Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 35

(10;22) В последующие моменты времени величина %'(С) = ) е(х, С) г(х (10.23) меньше единицы. Она совпадает с вероятностью того, что кривая х(С) ни разу не коснется границы х=Ь в течение интервала времени от 0 до С. Иначе говоря, Ж'(С) описывает ту долю случаев, в которых координата ни разу не достигает значения Ь. Указанная величина убываег вследствие того, что в некоторых случаях координата достигает границы и поэтому выбывает из рассмотрения. Вероятность того, что первое касание произойдет в течение интервала от С до С+И, равна а гСР = — г((Р'= — ФгСС = — АСС ~ и(х, С) Ых.

(10.24) Пользуясь уравнением (16), нетрудно получить ФР= [О(Ь, С) — 0( — со, С)] ~СС, (10.25) где 0(х, С).= д и' 2 ах (10.26) дУ К ди 272 — поток вероятности через сечение х. Отбрасывая здесь поток 6( — со,С) из бесконечности, который равен нулю вследствие невозможности бесконечных значений координаты, нетрудно убедиться, что быстрога убывания вероятности равна потоку вероятности 6(6, Г), проходягцей через границу Вероятность (24) совпадает с вероятностью того, что интервал времени до первого пересечения будет находиться в пределах от Г до Г+Л. Таким образом, величина — йт является плотностью вероятности для величины указанного интервала. Средний интервал до первого пересечения получаем усреднением и интегрированием по частям Тдо~= — [ Л~И= [ %'(()Ж. (10.28) о о Среднее время (28), связанное с решением дифференциального уравнения (16) при условиях (21), (22), может быть получено точно в виде интегралов согласно (4.1!3), Однако нам нет надобности находить громоздкое точное выражение для Т„„поскольку сама постановка задачи (1б), (21), (22) уже была сопряжена с приближениями, основанными на условии (10) или (20).

Поэтому мы найдем более простое приближенное выражение, справедливое при том же условии. Применяя метод, изложенный в равд, 4, 5 4, будем искать решение уравнения (!б) при граничном (21) и начальном (22) условиях в форме разложения ю(х, Г) = ~ Т.;етХ. (х).

(10.29) Здесь значения Т„определяются из (22), а собственные функции Х„(х) согласно (4.50) удовлетворяют уравнениям — — + — — Х„,~ + Л,„Х,„— 0 (10.30) К дзХ д ГдГГ с граничными условиями Х (Ь)=0, 6 [Х [„=О. (10.31) Граничное условие (21) отличается от граничного условия и„(со, 1) =0 или 0 [тв„[„ „ = О, которому 273 !8 зак.

зн тв (х, 1) = Т,Х, (х) е (70.32) Вследствие начального условия (22) и отмеченной ранее близости Х«(х) к иЬ(х) имеем То=1. Таким образом, спустя время 1)> Т„„, устанавливается своеобразный «квазистатический» режим убывания вероятности. Он характеризуется тем, что форма плотности вероятности не меняется.

Она описывается функцией Хз(х), удовлетворяющей уравнению Суммарная же вероятность (23) равна Ю'(8) =е ~ ~10.34) так как ) Хогьт = ~ тест«.т — 1, (10.35) т. е. медленно убывает до нуля. Формула (28) при этом дает Т„„= —. (10.3б) 274 удовлетворяет та„. Однако вследствие условия (12) указанное отличие невелико. Если Ь стремится к бесконечности, где в„= О, то разница между указанными граничными условиями пропадает и функции, удовлетворяющие равенствам (30), (31), переходят в соответствующие функции Х,„, определенные при всех значениях х, которые были рассмотрены в равд. 4, $ 4. В частности, согласно (4.53) Х«(х) переходит в тв„, а Х, обращается в нуль. Отсюда следует, что при достаточно больших Ь, удовлетворяющих условию (12), Х,(х) мало отличается от тв„в области большой вероятности, а 1, от 0 (Л,((Л„Л„...).

Спустя время ~, значительно превышающее время установления Т „(Т„„— порядка 1 1 — ~, т. е. при 1» —, в разложении (29) существенл, 7' л, ным будет лишь один член Интегрируя (33) от — ою до 6, получаем к — д + — „Хю= — )ю 1Хю(х')Ых'. к ах, ди (10.37) Вторичное интегрирование дает Х,(х)= — ) екр[ — — [У(х) — У(х')[~а(х)юг', (1038) х где к к Д (х) = [ Хю(х') г(х' = ) таст (х ) ю(х' (10 39) При помокни стационарного распределения (17) равенство (38) можно записать ю Хю(х) = ~ таст(х) ~, гсх'.

(10.40) Как следует из неравенства (12), подыитегральиое выражение — велико в области, примыкающей к Ь, л ятст и мало в области большой вероятности Х=х„где 1 тв„(х,) — †. Более того, мы будем предполагать, что ь т~ [ — )) [ — — аю (х).

(10.41) т т,— т (т~ а(х) ж [ тв„псх'ж1, (10.42) как это видно из (39). 1а" з75 ь Тогда интеграл [ — дх' слабо зависит от х,, если Г а ,[ таст т1 только х, лежит в области большой вероятности, Далее, где выражение — велико, там оно близко и ~ст 1 к —, поскольку там ~ст б 1 2 (' Фх' 1б К ) гб,г(х') х, (10.43) или подробнее б — = 2 —,. ~ ехр (1 —, Е/(х)~ гбх. (10.44) хо х, Найденное соотношение служит для определения 1.б. Вследствие (41) зависимость от х, практически отсутствует. Используя (43), основное условие применимости теории (41) можно записать в виде 1 2аг (х) — )>— 1о (10.45) Учитывая (36), нетрудно видеть, что это неравенство эквивалентно условию (20), поскольку Т вЂ” 2аг(х~/К.

3. Примеры применения формубы, определяющей частоту повторения серий П р и м е р 1. Рассмотрим случай нелинейной возвращающей силы У(Х) = — Уб (ххх~, (10.46) которой соответствует потенциальная функция (7(х) =)'б ( х ~. (10.4?) Согласно (17) в этом случае имеем г иг„(х) == — е х, Ф= —., (х) = О, К (10.43) Применяя формулу (44), находим — = — ~ех — е" ~ (10.49) Взяв х=х, из области большой вероятности и учитывая, что в ней Хбжж,.„получим из (40) после замены й на 1 Условие справедливости последнего результата, которое можно записать в любой из трех форм (1О), (20) или (45), в данном случае имеет вид А'« 2УоЬ Оно действительно приводит к тому, что выражение (49) слабо зависит от х, при Ь вЂ” х, ра(х).

Пренебрегая зуФ1 членом е к, получаем среднюю частоту повторения се- рий г 1,=УО е ку', ,= — е (10.50) Пример 2. В качестве другого примера возьмем линейную силу у(х) = — )1», с/(х) = — х'. (10.51) Этот случай соответствует нормальному стационарному распределению Ьх' ~.К п„(х)=уе "', Ф=®, в(х)= ~à —. (10.52) Формула (44) теперь дает Ь 9х' — =2( — ) ) е Ых, (10.53) ~л Ьм 2~Ь [ + 2ЗЬ + '''~' о (10.54) Если удержать лишь первый член этого разложения, то искомая частота серий выбросов будет равна 1 Л,=рЬ( р~) е к (10.55) 277 где в качестве х, выбрано среднее значение (х) =О.

Условием применимости изложенной теории в данном зь~ случае является неравенство — )) 1, которое позво- К ляет воспользоваться аснмптотическим рядом Полученные выражения (50), (55) содержат в каче- 2ДЫ стве основного сомножителя экспоненты ехр ( — — ), К) ра»~ ехр ~ — — ), которые являются ни чем иным, как К) 2 ехр ~ — — У(Ь)~.

Такой множитель всегда будет при- К сутствовать в тех случаях, когда в (44) можно заменить ехр [ — — У(х)~ на ехр [ — — И(Ь) + — 7 (Ь) (х — Ь)~. 2 1 2 2 К 1 К К После такой замены можно положить нижний предел интегрирования равным — со и получить — х пэ (10.56) Выражения (50), (55) являются частными случаями последней формулы. Однако эта формула не охватывает многих случаев, когда производная Л7(Ь)~2х= — 1(Ь) недостаточно велика или, тем более, отрицательна.

Тогда существенную роль играют нелинейные члены (~И7(Ь)/с(хз) (х — Ь)92. Один из таких случаев будет рассмотрен в 3 18 (равд. 3). Возможны также случаи, когда разложение Тейлора функции У(х) вообще неприменимо. П р и м е р 3. Пусть «сила» и «потенциал» имеют вид У(х) = — Рх+ —, У(х) = —,хз — — 1пх, (10,57) К Ь К 2х ' 2 2 При этом х(1) является релеевским флюктуационным процессом (равд 3, 2 7), имеющим стационарное распределение .н «а„(х) = —,, е ~'', («' = — — ) .

(10.58) В отличие от предыдущих случаев теперь х(1) может принимать лишь положительные значения. Малые значения х((о достигаются редко, так же как и большие значения х))п. Если выбрать очень низкий уровень Ь ((а,то условия применимости изложенной теории будут выполнены и можно будет подсчитать число серий точек пересечения, Для этого можно воспользоваться выведенными формулами с некоторыми изменениями, соответствующими тому, что теперь область вероятных значений 2ть координаты находится не снизу, а сверху порогового уровня (х(1) > Ь). Используя формулу (43) и выбирая х~=а, получаем а (10.59) Основной вклад в интеграл здесь дает область, примым кающая к Ь, где е'"=1. Заменяя экспоненту на единицу, находим (10.60) Условие (45) применимости теории в данном случае имеет вид 1п — )) 1.

(10.61) В заключение настоящего параграфа скажем несколько слов о выполнимости условия (1О), лежащего в основе приведенного рассмотрения. Оно выполняется при относительно высоком пороговом уровне или при относительно малом флюктуационном разбросе. Этот случай представляет болыпой практический интерес ввиду того, что в практических приборах, предназначенных для выполнения определенных операций, например для счета, флюктуационные помехи не должны быть настолько велики, чтобы сорвать основную работу прибора, Помехи должны быть относительно небольшими возмущениями, иначе будет происходить такое большое число ложных выбросов, что нормальная работа прибора будет нарушена, и он будет непригоден для употребления, Поэтому в большинстве приборов, пригодных для практики, условие малости флюктуационных воздействий можно считать выполняющимся, $11.