Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 45

Дифференцируя равенства 1 2 Лвт 2 х А = ~хв + — 2); .р = — агс 1о —, — ые~, (13.30а) явно определяющие амплитуду и фазу, получаем А= — (х+ыовх); с"=- — —,(х+ыоех) (13.3') м«2А ма 42 илн, если использовать (3), А = ', ~(х, х, т)х; о= — — ', ~(х, х, й)х. (13.32) В этих равенствах х, х должны быть выражены через А и ср по формулам (30) В целях краткости обозначим выражения, получающиеся в результате этого, через 6 иН: 6(А, т, й) = — — ~(АсозФ, — ыеА21пФ, й) йнпФ; 1 ме Н(А, р, й) = — ~(АсозФ, — ыеАмпФ, й)созФ, 1 мод (Ф = сеоь + 9).

(13.33) Используя терминологию, предложенную в книге Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского е, назовем найденную систему уравнений А=ест(А, о, й); р=аИ(А, о, 1) (13.3$) * Н Н. Босолсобов и НЬ А. Митропольский. «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний», ГИТТЛ, 1955. 348 «уравнениями в стандартной форме». В них, действительно, производные оказываются пропорциональными малому параметру. Функции 6 и О в общем случае содержат флюктуационное воздействие $((), Найдем конкретный вид системы 34), соответствующий уравнению (24). Для этого согласно (32) следует х х умножить правую часть (24) на —, и — — „, после чего будем иметь о 4«з е юо — (1 — . -) хл — — х."., (13,33) З о»Л,») А» Подставляя сюда выражения (30) и совершая преобразование от произведения и степени тригонометрических функций к функциям кратных углов, находим оооо ! А2 А = —.

А(1 — соз 2Ф вЂ” — + Ао» 4 Ао ! А» + —.— соз2Ф вЂ” — — соз4Ф) — ооо (э1пФ; 3 А„» а А» ~ о.- о [(1 )з1 2Ф 1 А» .. 1»»о + —.— э1п 4Ф~ — — '1соз Ф. (13 Зб) 3 Аоо" ~ А Наряду с известными преимуществами уравнения в стандартной форме имеют одно неудобство. Оно заключается в том, что правые части 6 и О зависят не только от А((), Ф((), $(1), но и явно зависят от времени через тригонометрические функции от ооой Такие функции дают быстрые колебания, и мы будем их называть «вибрационными». Например, в первом уравнении (36) член А соз 2Ф = А соз (2о «1+ 2оо) = А соз 2 о~ соз 2 «вЂ” — А з1п 2м,1 з|п 2р (13.37) содержит вибрационные функции соз 2ооо(, з)п 2ооог двойной частоты наряду с медленно меняющимися функциями В связи с этим задача исключения, вибраций разделяется на два этапа, которые можно проводить в произвольном порядке.

Начнем с исключения вибраций из нефлюктуационных членов. Такие члены можно выделить, усредняя уравнения (34). Поэтому рассмотрим вспомогательные уравнения А = — «(О) = ~0, (А, 7); > = «(Н) = «Н,(А, р), (13.39) имеющие в нашем конкретном случае вид А= 2 А~1 — А» +~3 А — 1) Х 1 А~ Х соз 2Ф вЂ” — —. соз 4Ф]; 3 Ао» ., ГГ 2 А« 1 1 А» Р = — '~~1 — — —.,)31п2Ф+ — —,з1п4Ф~. (13.40) 2 1'1 3 А Р ) " 3 Аа~ и зададимся целью исключить из них колебательные функции. В первом приближении это достигается путем простого усреднения за период в предположении неизменности амплитуды и фазы.

В результате этого хорошо известного приема в уравнениях (40) останутся лишь беэвибрационные члены А= 2' А(1 — А>); Р=О. (13.41) Такие уравнения обычно называют «укороченными». Если требуется большая степень точности, то нужно обратиться к регулярным методам, В более высоких приближениях, соответствующих любой требуемой точности, безвибрационные уравнения могут быть получены асим- 350 бт А и Ф. Наша задача — исключить вибрационные функции и получить уравнения, которые не содержали бы пульсаций.

Такие уравнения мы для краткости будем называть «упрощенными>, Как видно из (36), вибрации входят не только в регулярные члены типа (37), но и во флюктуационные члены «"'о~(1) зш('"о~+ 3~; А" 1И) соз(")ю1+ т). (13.38) птотическими методами, разработанными Н, Н.

Воголю. бовым. Изложим особый вариант этих методов. Существо метода состоит в том, что вводится преобразование пере- менных А = А* —.'— аи(А*, Фа); Т = 1э*+ ао(А*, Ф*) (Ф* = — ы„Г+ т~). (13А2) и (А*, Фе) = и, (А*, Фа) + аи, (А*, Ф*) + ...; о (А*, ф*) = оа (Аа, Ф") -1- аоа (А*, Ф")+ .... (13.43) Вместе с тем последовательно находятся члены безвибрапионных уравнений Аа = ааааа (А*, еа) = асг * + аасгаа -1- ...; уа ае аНаа (Аа, т*) = аН,* + ЫНаа + .... (13.44) Покажем, как это делается. Подставляя (42) в (39), имеем А*+ аи = аба(Аа+ аи, та+со); т* + ао ая аН, (А* + аи, в*+ ао).

(13.45) Если здесь учесть, что ди . ди и= дАа А*+ д,ра (~а+у*); до . до о = ДА А* + дфа (юо + т') и подставить, кроме того, (44) в (45), то получим равенства ди ба~+'аодфа — — Ос(Аа+ аи, т*+ ао)— ди ди — а — Оа — а — Н"; дАа а — дф* с 351 Это соответствует переходу к новой амплитуде А* и фазе ара, определенным несколько иначе, чем прежние амплитуда и фаза (ЗО), (ЗОа). Функции и(А', Фе), о(А*, Фе) в равенствах (42), дающих новое определение, подбираются из тех соображений, чтобы уравнения для новой амплитуды и фазы, будучи эквивалентными уравнениям (39), не содержали вибраций.

Такие функпии отыскиваются не вполне точно, а последовательными приближениями; другими словами, последовательно определяются члены разложения а. Н,«+, — „, = н,(л + °, р +,)- до до — з — а* — з — Нз, Длз с Джз с (13.46) которые служат для определения Функций и, о, а*, и'. именно, за- писывая в иих эти Функции как разложения по в (43), (44) и при- равнивая члены прн одинаковых степенях е, находим уравнения последовательных приближений: ди, а,*ж, дԄ— а,(л, у*); до, Нз +еп исае Нс(А у ) (13.4?) — в первом приближении и диз дас дас Ди, ди, а.*+и — = — и + — о — — аз — —,Н"; и ДФ" ДА ' ду ' ДАз ' ДФ" — во втором приближении.

Каждое из последних равенств разделяется на две части: вибрациониые члены относятся к гГи)ДФз и до/аФз, а невибрационные к а* и Н'. Так для уравнения (40) в соответствии с (47) имеем шп / А' а,'(А, Р) = — А~! — А з з); Н,з(А, Ф) =0; (13.49) с ди,(А, Ф) А ((4 Аз ') 1 Аз з !13 .4п' / 3 4п' — — — — ! соз 2Ф вЂ” —, — соз 4Ф~ ! = ~ (1 — 3 А з)з!пйФ+ 6 1, з1п4Ф. (13.50) Отсюда А Г /4 Ав ! 1 Аз и,(А, Ф) = — ~2~ — !я — 1)з!п2Ф вЂ” —, (в з!п4Ф|; (13.51) 1Г 7 2 Аз! 1 Ав о,(А Ф) = — — ~2~1 — 3 !в/соз2Ф+ —. А в соз4Ф1. 3 Апв Как видно нз (49] первое приближение, действительно, дает тот же результат, что и простое усреднение (4!). Лля получеицд второго приближения следует обратиться к (48).

На азз Нз* влияют 352 Доз ДНс ДНс до, до, Н*+ — '= — и + — ' о — — а" — — Н* (13А8) з и ДФз'- ДА з оу ' ДА* ' ДФ' зыбь невиорацнонные члены, которые не содержатся в членах типа ди 0 *. Поэтоцу дАз ( д6о доге бэо = невибрационные члены от ~ д4 и, + д ог~; дт (дН, дн, Н,,"воневибрапионные члены от ~ д4 и,+ д о,~. ду Таким образом, преобразование (42), (43), (51) переводит уравнения (40) в безвибрационные уравнения 2 (, Аоз/ овооо г' Ао А* ! ~ = — — '"(2 — 4 — +ЗА,,)+"... 1.

~ Аоз (13.53) Генерируемый сигнал х=А сов(юог+гр) в силу (42) без труда выражается через безвибрационную амплитуду и Фазу, Так, если оставить только первую поправку, то будем иметь х = А" сов Ф" + аи„(Ао, Фа) соз Фа— — аАоот (Ао, Ф") з(п Ф' (13.54) и, следовательно, согласно (51) о ГАоз х=А'созФ" + 1,4* ~ А в — 1) 3!ПФа+ о Аоз + —,, — 51пЗФ*.

24 Аоа (13,55) Отсюда видно, что аыплитуда и фаза А', Ф' не совпадают с амплитудой и фазой метода Крылова — Боголюбова в узком смысле, поскольку соответственно метод Крылова — Боголюбова требэет отсутствия поправок к основной частоте. Как известно, имеется некоторый произвол в выборе безвибрацнонной амплитуды н Фазы, приводяшнй к различию безвнбрацнонных уравнений. Так, УРавнения (53) можно перевести в уравнении метода Крылова †Бо~олюбова дополнительной заменой переменных А', то на Аа, Б соответствии с (55) амплитуды А* и Ав совпадают в первом 23 зок.

зп, учитывая вид функций 6„Н„иг, о, (Ю), (51), отсюда получаем ног Аз Аот Ноо = О; Нот(А, у) оо — 15. (2:4 А з + 3 —,) . (!3.52) о 4о приближении, фазы же уже в первой приближении различаазтен иа величину о Г Ао'! Вернемся к полным уравнениям (34), (35). Преобразование переменных (42), (51) исключает вибрации из нефлюктуационных членов Оно переводит уравнения (36) в уравнения ов ! оаио А*з Аел ! и 'ало ооо= — — '(2 — 4 — + 3 — ! — — „" 1созФ*+ А, (Х !б ( Аоа Лоо! А* содержащие вибрации лишь в членах со случайной функцией.

Хотя самые последние члены с о1 и и~ формально имеют порядок еа, их фактическая роль, как будет видно из дальнейшего, при не слишком больших временах корреляции относится к третьему и четвертому порядку, Это объясняется тем, что флюктуационные толчки в противоположные стороны частично компенсируют друг друга, что приводит к уменьшению влияния флюктуаций и делает желательным частичное изменение формальной схемы построения приближений. Поэтому уравнения второго приближения с упрощенной нефлюктуационной частью имеют вид ' а о"'о А*= —,' (1 — — 1 Ао — аоз ".и!пФ"; оа"'о А*а А'~ ! Ао В дальнейшем мы для сокращения записи будем опускать звездочку, отмечающую безвибрационную амплитуду и фазу, записывая уравнения типа (57) в форме А=або(А, Ф, 1, е); з='аН*(А, Ф,!, е).

(13.58) Здесь через Й', Н' обозначены выражения, стоян(ив в правой части (57). Можно опустить звездочку даже при этих функциях, так как это не.вызовет какой-либо неясности. 4. Упрощение флюктуациоиных членов Дальнейшее упрощение уравнений, описываюших поведение амплитуды и фазы, будет основано на предположении относительно малости времени корреляции т„,р случайной функции $((). При этом мы, сравниваем его не с периодом колебаний, а с временем релаксации амплитуды (которое по порядку величины равно 1/евр), требуя выполнения неравенства 1 '~о (13.59) ч (А, ~)= — — „([ (О) .).и (К(~, О)И -). Это условие означает, что воздействующий на генератор шум является значительно более широкополосным, чем генерируемый сигнал, что,выполняется во многих практических случаях.