Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 51

(15.17) В приведенном выше выводе основных равенств (15), (17) не делалось каких-либо предположений относительно стационарности случайных возмущений в((), поэтому эти равенства можно использовать при учете нестационарности дробового шума. Вследствие очень малого уровня шух а может возникнуть мнение, что необходимо учитывать все поправки высших порядков по е,,превосходящие шум по своей величине, т. е. необходимо вычислять высшие приближения. Однако это не так, даже вычисленные нами поправки второго приближения не являются обязательными. Чтобы убедиться в этом, сравним уравнения первого и второго приближения, Отыскав уравнения второго приближения (15), мы получили две поправки к (8). Во-первых, нашли по. правку в средней частоте генерирования ыч н, во-вторых, во втором уравнении получили дополнительные члены.

Поправка к частоте, действительно, намного превосходит флюктуационныи разброс. Поправки третьего и высших приближений также будут его превосходить, но эти поправки не носят флюктуационного характера. Высшие приближения уточняют неслучайные параметры ьм, Ам входящие в линеаризованные уравнения, Но этим нх роль по существу ограничивается. дополнительный член — е'ыь(1+ р'/З)ба/4 в (!5) играет малую роль, так как он пропорционален флюктуациям ба и, кроме того, 391 содержит еще дополнительный множитель е.

Аналогичные члены высших приближений будут играть еще меньшую роль. Поэтому уравнениями (8) можно пользоваться, понимая, однако, под бА и Ьр отклонение от «истинной» амплитуды и частоты, Точность определения последних может быть меньше флюктуационного разброса. Минуя вычисление высших приближений, пол этими «истинными» значениями можно понимать лаже экспериментальные значения. Поскольку множители ев,, ес«в/А» стоят в (8) перед малыми величинами ба, в них в качестве во и Аз можно брать прежние неточные значения.

2. Дробовые флюктуации в пренебрежении периодическими изменениями анодного тока При постоянстве среднего анодного тока ( 1,) дробовой шум является стационарным и, следовательно, стационарной будет входящая в (8) случайная функция 9(1), Если пренебречь временем пребывания электронов в пространстве катод †ан, то анодный ток будет суммой предельно коротких импульсов (15.18) где 12 в случайное время появления (например, на аноде) 1-го электрона. Средний ток (1, (1) ) = еи (1) (15.19) н среднее число пролетающих электронов пЯ мы считаем здесь постоянными. В соответствии со второй формулой (6.28) моментная функция анодного тока, определяемого суммой (18), выражается формулой (1, (1) 1, (1') ) = е'1, (1) 8 (1 — 1') + е'1, (1, 1'), (15.20) (15.21) 392 где ~,(1) — однократная функция распределения, совпадающая с и((), а 1»(1, г') — двукратная функция распределения, Корреляционная функция анодного тока выражается по аналогичной же формуле К[1.(1), 1.(1'))=(1,(1)1,(1')) = =е'~,(1)8(1 — 1')+е'д,(1, 1') через функцию корреляции распределения а'г(г г ) =Уг(г г ) ЛИКИ ) (15 22) (или в стаЦионаРном слУчае 1йг(( — (') =.1г(à — г') — Я.

функция дг(1, Г) описывает корреляцию моментов пролета различных электронов, При отсутствии корреляций дг — — О. Если же корреляции имеют место, но являются достаточно кратковременными, так что дг(( — г') можно заменить иа дельта-функцию л'г (г) -+ ) д'г (г) с(г ° 3 (г), (15.23) то в соответствии с (21) корреляционная функция будет иметь дельта-образный вид (Г,(~У,(~)) =Гг У,3(г =Ггер,)3(г ~), (15.24) Здесь коэффициент Г'=-1+~ ~ дг()Ыг 1 Г (15.25) случайных воздействий $(1) в линеаризованном уравнении (8), Во втором разделе предыдущего параграфа рассматривались именно такие уравнения (14.29) и была найдена корреляционная функция амплитуды (14.33), которая в случае малого времени корреляции пропор- 393 носит название коэффициента депрессии дробового шума.

Зтот коэффициент близок к единице, если лампа работает в режиме насыщения, Когда же лампа работает в режиме ограничения тока пространственным зарядом, то имеет место депрессия шума пространственным заг 1 11 рядом. В этом случае Г' меньше единицы (Гг = — —: — ~ .

1О ' 20~ ' Пользуясь соотношением (24), легко находим корреляционную функцию и спектральную плотность (11,) =Гге(1,)( — ') 3(г); 3 (1, чг) = 24 (и) = 2Гге (1,) г г (гг„М)г (15.26) циональна х(ыэ) в соответствии с (14.38). Подставляя (2б) в указанную формулу, получаем (8АЬА,) = а'е 2— чэ = — е (7,) а,'ЪР (15.27) Этой корреляционной функции соответствует следующая спектральная плотность амплитудных флюктуаций 8 (8А м!= (15.28) Аналогичным же образом согласно (14.43) и (26) находим коэффициент диффузии фазы Р,= ~ Г'е(7,)( л~ ) = 2(А ) ем,. (15.29) Вследствие малого времени корреляции дробового шума набег фазы происходит по диффузионному закону.

Отклонения от этого закона, заметные в течение времени порядка времени корреляции, здесь не учитываются. Пользуясь (27), легко определить флюктуации амплитуды колебаний тока в индуктивной ветви контура. Амплитуда Аг указанных колебаний в силу (13.18) связана с А соотношением (15.30) где 7,= †' — стационарная амплитуда колебаний тока А0 0'ам 7=7= + —,. Поэтому согласно (27) имеем ~0М ' (8АгаАм) = 4 е (7а) аое "~ ~ (15 31) Через стационарную амплитуду тока контура удобно записывается также формула (29) Р,= ~ 1'юо'е(7,)/7„а. То обстоятельство, что время корреляции дробового шума значительно меньше всех других учитываемых нами постоянных времени системы, приводит к следуюшему благоприятному следствию.

Оно дает возможность 394 пользоваться двумерным уравнением Фоккера — Планка, определяющим изменение во времени совместного распределения ба и бФ. При линейных же уравнениях движения последнее приводит к нормальным законам распределения. Поэтому можно считать ба(г), ЬФ(1) нормальными (гауссовыми) случайными процессами. Они имеют нулевое среднее значение. Их функции корреляции мы уже определили Единственное, что еще остается определить,— это функции взаимной корреляции. Вследствие равномерного распределения случайной начальной фазы Фь которая статистически независима от $(1), имеем, используя (25), (~з1п Ф 1,сов Ф,) = — (Б,) (ь!п (Ф вЂ” Ф,) + з1п(Ф + Ф,)) = — — Г'е(Т,)( — ) З(т)э1п(г — р,)=0. (1533) з аз — 2е '""'ъйа, + за з Х ехр 2а,з(1 — е м"" ) (15.34) 395 Член с з(п(Ф+Ф,) исчезает при усреднении по фо., последнее выражение с з(п (Ф вЂ” Ф,) обращается в нуль вследствие свойств дельта-функции.

Отсутствие корреляций между случайным воздействием на амплитуду и воздействием на фазу приводит в рамках первого приближения, соогветствующего уравнениям (8) к статистической независимости флюктуаций амплитуды и фазы. В самом деле, умножая (14.30) на (!4.40) и усредняя, легко доказать с помощью (33) нх некоррелированность. Для обоснования их независимости следует учесть еще, что ба и ЬФ распределены по закону Гаусса.

Знание корреляционных функций нормальных случайных процессов ба(г) и бФ(() дает о них полную информацию. Как известно, по общим правилам, изложенным в 9 3 (раздел 1), можно записать законы распределения произвольного числа случайных значений бо(Г~) бп((г),, и бгр((~), Ьр(1з),... в любые моменты времени. Так, например, двумерный закон распределения значений амплитуды ба, ба„в сдвинутые моменты времени имеет вид где аа Гае (!,) а Аоа 4в!» Найдем функцию корреляции и спектральную плотность генерируемого сигнала.

Под последним мы подразумеваем либо ток через индуктивность 7, либо сеточное напряжение У„либо напряжение на контуре У,. Поскольку ток 7(г) пропорционален функции к(1), а указанные напряжения — ее производной х ! — У = — = — х; ~оИ4 Ао (15.35) то достаточно найти функцию корреляции и спектральную плотность для х, Используя формулу (17) и учитывая, что флюктуации амплитуды и фазы независимы и что (За) О, имеем (хх ) = (1 + ЗаВа,) (сов Ф,' сов Ф,*) + Ааа + 24 (сов Ф*(2р сов 2Ф,~ + в1пЗФ,*)) + + — ((2р сов 2Ф*+ в1п ЗФ") сов Ф,*) + + (24) ((2р сов 2Ф*+ в!п ЗФ~) Х Х (2р сов 2Ф,* + в!и ЗФ,")) . (15.36) Произведение синусов и косинусов в (36) преобразуем к их сумме и (прн фиксированных флюктуациях ЬФ) произведем прежде всего усреднение по случайной начальной фазе Фа, входящей в Ф"=ьао1+гра+Ьр. После этого некоторые члены уравнения выпадут и мы будем иметь А~ (хх') 2 (1 + ~З~З~'~ сов(Ф' Ф + 2 (12 ) Х Х сов2(Ф,* — Ф")+ — ( — ) совЗ(Ф,* — Ф*).

(15.37) 396 Поскольку Ф,* — Ф*=-вот+бр, — 69=аот+Ьр, то последнее выражение можно записать в виде Ао (хх,) ' 2 ~е((1+ (бя~п'))(е )е + +( — ') (емо')е~~""+( — ) (ело')е" '"). (15.38) Входящие сюда средние (е р),... легко выражаются через характеристическую функцию набега фазы, Поскольку Лф — нормальная случайная величина с известной дисперсией (14.43), то характеристическая функция имеет вид оо рио — — по КЧ (е' ') =е (15.39) +1)2) е ' сов2~оо-г- 7 ч Х' — во,)Н 9 + (24) е ' " сов Зооот~, (15АО) После того, как определена корреляционная функция, нетрудно найти спектральную плотность, совершая преобразование Фурье.

Спектр функции корреляции, имеющий вид о'е "~ )сов ооот, вычислялся нами ранее (раздел! в 2), Пользуясь формулой (2.24), а также пренебрегая во втором члене величиной 0о по сравнению с еооо, получаем 2А;зЯ[х,в]= °, +2а,о, ",о,, + (~о о'о)~ +,4 Г>о Г оо'а 4)зо 1 )27 (м — 2оо)а+ 4Воз + +( — ')' ( — з,)а+ в1 )зов (15.41) 397 Полагая в этом выражении и=1, 2, 3, а также подставляя (27), получаем из (38) 1 Аоа Г -о р)~) — — Юолн (хх,) = — ')с(1+ а,'е ) е ' совооо~+ Найденный спектр сигнала вследствие условий е ((1 Оо((ота имеет полосовую структуру, которая схемати.

чески показана на рис. 15.1. При исследовании этого спектра надо иметь в виду хорошо выполняющееся соотношение /1о(( еыа. В самом деле, в случае рассмотрен. ного ранее примера е=5 ° 10 а; ))о/гав=2,5 ° 1О '4. Большая часть мощности сигнала попадает в полосу частот, расположенную вблизи основной частоты гоа. Примерно в (е/24)' раз меньшая мощность попадает Рис. Рзд. Полосовав структура спектра гене- рируемого сигнала. в узкие полосы, лежащие вблизи кратных частот 24ов, Зыа, более высоким гармоникам соответствует еще меньшая мощность Чтобы рассчитать их, требуется проводить вычисления с большей точностью по е. Рассмотрим подробнее спектр сигнала вблизи основной частоты. Из формулы (41) видно, что этот спектр содержит две компоненты. Первый член описывает узкополосную компоненту, полная мощность которой равна Аа'/2.