О (уравнение имеет два различных корня н парабола г пересекает ось Ох в двух точках; рнс. 1,а, 6); 2) Ь'-4ае=О (уравнение имеет два равных корня н вершина параболы лежит на осн Ох, рнс. 2,а, б); 3) Ьг — 4ае<0 (уравнение не имеет корней н парабола не пересекает ось Ох; рнс. З,а, 6). Поэтому имеем шесть случаев различных положений параболы, являющейся графиком функции у=ах'+Ьх+с (рнс. 1 — 3). Используя графики и знак днскрнмннанта, можно легко решать квалратные неравенства. 46 90.

Решить неравенства: 1) 2хг+Зх-2>0; 2) 2хг — х — 3<0; 3). -2хг+11х — 14>0; 4) -Зхг+5х+12<0; 5) 9хг+бх+1>0; 'б) — хг+бх-9>0; 7) хг+бх+16<0; 8) -хг+10х — 25<0; ) 2хг 5х+7>0; 10) Зхг+2х — 2>0. О 1) Здесь /(х)=2х'+Зх-2, Р=9+16=25>О; имеем (2х'+Зх-2= Гх,= — 2, ,мО) аь~ Парабола пересекает ось Ох в точках х, = — 2 и хг = 0,5. Так аг=0,5. как а= 2> О, то ветви параболы направлены вверх (см. рнс. 1, а).

Неравенство йхг+Зх — 2>О выполняется прн тех значениях х, прн которых точки параболы лежат выше осн Ох, т. е. в промежутках — со<х< — 2 нлн 0,5<х<+ со. 2) Здесь /(х)=2х — х — 3, Р=1+24 25>0, (2х — х —.3=0)ав г ~хг = — 1, ~ х,=1,5' следовательно, парабола пересекает ось Ох в точках х, = — ! и х, =1,5. Ветви параболы направлены вверх, поскольку а>0 (см. рис. 1,а). Неравенство 2хг — х-3<0 выполняется при тех значениях х, прн которых точки параболы лежат на осн Ох н ниже оси Ох, т.

е. 'в промежутке — 1<х<1,5. 3) Здесь Ях)= — 2х'+1!х — 14, Р=121 — !12=9>0, (2хг-1!х+14=0)чь ! хг=2, а~ ' Парабола пересекает ось Ох в тезках х,=2 н хг-— 3,5. Ветви ! хг=3,5. параболы направлены вниз, так как в= — 2<О (см. рнс. 1,6). Неравенство -2х'+11х-14>0 выполняется прн тех значениях х, прн которых точки параболы лежат выше осн Ох, т. е. в промежутке 2<х<3,5. Данное неравенство можно решить н другим способом. Умножив обе его части на ( — 1), получим 2хг — 11х+14<О. Точки пересечения с осью Ох остаются прежними: х, =2 н х,=3,5, но а=2>О (см.

рнс. 1,а). Неравенство 2х' — 11х+14 <О выполняется при значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох, т. е. в промежутке 2<х< 3,5. Получнлн тот же ответ. 4) Здесь /'(х)= — Зх'+5х+12, Р=25+144=169>0, (Зх' — 5х — 12=0)а» ! хг = — 3/4, ав ' ' Парабола пересекает ось Ох в точках х,= — 4/3 н хг=3. Ветви хг=3. параболы направлены вниз, поскольку а<0 (см. рнс. 1,6).

Неравенспю — Зх'+5х+12<0 выполняется прн значеннал х, прн которых точки параболы лежат ниже осн Ох, т. е. в проыежутках -со<х< — 4/3 нлн 3<х<+со. 5) Здесь /(х)=9хг+бх+1, Р=36 — 36=0, (9хг+бх+1=0)а~(х= — 1/3). Ветви параболы направлены вверя, так как а>0 (см. рнс.

2,л). Неравенство 9х'+бх+1>О выполняется прн всех значениях х, кроме х= — 1/3, поскольку все точки параболы, кроме точки касания, лежат выше осн Ох. Исключив точку х= — 1/3. получим промежутки — го<к< — !/3 нлн — !/3<х<+сю. 6) Здесь|(х)= — х'+бх — 9, Р=36 — 36=0, (хг-бх+9=0)ч~(х=3). Ветви параболы направлены вниз, так как а<0 (см. рнс, 2,6). Неравенство — хг+бх — 9>О выполняетсл при значениях х, прн которых точки параболы лежат выше осн Ох, но таких точек нет (ветви параболы направлены вниз).

Следовательно, неравенство не имеет решения. 7) Здесь/(х)=х +8х+16, Р=64-64=0, (х'+Ох+16=0)ав(х=-4). Вет- ви парабольг направлены вверх, поскольку а>О (см. рнс. 2,а). Неравенство хг+Зх+16<0 выполняется прн значениях х, прн которых точки параболы лежат ннл(е оси Ох, но таких точек у параболы нег (ветви параболы направлены вверх). Следовательно, неравенство не имеет решения. 8) Здесь /(х)= -хг+ !Ох-25, О» !00-!00=0, (хг- !Ох+25=0)»»(х=5). Ветви параболы направлены вниз, так как а<0 (см. рнс, 2,6). Неравенство —.тг+ !От-25<0 выполняется при значениях х. прн которых точки параболы лежат ниже осп Ох.

Исключив точку х=5, получим промежутки -«с< к<5 или 5<л <+<о. 9) Здесь /(х)=2хз-5х+7, Р=25 — 56<0, Парабола не пересекает ось Ох. Ветви параболы направлены вверх, так как а>0 (см. рис. З,а). Неравенство 2хг — 5т+7>0 выполняется прн всех значениях т, поскольку все точки параболы лежат выще оси Ох; поэтому — со<х<+оз.

!0) Здесь /(х)= -Зхз+2х — 2, 0=4 — 24<0. Парабола не пересекает ось Олл Ветви параболы направвены вниз, так как а<0 (см. рнс. 3, д). Неравенство — З.т'+2х — 2>0 выполняется при всех л, при которых точки параболы лежат выше оси Ох, но таких точек нет (ветви параболы направлены вниз). Неравенство не имеет ращения. ° х — ! 91.

Решить неравенство — '>О. 2л.+ ! 0 Умножив обе части неравенства на положительное число (2х+П', равное квадрату знаменателя, получим равносильное неравенство (х- !)(2х+ !)>О, где а=2>0 и х,= — !72,.тг= !. Ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1,«), и следовательно, неравенство выполняется при тех х, при которых точки параболы лежат выще оси Ох.

Решением неравенства являются промежутки -сс<х< — !/2 или 1<х<+х. 92. Решите неравенства; 1) Зх +7х — 6>0; 2) -4тг+1Зх+!2>О; 3) хг-5х+6<0; 4) -х'+2х+8<0; 5) 4хг — 4х+1>0; б) -9тг+12х — 4>0; 7) — х'+12х-36<0; 8) 1бхг-8х+1<О; 9) 2х' — 4х+1З>О; 10) -Зх'+2х — 5>0; 11) Зхг — 2х+5<О; 12) -4хг+т — 5<0 13) -Зтг+5х+2>0; 14) х — 8х-20<0; 15) -х'-бх+27<0; 16) 2хг — 13х+20>0; 17) 2х'-х+4<0; 18) — х'+!2.т — 36<0; 19) хг-1>0; 20) .т' — 4<0; 21) 2хг — 5х<0; 22) — х'+Зх>0. 93.

Решите неравенства: 2х-3 2-3.т 8 — З.т 1) — '>О; 2) — >О; 3) — <О; Зх — 2 ' 2х+7 ' 7з: — 2 5х+ 8 4) — < О. З.к-7 $ !2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение, содержащее переменную под знаком корня, называется иррааиала. <ьз<ьи|. Решение иррационального уравнения основано на преобразовании его к рациональному уравнению, что достигается возведением обеих его частей в одну и ту же степень (иногда несколько раз). При возведении обеих частей иррационального уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся слелствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но могут появиться и корни, которые не являются корнями исходного уравнения («носторонниев корни).

Чтобы выявить «посторонниев корни, все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение и «посторонниев корни отбрасывают. Исходное иррациональное уравнение равносильно смешанной системе, состоящей из уравнения-следствия и ограничений, определяеммх областью допустимых значений переменной. В этом случае «посторонние» корни не будут входить в область допустимых значений переменной и проверять их подстановкой в исходное уравнение не требуется. При возведении обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

94. Решить иррациональные уравнения: 1) лэ/х — 4=2; 2) л/хг — 7=3; 3) /х=х-б; 4) /хг-12= /х; 5) /х — 5= /3 — х; б),,/х-З=.х-9; 7),/х-1+ /2л-1=5; 8) л/2л-4- /х+5=1; 9) /5л-4+ /2х — 1= /Зх+1; 10) /х+ /х+2= 4 /.т+ 2 0 1) ( з/х — 4=2)»»(( ~/» 4)з 2з)«»(» — 4=8)»»х<»!2 Г. = — 4, 2) (( /тг — 7)з=Зз)<»(тг — 7=9)»»(тг= !6)«» Подставив значения — 4 и 4 в походное уравнение, получим /(-4)г-7=3 и /4' — 7=3, т.

е. найденные корни удовлетворяют исходному уравнению. ( х=(х — 6), (хг — !Зл. ! Зб 0 ( ( .«=4, 3) /л=т — б«»~ х — 6>0, «»~ ' '«» ! х=9«»х=9. х>б При решении этого уравнения мы использовали равносильные переходы, 'учитывая, что корень четной степени нз положительного числа есть положительное число. ( /хг — !2)г=( /х)г. ! .тг-.т — !2=0, ( (х= 4) х>0, »»( х> /!2 «»з~ ( х=4»»х=4. » 4 л> /!2 1'х, !2 5) Покажем, что данное уравнение не имеет решений. По определению корня четной степени получим л — 5>0, (х>5, 3 — л>0 !х<3.

Эта система неравенств не имеет решения. (х — З=(х-9)'. (хг-!9х+84=0, 1 б),,/х З=х-9«»~ «» «» 1л'=!2«» (х-9>0 ~гт>9 .т>9 «»х= 12. х х х — .— — <, < 2„'<.-«< -<<»»-<г*, С» х>! 27-Зх>0 4 — э <б2 )2 ))* !))2 !) 222-3*)* 5 ' — 59. 225 О, «» х>1, х «» х<9 ~! ~~~9 Гх=5, «» ~к=!45 «»х=5. ! ~к~9. 8) лх — 4>0, ) )2* — О-О* 3)'»!. ) 2 ))»-Ог 55) 2, с»~ х>2, «» 2х-4>х+5 х>9 «» схг-24х+80=0, ( (х=4, '«» ( х=20,«»х=20.

х>9 х>9 ( /5л.-4+ /2х- !)~ =(л/Зх+ !) ~ х>4(5 «» 5* О+2))5 — О))» — !)+2 — ! 3*9!. ! 2 229* — 23* О 6-». х>4(5 х>4/5 )29 — 23*+6 3-2.. )26 23 О 9 22 ~О* «» хЭ4/5, «»~ '«» х<3)2 (4(5<х~ЗД бх'-х — 5=0, ~ (х= — 5/б, «» ( х= ! «»х= !. 4/5<х<3)2 ~ 4(5<к~3!2 4 1О) ~,/х+,/х+2=, (л/х(х+2)+к+2 4, х>0 л/х+2 «»( 1х>0 «» Охг 2х= 2- чх +2т=2-х, (хг+2х 4 — 4х+хг, !бх=4, х~2 (0<к~2 ~О~х<2 95.

Не решая уравнений, объясните, почему каждое из них не может иметь корней; 1) /х+1+ /х+З=О; 2) /4х-3= — 4; 3) /х~+2+ /2л — 1= -2; 4) /3-х+ /2 — х= — 1; 5) ~/х — 7 — /б-х = 3; 6) ) х- /- 3-х = 1. Решите уравнения: 96. 1) 1,/х(х+6)=х; 2) л/х х-2; 3) /х+2=х — 4; 4) ~х'+9=2х — 3; 5) )* — 9-3*-)); 6) 9 395 !.! 2 — О 7) /хг-9 тг 21. 8) /хг 1 /3 97, 1) /Б — 1- /х-1=1; 2) /5х+20 — О/х+8=2; 3) /1-х+ + /Г+х=1; 4) /4-х+ /5+х 3; 5) 25-х+,/9+х=2; 6),,/4х+2+,„/4х-2=4; 7) 7/8х+4-эл/8х — 4=2; 8) /х-3 х х /Б+2=х+1.