Байбородин Ю.В. Основы лазерной техники (1988), страница 11

Набор собственных значений образует спектр. Если собственное значение физической величины Е„отождествить с уровнем энергии Е„, то этот набор собственных значений будет энергетическим спектром. Если одному уровню (собственному значению Е„) соответствует одна собственная волновая функция (состояние) Ч'„, говорят о невырожденном уровне энергии. Если же одному уровню Е„ соответствует д, волновых функций Ч"„Ч'ю ..., Ч'ь то говорят о вырожденном уровне с кратностью вырождения д. В квантовой теории нельзя указать точное значение физической величины, если квантовая система находится в собственном состоянии.

Можно указать лишь вероятность, с которой эта физическая величина может принимать то илн иное значение. Зная эту вероятность, можно найти среднее значение физической величины, которое называется средним значением оператора О, соответствующим этой физической величине, Обозначается среднее значение оператора (О) или О. Общий случай вращения квантовой частицы вокруг фиксированной оси. В этом случае уравнение Шредингера имеет вид (26! Ету(,„) с д~Ч" (сс) (2.18) гг ~Эх' где а — угол поворота частицы вокруг фиксированной оси; 7а— момент инерции. Решением(2.18) является Ч" (а) е г~"г«ег" .Следовательно,энергия вращательного движения частицы определяется квантованными собственными значениями Е„= й»п»7(27„) для О, 1, 2, ..., и, а нормиро- 44 ванные функции состояния 1 Ч' (а) = =е-' л У2э Например, если состояние системы Ч' (х) совпадает с собственным состоянием Ч'„, то среднее значение оператора совпадает с его собственным значением Е„, так как среднее значение оператора согласно (2.7) (О) = ~ Ч'"(х)ОЧ" (х)дх.

Точное решение уравнения Шредингера, как отмечено выше, может быть получено лишь для простейших функций. Уже при определении спектра атома гелия прихо- Пкс, 2.!. К рассмотрению туннель- ного эффекта дится прибегать к приближенным методам. Еще сложнее определить энергетические уровни атома, находящиеся во внешнем электромагнитном поле !5, 29!. В этом случае решения уравнения Шредингера находят приближенным методом, получившим название метода малых возмущений. Другим, часто используемым на практике методом является метод диагонализации матрицы возмущенного оператора [6, 17, 26, 29!.

Туннельный эффект. Это — фундаментальное явление проникновения квантовых частиц через потенциальный барьер. Допустим, что на координате х имеется потенциальный барьер — узкая область шириной а, внутри которой потенциальная энергия равна У„а вне ее— нулю (рис. 2.1). Частица, имеющая полную энергию Е = р»7(2огс) + -1- У„меньшую потенциальной (Е У,), движется слева направо. По законам классической механики частица не сможет преодолеть потенциальный барьер и в конечном счете должна отразиться от него. Квантовая теория дает иной результат: волновая функция частицы не затухает внутри барьера и не равна нулю в области а и за барьером.

Если обратиться к уравнению Шредингера (см. п. 2.!) н определить ре- — ггУ» ис,— вгм шение его (2.17), то волновая функция Ч' (х) Ч",е Существует некоторая вероятность обнаружения квантовой частицы на координате х, пропорциональная квадрату модуля волновой функции ! Ч' (х) !э. Следовательно, отношение вероятности нахождения частицы за барьером ! Ч' (а) !' в точке х = а к вероятности обнаружения ее перед барьером ! Ч' (0) !' в точке х = 0 является «коэффициентом проникновения» частицы через потенциальный барьер: й (х) = ! Чг (а) )э)! Чг (0) !» е — аагьг)г эт~ггэ — ю В этом равенстве квант действия Ь вЂ” величина, много меньшая ) г2т,(У, — Е), находится в знаменателе экспоненты; поэтому коэффициент проникновения й (х) для классической частицы большой массы очень мал.

Следовательно, чем меньше масса частицы, тем больше вероятность туннельного эффекта. Например, для высоты барьера 2 эВ и ширины его а = 10 э см вероятность прохождения электрона с 45 энергией 1 эВ сквозь барьер равна 0,78 Я, для протона о энергией 1 э — всего лишь 3,6 . !О ". Возможность проникновения частицы в «классически» запрещенную зону объясняет многие физические процессы, необъяснимые с точки зрения классической механики. К ним прежде всего следует отнести туннельные явления в полупроводниковых диодах, ионизацию атомов в сильном электрическом поле, явление а-распада и т.

д. 2А. Кинетические уравнения квантовой системы Квантовые переходы между энергетическими состояниями в первом приближении рассмотренной теории возмущений могут описываться кинел«пиесками уравнениями. Эти уравнения иногда называют также скорссаиыми уравнениями нли уравнениями баланса. Метод кинетических уравнений применим для решения целого ряда физических задач микромира. Назовем основные из этих задач: накачка вещества в стационарном режиме; определение типов колебаний лазерного излучения вдоль продольной оги резонатора аксиальных мод; определение порогового значения мощности накачки; вычисление ширины линии излучения; получение условий, определяющих генерацию лазеров, динамику генерации гигантского импульса, устойчивость стационарного режима и др.

Накачка — физический процесс перевода квантовых частиц на возбужденные знергетические уровни под воздействием света, тока, хнмическпх реакций и т. д. В результате действия накачки образуется инверсии населенностей квантовых уровней н вещество, поглощая зиергищ накачки, становится активной лазерной средой.

Кинетические уравнения описывают изменение во времени средних значений количества фотонов и населенности энергетических уровней. В каждом конкретном случае кинетические уравнения составляются с учетом элементарных рассуждений о вероятностях переходов. Тем не менее существует ряд соображений общего характера. Поясним их вкратце. Элементарные процессы, приводящие к образованию инверсии на рабочих уровнях, связаны с квантовыми переходами между энергетическими уровнями. При анализе условий получения инверсии населенности Рассматриваются только начальные и конечные состояния основных квантовых переходов.

В зависимости от количества таких состояний говорят о двух-, трех- или четырехуровневой схеме возмущений рабочих состояний. Следует иметь в виду, что каждая из указанных схем является разумным упрощением, позволяющим учитывать только основные явления. Приведем упрощающие допущения.

Излучение накачки взаимодействует только с одним переходом. Это условие выполняется либо подбором спектрального состава излучения накачки и уровней поглощения активной среды, либо выбором конкретной группы уровней, у которых вероятность перехода нз основного состояния в верхние возбужденные значительно превышает вероятности всех других квантовых переходов. Состояния квантовой системы представлены идеализированными бесконечно тонкими невы- рожденными уровнями энергии, кратность вырождения которых а1 = = 1.

46 д 7»л а рнс 2 о., Схема знергетнческих состояп„й двухуровневой квантовой системы (а) н зависимость населенностей ура»ней д111'1««и Н«МУ1 от плотно«О« излучения накачки р „(б) Изменение населенностей Урова1» Й« (а ней обусловлено следующими кван- ге 4 товыми механизмами спонтанными Р пе еходами на е- ч, йб у Р рехода А„; Ч:1 л» безызлучательными переходами ЯФ~ п„о е бразующими энергию кванто- 61 ве оных переходов в тепловУю с в Р ятностью перехода 5, вынужденным излучением (поглощением) с вероятностью перехо.

да р«В„ . Вначале рассмотрим простей- ет уровень Š— основое с — збужденное состояние. При сов- ., а, где активная среда имеет у стояние и уров н е ь Š— возможное воз ужд йвной среды порцией электро- икают т и квантовых процесса, связанные с ения, т. е. Облучения акт магнитной энергии, возникают три ква и из одного состояния в д переходами микрочастиц а тотном диапазоне,соотениеизл чения накачки в част Ч ф ов участвующих в этом ветствующем данному переходу. = В ту, где „„„— спектральная л процессе, р,„= б " и оцесс вынужденного из- ы, возникает о ратныи р лучения, числ о тонов которого р, „,.

а з-за аспада второго возбужденного энергетил А то число фотонов ли ве оятность этого распада АЛтДср ва фотонов участвующих во все нерации ии составим баланс количества тонов, указанных выше процессах: р В1»7171 = (Р,Вз1+ А,„) 1»з. ы находятся тОлькО в Одном из В е ливо условие Лт = Ф + оп шено, что частицы двух рассматриваемых сос ых состояний, то справед — об ее число квантовых частиц в д в е инице объема ак- р ре ы).

Решив систему двух тивно с й реды (населенность активной сред овней: уравнени , п й, получим населенности этих двух ур 21 Рч М ж ения, т. е. при нулевой спектральной плот- О) Е ( ис 2 2 б) С увеличением спектральной изл чения накачки (р,„=, все час энергетическом уровне Е, (рис, .