Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 47

члены = — + вибр,. члены ". (~о) (13.78) (так как !Р,— Р!((1 при т-т„,р) и совершенно аналогично для ь. Принимая во внимание (77), (78), легко заметить, что функции (76) в отношении их безвибрационного действия совпадают с функциями (68), что оправдывает переход от (57) к упрощенным уравнениям (66), (67). Удобно ввести безразмерный параметр С=— А4$ (13.79) характеризующий интенсивность флюктуационных воз- действий, Переходя к безразмерной амплитуде а=А/Ам уравнения (66), (67) можно записать в следующем про- стом виде; — а=а — а -г —.

+ 2 —, 2 с '"'о 2и 4о ' 2 .; (2 4~ +3~~)+ з С 4 14. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УПРОЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Флюктуации амплитуды как процесс Маркова. Уравнение Фоккера — Планка В настоящем параграфе сделаем краткий обзор методов решения полученных уравнений, имея в виду, что более полно читатель сможет познакомиться с ними в последующих параграфах, Начнем с метода, основанного на рассмотрении уравнения Фоккера — Планка. Применимость ~этого метода ограничена лишь условием малости времени корреляции по сравнению с временными постоянными, определяю- шими скорость изменения амплитуды и фазы со временем.

Указанное условие, имеющее в рассмотренном случае вид (59), позволяет рассматривать процесс изменения амплитуды и фазы как процесс Маркова, а флюктуационные возмущения — как дельта-коррелированные, совершая замену типа (77). Это обеспечивает справедливость уравнения Фоккера — Планка для плотности распределения амплитуды и фазы. Описанный метод одинаково применим как при большой, так и при малой интенсивности флюктуационных воздействий.

Пожалуй, наиболее характерным для него является то, что он даже в типично нелинейных случаях позволяет находить одномерные стационарные плотности распределения, а также решать задачи, связанные с достижением границ, Задача отыскания корреляционной функции в нелинейном случае поддается решению значительно труднее. Обратимся для примера к первому уравнению (13.80). При помощи случайной функции 2 с3 (т); с = ы~оАа х (во)) (14.1') его можно записать в виде а = 2' (а — а' + —,, ) + ч'.

(14.2) Будем представлять себе для наглядности плотность распределения вероятности га(а) на оси а как плотность некоторого вещества, введенного в однородную среду, и будем говорить об изменении вероятности, как о диффузии этого вещества. Случайная реализация а(1) описывается движением изображающей точки на оси а, являющейся как бы «молекулой» этого вещества, траектория которой весьма запутана. В соответствии с (2) средняя скорость изображаю'~о щей точки в выбранном месте оси а равна -2-(а-а'+ С '1 + —,). Умножив ее на плотность таких точек («молева /' 11оследнее равенство означает, что поток вероятности (3) через все сечения один и тот же, разумеется,это необходимо для того, чтобы вероятность нигде не накапливалась.

Однако в данном случае можно сказать большее, Изображающие точки не могут систематически уходить в бесконечность илп приходить из нее, так как практически величина амплитуды всегда ограничена. Следовательно, при очень больших значениях амплитуды поток вероятности равен нулю, а значит он равен нулю и при любых других значениях амплитуды: где Лг — постоянная, определяемая из условия норми- ровки ) та(а) да=1. о Вычисление последнего интеграла дает Дг=( —;) ег1с ( — =) . (14.9) Вид стационарной функции распределения в(а) для нескольких значений параметра с, определяющего относительную интенсивность флюктуационных воздействий, показан на рис.

14.1. Плотность вероятности достигает максимального значения при а„,„,= —,г/ 1 + у 1+ 2с. т'2 У (14.10) Чем меньше шум, тем ближе это наиболее вероятное значение амплитуды к единице, т. е. к стационарной амплитуде в отсутствие флюктуаций, Из приведенных графиков видно, что с уменьшением с острота максимумов вероятности быстро возрастает.

При больших зна- В результате интегрирования этого уравнения находим та(п) ес " 7 е 2с" (14 Я) пениях с, напротив, максимум вероятности носит слабо выраженный характер и амплигуда может принлмать значения в широкой области Зная плотность распределения (8), можно найти моменты амплитуды (аа) — 1 (1 + х)2 е асггх (14 11) — 1 Здесь произведена замена переменной х=а' — 1. 0 05 Г Г 5 т:Я/Яр Рнс. 14.!. Стационарное распределение амплитуды при наличии широкополосных флюктуаций.

Для их вычисления удобно использовать рекуррентную формулу, получаемую из (11) путем интегрирования по частям, (аа+а) — (аа) = — (1+ х)а хе "а!х= У,) -1 Полагая здесь ге=О, имеем 1 (ат) — 1 + е 2с Если А )О, то (ааеа) — (а') = —,(а' '), 2 (14.13) (14.14) 367 а х' и х' = — — (1+х)' е йс ~ + ) (1+х)' е Мх. (14.12) и в частности 1 (а') = (а') + с = 1 + с + — е И 1 (а') = (а') + 2с (а') =- 1 + Зс + (1 + 2с) — е " .

(14.15) Чтобы воспользоваться формулой (14) для отыскания нечетных моментов, требуется предварительно найти моменты (а ') и (а). Удобно ввести особые обозначения для следующих интегралов: я,(у) — 2 ) е-' 42' 4(т Е (у) = 2 ) е ' " 124И (14.16) о о через которые указанные моменты выражаются по фор- мулам 1 1 о а' а' 1 (а — 1) — Е за ) Е за сзга — Е заЯ( аг М 1 —, о (а) — Е 2с ~ Е за с а21Яа— М о з — 1 (14.17) 2тзо/ Как показывает вычисление, интегралы (16) представляются через цилиндрические функции дробногопорядка: 1 У1 (у) = уз е~з К1 (2у') (у > 0); Е (у) = ~ у ~' е" ~К1 (2у') + я 3/2/1 (2оз) ~ (у < О); (14.18) з сз (у) =у' е" ~Кй (2у') — К1 (2уз) 1 (у ) О); 4 4 358 з ~з(у) = ! у Р е ' ~Кз:(2у') + К~ (2у') + ч ~ 21з (2у') + 4 4 4 +ят'2(з (2уз)~ (у<0).

4 Таблицы функций Уь Яз, из которых последняя будет нами использована также в дальнейшем (разд. 1, 5 16), приведены в и р ил о же н и и. Прн помощи этих функций может быть найден ход зависимости моментов (17) от с. Вследствие флюктуационного разброса средние значения (а) и (а ') при с — 1 отличаются от единицы, но не очень сильно (на несколько десятков процентов). Когда интенсивность флюктуацнонных воздействий относительно мала, т.

е. когда с (( 1, можно воспользоваться известными асимптотическими выражениями для цилиндрических функций, входящих в (18), и получить (а — ') =1+ — с+с'.. з 8 (а) =1 — — с+с'.. 1 з (14.19) С еще большей точностью согласно (13) при малом с имеем (аз) ж 1. (14.20) Последние равенства позволяют найти приближенное значение флюктуационного разброса амплитуды Па =— (а') — (а)'= 4 + с'" ((А — Ао)') = ((а') — 2 (а) + 1) Ао' = — с А з+сз..„ (14.21) 24 зоо, зи что справедливо при с (( 1. Мы пока ограничимся приведенными результатами, отложив рассмотрение поведения фазы до равд. 1, 5 16.

2. Метод линеаризации Методы, основанные на уравнении Фоккера — Планка и уравнениях, содержащих дельта-коррелированные функции, неприменимы, если время корреляции флюктуаций не является малым по сравнению с временем релаксации, т. е. если не выполняется условие (13.59). Метод линеаризации, к изложению которого мы переходим, удобен тем, что его применимость не ограничена какими. либо условиями, касающимися времени корреляции. Вместе с тем он имеет по сравнению с указанным стохастическим методом тот недостаток, что накладывает ограничения на величину флюктуаций. Для его применимости необходимо, чтобы можно было, используя малость флюктуаций, линеаризовать основные уравнения относительно отклонений от невозмущенных значений, пренебрегая нелинейными членами. При рассмотрении автоколебаний в приближении линеаризации нег особой необходимости исключать пульсации из флюктуационной части стандартных уравнений, так как их наличие не препятствует решению задачи.

Упрощение же нефлюктуационной части производится тем же способом, что и ранее. Для этого отыскивается такое преобразование (13.42), которое переводит усредненные уравнения (13.39) в безвибрационные уравнения (13.44). Последние описывают плавные изменения амплитуды и фазы, совершающиеся без флюкгуаций.