Никитин О.Ф. Гидравлика и гидропневмопривод DJVU, страница 11

Поверхности равного давления конгруэнтны (это тот случай, когда можно совместить одну поверхность с другой, изменив только положение в пространстве, в рассматриваемом варианте — переместив по координате 2). ВведЯ гРаничные УсловиЯ, го, го и Ро, имеем полное УРавнение распределения давления жидкости, вращающейся вокруг вертикальной оси: Гл.

1. 1 идростатика с помощью которого можно определять давление в любой точке объема. Уравнение параболоида свободной поверхности с давлением р = 0 и расположением вершины с координатами г = г, и г = 0 (х = 0 и у = О) имеет вид г = гр + ог~ г928. Отсюда можно заключить, что форма поверхности равного давления не зависит от плотности жидкости. ПРи го = г = 0 имеем Р = Рр — Р8 ~г го) = Ро — Р8А, т. е. давление во вращающемся сосуде с жидкостью растет по мере увеличения глубины погружения по вертикали. Для точки М(гм, гм) при гр = 0 „г г Рм =Ро+Р РЫ(гм га).

2 Проведя преобразования вида (рм — ра)!Рд=й и гмог /28+ге = г г = г, „, находим Ь = г, „— гм, т. е. глубину погружения точки необходимо исчислять от свободной поверхности, рстанавливающейся при вращении сосуда. Прн определении положения свободной поверхности в решении практических задач следует руководствоваться такими соображениями: объем жидкости в сосуде задается до начала движения сосуда; объем несжимаемой жидкости не изменится при переходе в состояние относительного покоя.

Поверхности равного давления, естественно, примут форму параболоидов вращения. Равенство первоначального и полученного при вращении объемов, выраженное аналитически, позволяет окончательно определить положение, например, свободной поверхности, для которой р = О. Для проведения аналитических выкладок следует вспомнить, как выражаются: высота параболонда грг гдг 8я 2я объем параболоида пег ы гпО4 г й4 6' р— 8 648 4я 57 Ч.!. Рндравлико При вращении закрытого сверху полностью заполненного цилиндрического сосуда размером В х Н !рис, 1.18) вокруг вертикальной оси с угловой скоростью вращения а>, внутри которого находится жидкость под избыточным давлением р„ь = рьь верти! кальная сила, действующая на крышку Ае> вращающегося сосуда, определяется выра- В жением Рвсрт = 1(ризе т рвр)с!8 РИ( тт АВС>> + 1тВВЕС) в Здесь р„,е = рн — избыточное давление жидкости внутри сосуда !и до вращения); р,рРис.

1.18. К определе„„,, „„.„- давление на крышке Ае> вращающегося сощих на крьшлсу сосуда суда' >гввсо — объем тела давления при учете действия избыточного давления; >>'Веес— объем тела давления при учете действия давления, возникшего при вращении сосуда с жидкостью. Таким образом, сила, действующая на крышку вращаюшегося сосуда, численно равна силе тяжести тела давления, построенного между крышкой и свободной поверхностью. Вращение жидкости в нилиндрическом сосуде вокруг горизонтальной оси.

При вращении жидкости вокруг горизонтальной оси !рис. 1.!9) часто наблюдается неравномерное распределение жидкости на стенках сосуда. Равномерность распределения происходит при высоких частотах врашения, т. е. когда центробежные силы, действующие на частицы жидкости, значительно превышают силы тяжести этих частиц: г>е » я. г Для получения закона изменения давления внутри объема жидкости„врашаюшегося вокруг горизонтальной оси, рассмотрим равновесие элементарного объема с плошадью основания ЕВ в направлении оси вращения на радиусе г и высотой й.

На выделенный элемент жидкости в радиальном направлении действуют силы давления и центробежная сила. Обозначив действующее в центре основания сьэ на радиусе г выделенного объема давление через р, а в центре верхнего основания (на радиусе г + Й) через р >- о>р, запишем уравнение равновесия сил выделенного объема: рж — !р+ Ф)с>о + розз ЫЯ = 0 58 Гж !. Гидростатика Рис. 1Л9. Схема действия сил в жидкости прн вращении сосуда вокруг горизонтальной оси нли ф~=роз гй.. После преобразований и интегрирования последнего имеем 2 .2 р= -~С.

2 розг (гг — гг) Ро + 2 Р = 2к ~РЫг = 2л ~ С учетом граничных условий, г = го и Р =- Рм получаем уравнение ,2 Ро Р+ Рю г 2 ег определяющее закон распределения давления в обьсме жидкости, вращающейся вокруг горизонтальной оси. Распределение давления по торцу имеет вид параболоида вращения с осью, совпадающей с осью вращения цилиндра. Поверхности равного давления при таком законе распределения давления в объеме жидкости образуют семейство концентрических цилиндрических поверхностей с осью„совпадающей с горизонтальной осью. Для определения силы, действующей на торец циднндра, выделим элементарную площадку в виде кольца площадью Ж = = 2я сЬ..

Сила, действующая на эту элементарную плошадку, сН' — сБ — 2 лксм 2 Суммарное воздействие сил на крышку сосуда Ч.Е Гидравлика 1.9. Примеры решения задач 1.1. Абсолютно жесткая канистра залита полностью (по горлышко) бензином. Определить, насколько повысится давление Лр внутри канистры при нагреве бензина на Лг .= 30 'С, если Ев = 1250 МПа и 1эт =- = 8. 10 !РС. Решение. Канистра абсолютно жесткая, поэтому объем И'„канистры не изменяется. Следовательно, изменение Ай'т объема бензина при его нагреве компенсируется сжатием бензина на величину Л1тр за счет сжатия бензина при повышении давления внутри канистры, т.е.

ЛЮ' = тз'йтт., АР))т:?Ее ='Ртй'АЬ Таким образом, Ьр = ВтЕеЬт = 30 МПа. 1.2. В 1)-образный сосуд залиты вода и бензин. о Высота столба воды Ьн,о = 430 мм, столба бензи-ч на — Ьв = 500 мм от плоскости раздела жидкостей. Определить плотность рв бензина. Решение. Плоскость раздела жидкостей являет- К ~~дан~ 1 2 сЯ плоскостью Равного давлениЯ, поэтомУ можно записать: Рв8йв = Ри,оЕЬн,о. Следовательно, Рв = = 11ноХно!Ьз =1000'0 43! 05 = 860 кг!м~. 1З.

Какое количество з жидкости можно недо- лить в сосуд диаметром ТЭ, движущийся на ленте транспортера, чтобы при сходе его на приемный стол жидкость не пролилась? Решение. Из равенства сил инерции лу и трения тяГ (где и — масса сосуда с жидкостью; / — ускорение; Д вЂ” коэффициент трения) и подобия треугольников О!д= 2яЮ)находим з= Г 2Э!2. К задаче 1.3 1.4. В системе дистанционного гидроуправле- ния необходимо обеспечить ход 1в поршня В равным ходу )л поршня А, т.

е. 1л = 1л. Поршень В диаметром Ы противодействует внешней силе Рз. Подпоршневые полости и трубопровод заполнены рабочей жидкостью с модулем упругости Е = 1 400 МПа. Объем йт рабочей жидкости при давлении р„,в = О. Определить диаметр П поршня А и силу Рн приложенную к поршню А. Упругостью стенок цилиндров и трубопровода, а также силами трения поршней о стенки цилиндров пренебречь. 60 Гв, Е Гидростатика Решение.

Давление, развиваемое силой Рь р = 4рз»па'. Сила„ приложенная к порпзню А, Рз = п02 . Изменение объема жид- 4 кости ЛИ' = 11ТР— рх»оУЕ. Тогда »зз 02 (А =1в — -о»з»1', и с учетом 4 4 условия 1х = 1в находим К задаче 1.4 1в+ Р„„,П вЂ” 0,4) аев = ~в+ Ро где р, — плотность ртути. 61 1.5. В вертикальной трубе высотой Н находится газ плотностью б, = =- р„/реи — 0,4 относительно воздуха. Температура воздуха з = 30 'С, барометрическое давление рв~,, В измеренное на уровне А, равно 740 мм рт. ст, Показания нижнего дифференпнального манометра Ье„= "Г = 25 мм рт.

ст. Определить показания верхнего диф-::;. а ференциального манометра (рзутного) Ье„. з. Решение, Из справочников выбираем р =1,29 кзйм' при температуре О 'С и давлении 7бО мм рт. ст. Объем единичной массы газа 11»„= = 1»р. Из уравнения Менделеева р1 1Рз (Т» =- рз'»»з ~То опРеделим плотность воздУха пРи темпеРатУРе К задаче 1.5 30 'С по плотности при 0 'С: р. и = Р ° о Р х х То (РоТзо, т. е. Р, = 0 4Р .

зо. Показания барометра на ура~не В: рв = рве»р = рве»р — Рм»зокН Дав ление газа иа уровне А; рв =- р оар + Ро» В Лг,ь а на Уровне В: рв = Р»иьр + Ре»Исав. В то же время давление газа на уровне В: рв = рв — р„дН. Посйедовательная подстановка дает рхмр — Р зо ВН+ Рз В бев = ремо + РоеВ з»ех— — 0,4Р»м,о еН. О~сюда наход~~ Ч.1, Гидравлика 1.6. Бензобак самолета размером НхВхй заполнен бензином на одну четверть его емкости. Соотношение размеров Н: В = 1: 2, Ь = Н/4. Самолет движется горизонтально с постоянным ускорением ~'.

Определить значения ускорения /, при которых: 1) свободная поверхность бензина дос- К задаче 1.6 тнгает дна бензобака; 2) свободная поверхность пройдет через точку А, что будет соответствовать прекращению подачи бензина из бензобака. Решение. Объем бензина И'= Ь х В х В. 1. Высота ребра бензинового объема гй н 2Ь=Н/2, — = — — + ~'=д —. ' е В гВ' 2. Высота ребра бензинового объема у Н 2Н 4й=Н, — = — -+ /=д —. ' д В~г в ' 1.7.

Смотровой люк, устроенный в боковой стенке бака, перекрывается полусферической крышкой радиусом г = 0,3 м. Определить отрывающие и срезающие силы, воспринимаемые болтами, если уровень свободной поверхности бензина находится на высоте Н = 2,0 м, а манометрическое давление паров бензина в баке р, = 0,0042 МПа. Плотность бензина рв = 700 кг1м'.

Построить зпюру давления, действующего на стенку бака. К задаче 1.7 Решение. Определим положение пьезометрической поверхности (ПП). Высоту Ь„столба газа пьезометра находим из выражения р, = р„ВЬ„, т. е. Ь„= р„/р,я. На крышку действует отрывающая горизонтальная сила Р РвЫ зм В р = рвЫ (и, " Н) кг, где е р, Ям —. положение и площадь вертикальной проекции крышки. 62 Гл. 1. Гидростатика Вертикальная сила Р„определятся построением тел давления.

На нижнюю часть полусферы действует направленная вниз сила тяжести 2 3 тела давления объемом — ягз (~ + Н) + — — кгз,на верхнюю — сила тяже- 2 43 1 з 14 сти тела давления объемом — яг (Ь„-~Н) — — — яг, направленная вверх. 2 " 43 В итоге на крышку действует сила тяжести жидкости, заключенной в 1 4 объеме полусферы, которая направлена вниз: Р = рея — — ягз.