Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 46

Противоположный случай будет рассмотрен в э 17. Условие (59) является вполне естественным с точки зрения метода малого параметра, так как при достаточно малом е оно заведомо будет выполняться, если только скорость флюктуаций не зависит от е. При выполнении неравенства (59) можно применять к данной задаче стохастические методы, т. е.

рассматривать эволюцию амплитуды как процесс без последействия. В соответствии с содержанием $4 (равд. 8, 9) на основе уравнений (58) может быть построено обобщенное уравнение Фоккера — Планка, представляющее собой ряд, члены которого убывают в сущности как степени от величины иост .. р ((1. При учете лишь члейов порядка е и ез, т. е, в диффузионном приближении, указанное уравнение согласно формуле (4.194) имеет вид о о +" — „„~К(а, а,) ( +" — „~(К(а, Н,)+ о .).к)и,о,))э 1.). ю- )к)О,И,)э ~,)1360) [эс)'=ест'"; ай=аНэ — правые части (58)!.

Здесь при усреднении и при вычислении корреляционных функций амплитуда А и фаза ч), входящие в сг и Н рассматриваются не как случайные величины, а как фиксированные аргументы. Для корреляционных функций применено обозначение К(, В = (7' — (') (а). и при их вычислении необходимо учитывать лишь флюктуационные части )выражений гте и Н", т. е. — иоэйэ)пФ н — А )ешо$созФ в случае (57). Вследствие наличия во флюктуационных членах вибрационных функций правая часть уравнения (60), наряду с плавно меняющимися членами, будет содержать вибрационные члены частоты 2шэ. Поскольку мы интересуемся плавными изменениями амплитуды и фазы, а не высокочастотными колебаниями, напрашивается мысль отбросить вибрационные члены, произведя некоторым образом усреднение за период.

Такое упрощение допустимо, но лишь со следующей оговоркой. Вибрационный член, имеющий, скажем, порядок е, не только описывает вибрации плотности распределения порядка е, но и влияет на ее плавное изменение, правда, в высшем порядке е'. Вибраци. онные члены в интегральных членах (60) имеют порядок е', поэтому. они влияют на плавное изяенение в более высоком порядкц кото. рый можно не учитывать, так как само уравнение (60) не имеет точ. ности выше второго порядка.

Это позволяет отбрасывать вибрацнонные члены второго порядка. Вибрационные члены первого порядка в (о) и (туг, если бы мы их не удалили ранее, внесли бы значительное усложнение, так как потребовалось бы учесть их влияние на плавное изменение плотности распределения во втором порядке. Чтобы избежать этого усложнения, мы и потребовали пред- верительного исключения внбрацкй ив нефлюктуапионной часта, приведенного в предыдушем разделе. Из (60) легко видеть, что флюктуацпонный член, имевший порядок е (содержаший з$), фактически влияет на изменение плотности распределения в порядке в', При этом большей точности, чем зз, диффузионное уравнение (60) ие имеет. Это оправдывает, в частности, сделанное ранее пренебрежение членами типа езйсозФ о, з (56).

Фактический порядок остающихся членов (е$з(п Ф и ей соз Ф) — второй, а так как этот порядок соответствует макскияльной точности, то третьего приближения по рецептам (46) — (48) находить не имеет смысла. Иначе обстоит дело, если случайное воздействие взято в форме (см. стр. 345). Тогда фактический порядок флюктуационных членов равен 2г. Путем построения последовательных приближен>»> и переопределения амплитуды и фазы следует из (6) и (Н) пьпедварительно*удалить как минимум вибрации порядков от е до Фг включнгельно. Таким образом, минимальное число последовательных приближений равно 2г; более высокое приближение, чем (2г) — е находить не имеет смысла.

1 В частности, если фл>октуации взяты в виде е С>, то доста- 2 точно вычислить >2> *, Н>*; все члены уравнений в стандартной форме будут в сущности первого порядка, так же, как и в уравнении Фоккера — Планка. Если г-1, как мы принимали ранее, то достаточно учета функций первого и второго прнбли>кения (47), (48). Уравнение фоккера — Планка имеет точность ез. При выборе формы езйз, следовало бы вычислить также функции па, оь из, оь с их помошью определить новую амплитуду и фазу, записать дли последних уравнения, содержашие г»*, Й>*, ..., 6>*, Нг". Полученные уравнения будут иметь точность а>, После этих общих замечаний, >вернемся к конкретному случаю (57), для которого остается лишь удалить вибрации из интегральных членов (60), обусловленных флюктуациямн Рассмотрим один из таких членов.

Подставляя вместо е0, его случайную составляющую— еюей(1) з!пФ, имеем ) К (О, О,) Нт =е>зз ) (Б,)е1п Ф з1п Ф,Ит. Используя тождество з(п Ф з(п Ф, = -2 соз (Ф, — Ф) — —, соз 2Ф соз (Ф, — Ф) + 1 1 +, з)п2Фз1п(Ф,— Ф), 1 преобразуем это выражение к виду о о К [О, О,) г(т=+(1 — соз24) ~ (Б,)созе„от + + —.' з1п2Ф [ (Й,)мп®оотг(т. В случае стационарного случайного процесса $(1), когда (Д,> зависит только от т, последние интегралы в правой части равенства постоянны. Поэтому быстрота изменения во времени всего выражения определяется тригонометрическими множителями. Выделяя плавно меняющуюся часть, имеем е а К (О, 0,) йт= —." ~ (Б„)совы„тг(т+ внбр. члены, Таким образом, в (60) можно сделать замену а К',а, О,) Ы~ — "' 1м,), (13.61) где 2к(о„) — -2 [ (11,)созе,тЫт= 5 [1, и,[ (13.62) — спектральная плотность шума $(1) на частоте ыо.

Другие два члена, которые можно представить в виде ~ (к (а, и,[+ к [и, а,) ) (.:=- — '„'" ~ (11,) х о „,Оэ Х зш (Ф+ Фс) (1т = д Мп 2~Р ) (с.",)соз во пт+ где т), Ь вЂ” одинаковые взаимно независимые гауссовы случайные функции, имеющие нулевое среднее значение и функцию корреляции ( л.) = (~г.) = —,„' ~ (т). (13.68) Последнее уравнение эквивалентно следующим «полностью упрощенным» уравнениям А= — '' (1 — д ., А+ '," ~(в)о) +к~оюп(1): (1366) Ао' ~ — 1,' (2 — 4 —,~ + 3,~,)+ м с(г), (13.67) (13.69) В этих функциях фаза у(1) коррелирована со значением случайной функции $(1), и это обстоятельство сильно затрудняет вычисление их среднего значения и корреляционных функций.

Мы считаем, однако, что время корреляции процесса $(1) довольно мало (59), так что можно подобрать такой сдвиг во времени Л, чтобы одновременно выполнялись соотношения ~ Ъ ~кор )А(1) — А(1 — Ь)) )А — А „~ ((А~; ~'э — у ь|((1, (13.70) В самом деле, если мы построим уравнение Фоккера — Планка для системы (66), (67) по общему рецепту (60), то получим уравнение, совпадающее с (66). Упрощение флюктуационных членов, приводящее от уравнений (57) к (66), (67), можно, конечно, произвести также и другими способами. Один из них состоит в рассмотрении уравнений, аналогичных (57), в декартовых координатах Асов|, Лз(п~р, по отношению к которым А и р являются полярными координатами и в которых флюктуационные члены имеют более простой вид (не зависят от координат).

Мы кратко изложим другой способ; он хотя и нестрогий, но довольно близко примыкает к изложенному ранее методу, давая в какой-то степени наглядную интерпретацию некоторым членам, входящим в уравнение (60). Обозначим в (57) ч1(1) = — ! Фз1п(ШОВ+ г(й)); Гч (г) = — 1(г) сох(м~~ + т (г)) Вто значит, что в течение времени Ь, хотя оно и превосходит время корреляции, амплитуда и фаза не успевают сильно измениться. Прн этом значения А(1 — Л) ев А, <Г(à — Л) = —; „, будучи близки к А(1), ф(1), сушественно отличаются от них тем, что уже статистически независимы от $(1), Вследствие указанной близости, выражение (69) можно приближенно записать так: 'о1= — ".мп(м 1+ 6 ) — 1соз(ы ~+ оо ) Ьоо; осок(о'оо+ 'о-о) +(оно(о'оо+ Р— о) ~Р (13 71) (а';= й — у- ).

Статистическая независимость позволяет производить усреднение по $ и по ор раздельно, в результате среднее значение от (71) примет вид: (~,) =- — соз(во1+ р)(ЕЬу); (г ) =з~п( о~+ г)(1зй (13.72) Интегрируя уравнение для фазы, имеем Ф о Вследствие этого, учитывая вид флюктуационной части выражения Н, получим о '/ 6, (оой) = омо ~ 16 А соз(аоот+ мот + 9с))о(т (13.73) о 3десь' нижний предел интегрирования мы распространили до — о вследствие того, что уже при !т~) Ь )) т„э подынтегральная корреляционная функция исчезает. 361 Используем еше раз малую величину разности между А,,;, и значениями А, „6 „которые уже независимы от 1„",, и преобразуем (73) к виду о (огай) = — — ) (о".,)соз(оо8 ~-аот т-'7)сУт. (13.74) Подставляя найденрое выражение (74) в первое равенство (72), определяющее (тц), получаем оа (М вЂ” А ~ (ЕЕс)СОЗ(~оС+ т) СОЗ(о~о~+ оэат+ 9) С(т= '~о = — 'х(а„) + вибр.

члены, 4А (13.75) что в точности совпадает с выражением (64), дающим м~м в (65), (66) член — „н(ыч). Таким образом, этот член вошел в (66) вследствие того, что корреляции между я(г) и ~(() дали отличное от нуля среднее значение флюктуационного члена евоць Путем подстановки (74) во второе равенство (72) убеждаемся, что среднее значение второго флюктуацион.

ного члена содержит лишь вибрационные компоненты, которые в среднем за период дают нуль. Найдем корреляционную функцию процессов и = Ч ~— — (то); Е=".о имеющих нулевое среднее значение. Наличие вторых членов в (71) влияет лишь на среднее значение, поэтому можно полагать ~(= — Е з1п Ф вЂ” — ~т (ойдо) = — Е з1п(мог'+ 7 — х)' (13 76) 4А " = — Е сов Ф ж — ". соз(а,~+ 7,). Поскольку время корреляции значительно меньше времени релаксации, случайные возмущения действуют как если бы они были некоррелированными, и фактическую функцию корреляции можно заменить на дельта-образ- ную (13.77) 362 Коэффициент интенсивности ) (щ,) пт здесь подобран так, чтобы при интегрировании обеих частей по -. мы получили тождество. Учитывая (76), находам (4Ч~) от= ) (;1 )Б1п(о>от+ Р) зш(о>о1+ шОт+ ~Рс) г(т = — с — ) (11,)соз(о„т ', т,— Р)г(~-( вибр.