Никитин О.Ф. Гидравлика и гидропневмопривод DJVU, страница 13

е. Таким образом, расходом называют количество жидкости, протекающей через какую-либо поверхность, нормальную к линиям тока, в единицу времени. В зависимости от того, в каких единицах измеряется количество жидкости, различают объемный расход Д и массовый Д„= рД или Цл = АД, Д = дД = АД. Расход в СИ выражается соответственно в м /с и кг/с. Для удобства решения многих технических задач необходимо знать среднюю по сечению потока скорость 1; которую можно оп- 68 Хл.

2. Кинематика и динамика акидкосгии ределить, усредняя по сечению местные скорости и в соответствии с соотношением. где 5 — площадь живого сечения потока; ~иЖ вЂ” объемный рас- 5 ход Д жидкости потока через живое сечение. В основе описания динамики жидкости лежат два уравнения— уравнение неразрывности и уравнение движения. 2.2. Динамика жидкости. Уравнение Бернулли Уравнение неразрывности. Выделим элементарный объем жидкости внутри элементарной струйки двумя живыми сечениями 1 — 1 и 2 — 2 (рис. 2.1), расстояние между 2 которыми равно еЫ,.

В течение времени ат' в этот объем втекает жидкость массой аБ . а(аа) рсьэий и вытекает массой (р + Ыр)(сй + + д(еьэ)) (и + сКи)й. Поскольку движение жидкости установившееся и ее плотность в пределах выделенного объема с 1 аЬ течением времени не изменяется, а потери жидкости через непроницаемые Рис. 2.1, К выводу уре~нестенки боковой повеРхности невоз- „„„'н ' ' можиы, то соответствующие массы равны между собой: рсБие11 = (р+ др)((е1о + И(сБ))(и -г е1и)ал Раскрывая скобки и отбрасывая величины более высокого по1~ядка малости, получаем 4РЖи) = О. Анализ рассмотренного выражения показывает, что для сжимаемой жидкости (р Ф сопз1) остается неизменным массовый расход вдоль элементарной струйки: РЖи = ЫД„= Ыет, а для несжимаемой жидкости — объемный расход: иа1э" = еф = Ыепь Распространяя полученный результат на поток, имеем для сжимаемой жидкости массовый расход Я„= Р,У,51 —— Рз УтЯз = ...

= сопз1, 69 Ч.1 Гидравлика для несжимаемой — объемный расход Д = Р; 5, = У~Бг = ... = сопки Из последнего выражения следует, что средние скорости движения к'ъ Кг потока несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям Яь Яг сечений потока: Р1 Яр )г Ж~ Таким образом, уравнение неразрывности описывает частный случай общего закона сохранения вещества, а также является условием оплошности потока жидкости. Струйка идеальной жидкости и уравнение Бернулли. Рассмотрим установившееся течение струйки идеальной жидкости, находящейся под воздействием только силы тяжести.

Для этого случая выведем уравнение движения жидкости, связывающее давление жидкости и скорость ее движения. Выделим участок элементарных струек потока произвольной длины (рис. 2.2) и сечениями 1 — 1 и 2 — 2. В сечении 1 — 1 площадью а5п расположенном на высоте г1 от плоскости сравнения, скорость жидкости составляет иь равномерно распределенное по всему сечению давление — рь для сечения 2-2 — соответственно Жг, гг, иг, рг. За бесконечно малый промежуток времени агг под воздействием внешних сил выделенный участок потока объемом 1122 переместится и займет объем 1'1'2'2'. Рис.

2.2. К выводу уравнения Бернулли лля струйки идеальной жидкости 70 Гл. 2. Кинематика и динамика лсидкости Согласно теореме о кинетической энергии механической системы, работа внешних и внутренних сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Приложенные к выделенному участки силы (внешние) — силы тяжести; внутренние — силы трения — отсутствуют, поскольку жидкость идеальная. Работа сил давления в сечении 1 — 1 будет положительной, так как направление действия силы совпадает с направлением движения струйки жидкости, и равной произведению силы р~Ж, и пути и~В.

Работа сил давления в сечении 2 — 2 будет отрицательной, так как направление действия силы противоположно направлению движения, и равной произведению ргсйгигй. Силы давления, действующие на внешнюю оболочку выделенного участка потока, не совершают работу, поскольку они направлены по нормали к этой поверхности и к движению струйки жидкости. При перемещении выделенного объема энергия положения (потенциальная энергия) не будет соответствовать разности энергий положения объемов ! П'1' и 222'2', а в средней части выделенного объема не изменится.

С учетом весовых расходов выбранных объемов с16 = Р~ас15РФ= РгКс1сгигс1Л Работа сил тяжести, равная (г~ — гг)Ы6, вызовет изменениА отенциальной энергии участка струйки. Приращение кинетической энергии определяется разностью кинетических энергий объемов 111'1' и 222'2' при силе тяжести сааб каждого и равно '1 игг — иг ) с16/(2д). Окончательно имеем Р~Ф5~иФ Ргй~~гигс1г+(г~ — гг)а~6 =(иг — и~ 1 —. г г~а6 2~я Проведя преобразования, получаем выражение для полного напора: г г Р~ и~ Рг иг г~ + — + — = гг + — + —, Рд 2К Рд 2д 71 Ч. 1 Гидравлика получившее название уравнения Бернулли (1738) для струйки идеальной несжимаемой жидкости, выражающее равенство полных напоров.

Сечения выбраны произвольно, следовательно, для любого другого сечения струйки идеальной жидкости полный напор также определяется выражением г ч- р/(р8) + и~/(28) = Н = сопв1 (вдоль струйки). Каждый член уравнения Бернулли имеет линейную размерность и называется: я — нивелирная высота, или геометрический напор; р/(рд) — пьезометрическая высота, или пьезометрический напор; из/(2д) — скоростная высота, или скоростной напор; + р/(рд) ч- из/(2д) = Н вЂ” полный напор, Таким образом, для идеальной жидкости сумма трех высот— нивелирной, пьезометрической и скоростной — есть величина постоянная вдоль струйки.

Приведенный выше вывод уравнения опубликован в книге Д. Бернулли «Гидродинамика» (1738). На рис. 2.3 показано изменение трех высот, определяемых следующими линиями: нивелирной — линией расположения оси струйки; пьезометрической — линией расположения уровней свободных поверхностей (поверхности атмосферного давления) в пьезометрах; полного напора на высоте Н от плоскости сравнения.

4 О Рис. 2.3. Изменение напоров вдоль элементарной струйки идеальной жидкости Из уравнения Бернулли с учетом уравнения неразрывности следует, что при уменьшении площади поперечного сечения струйки (сужение струйки) скорость движения жидкости увеличивается, а 72 Гл. 2. Кинематика и динамика жидкости давление снижается. В сечении 2 — 2 может даже образоваться вакуум, т. е. давление в этом сечении будет ниже атмосферного. Рассмотрим уравнение Бернугщи с энергетической точки зрения.

Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесенную к единице силы тяжести, т. е. е = Е/6, и имеющую ту же размерность, что и члены уравнения Бернулли. Каждый член уравнения выражает свою форму удельной механической энергии: г— удельная потенциальная энергия положения (частица жидкости, обладающая силой тяжести Л0), находящаяся на высоте г, имеет потенциальную энергию Лба, а на единицу силы тяжести будет приходиться энергия Лба/Л6 = г); р/(рд) — удельная потенциальная энергия давления движущейся жидкости (при давлении р частица жидкости обладает способностью подняться на высоту р/(рд) и тем самым приобрести потенциальную энергию Лбр/(рд), а на 2 6р/(рК) единицу силы тяжести будет приходиться энергия Л6 = р/(ря)); г -ь р/(рд) — удельная потенциальная энергия движущейся жидкости (гидростатический напор); и~/(2д) — удельная кинетическая энергия движущейся жидкости (кинетическая энергия частицы жидкости Ль иг/(2д), а на единицу силы тяжести будет Лбиг/(2д) г приходиться энергия = из/(2д)); Н = г + р/(рд)+ Лб +(и~/2д) — полная удельная энергия движущейся жидкости.

Энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной движущейся жидкости заключается в пост)зянстве полной удельной энергии вдоль струйки и выражает закон сохранения механической энергии движущейся идеальной несжимаемой жидкости. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может превращаться в другую, однако полная энергия при этом остается без изменения. Если энергию движущейся жидкости отнести к массе т или объему И', уравнение Бернулли после некоторых преобразований принимает следующий вид: полная удельная энергия движущейся жидкости, отнесенная к единице массы 73 Ч,1, Гидравлика дН = дг е — + —; р у р 2' полная удельная энергия движущейся жидкости, отнесенная к единице объема, 2 жН=аЬ +р+р —; 2 где Н вЂ” полный напор; з — геометрический напор; р/(рд) — пьезометрический напор; я + р/(рд) — гидростатический напор; и~/(2д) — скоростной напор; яН вЂ” полная удельная механическая энергия движущейся жидкости; дг — удельная потенциальная энергия положения; р/р — удельная энергия давления; дз + р/р— удельная потенциальная энергия; и~/(2д) — удельная кинетическая энергия; ряН= рдя+ р+ри 12- полное давление; рял - давление сил тяжести; р -- гидромеханическое давление (или давление); ри~/2 — динамическое давление.

Лоток реальней жидкости. В отличие от идеальной жидкости, в которой работа сил, действующих на жидкость, полностью идет на изменение ее кинетической энергии, благодаря чему в потоке происходит только преобразование кинетической энергии в потенциальную или наоборот, в реальной жидкости при наличии трения происходит потеря части энергии с преобразованием механической энергии в тепловую. Если преобразование одной формы механической энергии в другую форму механической энергии является обратимым процессом, то преобразование механической энергии в тепловую, происходящее вследствие действия снл трения, — необратимый процесс. Это явление, называемое диссипацией энергии, в гидравлике рассматривается как потери энергии на местном гидравлическом сопротивлении.

При переходе от элементарной струйки идеальной жидкости к потоку реальной жидкости, имеющему конечные размеры и ограниченному неподвижными между собой стенками, необходимо кроме потерь напора учитывать и неравномерность распределения скоростей по сечению. Явление днссипацин в потоке жидкости 74 Гл. 2. Кинематика и динамика жидкости чрезвычайно сложно, связано с вязкостью жидкости и обусловливается возникающими в потоке силами трения. При движении жидкости вдоль твердой стенки происходит торможение потока вследствие влияния вязкости и сил молекулярного сцепления жидкости и стенок, скольжения слоев, вращения частиц, вихрей и перемешивания частиц.