Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 50

Кроме лампы, флюктуации порождаются имеющимися в схеме активными сопротивлениями. Это тепловые флюктуации, имеющие термодинамическую природу. Спектральная плотность флюктуационной электродвижущей силы О, возникающей в комплексном сопротивлез .вп 385 В некоторых графах приведенной таблицы указана именимость двух методов. В то же время в графе, соответствующей ткор ешо, (8А ) — Аоз, пришлось, к со, вдепию, оставить пустое место ввиду того, что цригодцые в этом случае достаточно простые аналитические методы неизвестны, пни 7(йч), согласно формуле 1чайквиста 5(о', и]= =4йТКеХ(йп), пропорциональна активному сопротивле. пню И=це3. В ламповых генераторах с колебательным контуром н индуктивной обратной связью, подобных ге.

нератору на рнс. 13.1„ активные сопротивления не яв ляются главными элементами схемы. Омнческое сопро. тивление индуктивностн должно быть не слишком большим, чтобы не нарушать добротности контура; другие сопротивления также играют подчиненную роль. Поэтому тепловые шумы в подобных схемах не являются определяющими. В некоторых случаях, конечно, пренебрежение тепловыми флюктуацнямн может оказаться недопустимым, Так, например, в случае колебательного контура, помещенного в цепи сетки, может быть существенным тепловой шум активного сопротивления контура. Тепловой шум может оказаться важным также в КС н других генераторах, содержащих активные сопротивления как принципиально важные элементы схемы. Однако учет теплового шума не вносит никаких принципиальных затруднений н изменений методов расчета. В принципиальном отношении он даже проще дробового шума, поскольку ему всегда свойственна стационарность н равномерность спектра.

Роль теплового шума сводится лишь к увеличению дисперсии амплитудного разброса н повышению интенсивности диффузии фазы. Поэтому мы не будем его рассматривать более подробно !. Малая интенсивность дробовых флюктуаций и лннеаризованное уравнение Обратимся для примера к рассмотренной ранее схеме генератора, изображенной на рис. 13.1. Работа этого генератора описывается уравнением (13.12), которое для координаты (13.18) преобразуется к виду (13.20). Если ввести обозначение (15.1) н использовать самую простую аппроксимацию характеристики (13.23), то уравнение колебаний будет иметь анд (13.24) н к нему будет применимо все сказанное в последних двух параграфах. 386 Оценим в случае дробовых шумов величину безраз- мерного параметра с = а о,Ао 'х (м„), (! 5.2) который определяет степень влияния флюктуаций на ра- боту генератора, При постоянном анодном токе и пренебрежении де- прессией дробового шума и временем пролета электро- нов от катода к аноду дробовой шум является стационар.

ным и имеет согласно (6.40) корреляционную функцию (афафа) Е(аа) о (т). (15.3) Вследствие этого, если учесть (1) и (2), будем иметь ° (м) = — "'" Мое(7). с= — ( — ') ~,е(7,). а ( Ао) Оценим численное значение этой величины для примера, приведенного на стр. 340 в разделе 2, 3 13. Амплитуда ко- лебаний сеточного напряжения Ао достигала 11 в, сред- ний анодный ток имел значение 0,047 а. После подста- новки в (4) этих цифр, а также других соответствуюших цифр со стр. 346 получаем с= — ° 7 10 "=1,4 10 ".

(15,5) Крайне малое значение постоянной с говорит о чрезвычайно слабом влиянии дробовых флюктуаций, о малой величине отклонений от стационарного значения амплитуды и, следовательно, о применимости метода линеаризации. Интересно отметить, что малое значение (5) получилось вопреки тому, что в указанном выражении малый параметр стоит в знаменателе. Если уменьшить е, оставляя параметры гоо, М, Ам (Уа > без изменения, то рано или поздно наступит момент, когда с не будет уже малой величиной, несмотря на малость дробового шума.

Тогда метод линеаризации станет неприменимым и задачу можно будет решать лишь путем применения аппарата марковских процессов. Незначительная интенсивность собственных флюктуаций является, пожалуй, наиболее характерной их чертой. ,Цругой характерной чертой является их широкополосность, т е,малое время корреляции.

Корреляции в анод2з" 397 ном токе, подверженном дробовым флюктуациям, соХРиняются, конечно, в течение длительности импульса тока, создаваемого одним электроном, но по мере того, как происходит смена электронов в пространстве между анодом и катодом, корреляции исчезают. Поэтому время корреляции дробового шума равно времени пролета электрона от катода к аноду. Это время обычно не только меньше времени релаксации, но и периода. Это обеспечивает применимость стохастических методов к данной задаче.

Указанные обстоятельства делают исследование собственных флюктуаций, пожалуй, наиболее простой задачей из всех задач, связанных с флюктуациями в автоколебательных системах. Для нее могут быть получены наиболее полные ответы на интересующие вопросы. Приведенная выше оценка величины с получена в предположении постоянства анодного тока и при других упрощающих предположениях. Отказ от этих упрощений не меняет порядок велнчины с, которая по-прежнему будет значительно меньше единицы, Поэтому метод линеаризации, как и стохастический метод, применим к задаче исследования собственных флюктуаций также при более полном учете всех особенностей задачи, Мы выберем за основу метод линеаризации, а условие малости времени корреляции используем для упрощения получаемых результатов, которые были бы справедливы и без этого условия, Если производить более полный учет формы характеристики лампы и пользоваться аппроксимацией (13.22), а не (13.23), то (13.20) перейдет в уравнение + .

=-о-.'1+ — — —— р х 4 хо х+ 2 ооло 3 оооАоо / + (оо'о((1), (р о о ) (15 б) которое отличается от уравнения (24) лишь членом рх Этому уравнению соответствуют уравнения в стандартной форме 3 /4 а= — а~1 — а' — 4 рамп Ф+( — а' — 1) соз2Ф+ 2 1 ао ооо + — ра а1п ЗФ вЂ” — соз4Ф~ — — '1в1п Ф 4 З ~ А, 2 р = — ~ — — расозФ+ ~1 — — ао) 31п2Ф+ 2 ( 4 3 1 1 , 1 о~о Е / А 1 ,'- — ра сов ЗФ + — аза1п4Ф~ — — ' — созФ, ~а= — ) . 4 Отсюда, путем отбрасывания вибрационных членов, пропорциональных синусам и косинусам от Ф, 2Ф, ЗФ, 4бо, могут быть получены «укороченные» уравнения, которые отличаются от (13.41) присутствием флюктуационных членов.

Им соответствуют следующие линеаризованные уравнения йа= — обоза — — '"" 131п(в,1+ р,); (15 8) 4о от= — А'асов(~от+,о) (За=а — 1; й~=р — р,). Ао а = а* + ои (а", Ф*); 1о=р*+оп(ао, Фа) (Ф =оооо+а»). (15.9) Функции и, о, определяемые тем же способом, что и ранее (стр. 352), в первом приближении имеют вид и(а, Ф)= — [Зрасоз Ф+ 2~ — а' — 1) 31п2Ф— а Г /4 ра ао — — соз ЗФ вЂ” — з1п4Ф]; 3 3 (15.10) о (а, Ф) = — ~ — ра 31п Ф+ 2 ~ — а' — 1) соз 2Ф + 1 г /2 в ~ (,3 ра ао + — з1п ЗФ вЂ” — соз4Ф1.

3 3 Поскольку флюктуации очень малы, вибрации амплитуды и фазы, непременно сопровождающие нелинейные колебания и происходящие когерентно с основной частотой, значительно превосходят флюктуацнонные изменения амплитуды и фазы Рассмотрим хотя бы главные из таких вибраций, Это достигается путем перехода к безвибрационной амплитуде и фазе, которые определяются преобразованием переменных При агом преобразование (9) превращает (7) в безвибрацнонные уравнения а =- — "ао (1 — а* ) — — о1з1пФ"'; (15.11) Ао ро = — — '!2 — 4а".+ — р'аоо+За"~— — — — соз Ф':. Е Ао а* Процесс уточнения вибрационных составляющих амплитуды и фазы можно продолжать до более высокою порядка по е, Однако выражения (10) дают важнейшие составляющие и мы ими ограничимся.

Используя формулы (9), (10), легко найти, как выражается генерируемый сигнал у через вибрационные амплитуду и фазу — = а соз Ф = ао соз Ф" + ои соз Фо — оаэи згп Фо = Ао 4 4 = а* соз Фо+ — рао' — — а*(1 — а* ) з1п Фо + (15.12) + — ' рао соз 2Фо+ — ао' з1п ЗФ* + оо... 12 24 Когда установится стационарный режим генерации, амплитуда а* вследствие малости шума будет очень близка к 1, как это следует из первого уравнения (11).

Из второго уравнения (11) вытекает, что при этом частота мало отличается от частоты . ="- — "(1+-'') (что получено путем подстановки а" = 1). Отклонения от указанных стационарных значений амплитуды и частоты обозначим оа = ао — 1; бр = Фо — ~о,. (15.14) Учитывая, что эти отклонения малы, находим из (11) следующие линеаризованные уравнения оа = оа~~а А 131п (а~1 + <~~); Ао = — — (1+ Рз)оа— 390 — ' 1з1п (в,~ + в ). Ао (15.15) Малые значения флюктуационных отклонений позволяют также преобразовать выражение (12), определяющее генерируемый сигнал, к виду — = соз Фь + оа соз Ф*+ — ' роа+ — ' оа е!и Ф:" + л0 2 2 + — рсоз2Ф*+ — рйасоз2Фа + 12 6 + 4 з!пЗФ*+ — 6аэ!пЗФа -!- а'-... (15.16) Если оставить лишь главные, наибольшие члены, то будем иметь — =созФ" +6асозФ': + 40 + — р соз 2Ф' + —, з!и ЗФ~.