Байбородин Ю.В. Основы лазерной техники (1988), страница 13

Волна, которую можно описать простой периодической функцией вр в емени, называется монохромитичвской. Проекции напряженности векторов электрического Е и магнитного Й полей этой волны на оси любой системы координат в этом случае изменяются во времени по гармоническому закону соз (в( + <р). Величину в называют круговой (циклической) частотой волнового процесса, <р — начальной его фазой. Заметим, что такая форма зависимости имеет наибольшее практическое применение, особенно в квантовых приборах.

Результаты изучения подобных полей применимы и к более сложным случаям, ибо, как известно, любую периодическую функцию времени всегда можно разложить в ряд Фурье, каждый член которого является косинусоидальной функцией времени. Ограничимся в дальнейшем рассмотрением моцохроматических волн с плоским фронтом, для которых в произвольный момент времени во всех точках любой плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, векторы электрического или магнитного поля имеют одинаковое значение.

При анализе волны векторы Е и Н имеют эквивалентное значение, однако при математическом описании излучения вектору Е отдают предпочтение, полагая, что все операции с вектором Й будут аналогичными. Тогда форма записи квазимонохроматической плоской волны, распространяющейся, например, в ортогональной системе координат хуг в положительном направлении вдоль оси г, в проекциях на оси координат будет иметь вид Е„= Е(х, О, г, () = Ео,соз [вг — йг+ ер,,!; Е„= Е (О, у, г, ~) = Еоо соз [в[ — йг+ ери), где Еои Еои — амплитуды составляющих поля Для монохроматического излучения величины Ео„, Еои — постоянны и не зависят от времени. Иногда вместо тригонометрической функции соз в1 поле удобно выразить через показательные функции, так как созв| = (еил +е ни)!2.

Тогда, учитывая временную и пространственную структуру квазимонохроматического излучения, вектор напряженности электрического поля такой волны удобнее всего записать в виде вещественной части комплексного выражения ' Е = Ке[Еое м" ™') где Š— некоторый постоянный комплексный вектор. Очевидно, что о и напряженность магнитного поля Й имеет аналогичный вид с той же ' Сил Л и и д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е, М. Теория поля.— М., 1960.— 328 е, 63 частотой ю.

Величина Х = 2ггс/оз называется длиной волны; она характеризует период изменения поля Е вдоль координаты г в заданный момент времени й Величину 2пп/л = юп/с = й называют волновым веклюром, я модуль вектора ] й ] = 2п/)с — волновым числом (и — единичный вектор в направлении распространения волны). С помощью й можно записать квазимонохроматическую плоскую волну в виде Е (г, 1) =- ме (Еое/нм "и]. Величину /оз/ и показателе экспоненты называют комплексной фазой волны; г является радиусом-вектором и принятой для рассмотрения системе координат.

Как известно, преобразование периодических функций значительно упрощается, если применять комплексные величины. Непосредстиенное физическое значение имеет, конечно, лишь вещественная часть этих комплексных выражений. Можно, однако, воспользоваться тем обстоятельством, что вещественная часть результатов, получаемых при выполнении линейных операций (дифференцироиание, го1, г]]у и т. д.) над комплексными выражениями, совпадает с результатами выполнения этих же операций над одними лишь вещественными частями исходных зависимостей. Поэтому переход к вещественной части комплексных величин может быть совершен как до, так и после выполнения этих операций (4].

Лишь при нелинейных операциях (например, умножении) необходимо переходить к вещественным частям комплексных выражений до выполнения над ними этих операций, ибо вещественная часть произведения комплексных величин не равна произведению их вещественных частей. Обычно на практике приходится иметь дело с киазимонохроматическими волнами, содержащими частоты з некотором малом интервале Аго (( оз. Учитывая это, квазимонохроматическое излучение, имеющее среднюю круговую частоту го = 2пт, представляем математически зектором напряженности электрического поля в виде Е (г, /) = Ео (/) е" ~ "о], где комплексная амплитуда Е, (/) является некоторой медленно меняющейся функцией периода времени 1 = 1/Аго )) т = 1/оз.

Поэтому зо временнбм интервале порядка т напряженность электрического поля Е, (/) можно считать практически неизменной величиной. Так как а = сопз1, то множитель е — /"', общий для всех точек пространства (х, у, г — ь г), можно выделить и записать эту формулу в аиде Е(г, 1) =Ео(г,1)е ~ м где Е, (г, /) = Е, (Г) е/о' — комплексная амплитуда электромагнитного поля, или так называемый оптический сигнал, представляющий собой огибающую квазимонохроматических колебаний. Е (г, 1) = Е (г, 1) е В о щем случае, у б читывая поляризацию излучения, можно пред- поля на оси ставить еще одну запись излучения через компоненты пол х и у в виде матрицы-столбца Е„(х, О,з,/) Е (О у,г,/) или дл и для поля, линейно-поляризоваиного, например, а плоскости хг, — /яг Е(х, О, г, 1) = Е, (х, О, го 1) е В дальнейшем в зависимости от постановки задачи будем испольматематические представления киазимонохроматизовать различные матем ~ ческого излучения: тригонометрическое, показательно и и ное.

й й Матрица когерентнестм Обычно вопрос о наличии когерентности излучения решается при раси фаз волнового электромагнитного поля. Поэто- смотрении амплитуд и ч з в ют с гим,„ ндаменятие когерентности очень тесно связывают с другим унд му понятие к — н пей — сложением вол- тальным явлением излучения — интгрференц новых полеи со взаимным ы усилением либо со взаимным осла лением в зависимости от координат пространства и времени. Классический эксперимент Т. Юнга (1773 †18) интерференции от " ( . 3.1) ает представление о когерентности излучеть, то наличие ния. Если оба источника имеют одинаковую яркость, то н фе ен ионных полос можно считать признаком хоро|пей коет полной некоге- герентности, тогда как отсутствие полос соответстиу рентности. тметим, . О ., что стационарность интерференционной картиния.

ны с высоким контрас том также определяет когерентность излуче С достаточной степенью приближения можно считать, что г а п онсходиг согласокогерентность ест ь есть свойство электромагнитных полей, ко д р е во смени н пространстве нескольких волновых процессе . К в. ачесгво коге- рентностн оценивается по на юдаемо в бл й в вкспернмснте интерференционной картине. В этом определении качественная сторона ясна и понятна, но иот п и оценке количественных характеристик возникают определенные т дности. Амплитуду и фазу по интерференционной картине непосределить нельзя.

Любой приемник излучения дает отклик величин п„о- только на интенсивность — суммарную или среднюю у, порциональную квадрату амплитуды волны. у . Поэтом изме, яемой хан Т рактеристико к й огерентности за период времени наблюдения является ее интенсивность ' /„,„ж (ЕЕ*> (зл) т , Е оп/= — се ЕЕ" определяется о как усредненная во времени плознасть энергии эле три , 221. а к в нниц в смени [!6 элекг ического поля излучения, пе- ресекающая перпендикулярно единичную площ д у ед у р 66 0(Фа(ррагнм) Р ис. 3.1.

Схема классического эксперимента 10нга для наблюдения интерференционной картины (и) и интерференция электронов (б): А — источник; РЬЗ вЂ” положение днвфрнгм~ с1 З вЂ” положение точки нв экране; 1 влект ровнвн пушко; б — счетчик; б — рвспрвдслснне вероятности обнаружение электронов, когдв открыта днвфрвгмн г; б — открыта толысо днвфрвгмв г; à — распределение вероятности обнвружвннв клсктронов прн открытык днвфрвгмвк т в г; г экран или ) Е 1з = с(7ввм!Ж, где) Е 1в — квадрат модуля напряженности электрического поля: ~ Е 1з = ) ЕЕ*(; Е' — комплексно-сопряженный модуль вектора Е; е — диэлектрическая проницаемость. Допустим, что два пучка излучения, выйдя из указанных выше щелей, пересекаются в заданном объеме пространства.

Тогда, учитывая принцип суперпозиции, результирующее поле Е (х, у) равно сумме волновых полей в каждом из пучков: Е (х, у) = Е, (х, у) -1- Е, (х, у), (3.2) где Е, (х, у) и Е, (х, у) — векторы напряженности электрического поля. Поскольку поле есть функция координат пространства и времени, принято различать пространственную и временную когерентность. Эти различные аспекты одного физического явления можно сформулировать следующим образом. П ространственнал ногсре тность в заданный момент времени связама с корреляцией между фазами волн электромагнитного поля е различных точках пространства.

Временнил ногсрвнтсспсть характеризует корреляцию между фазами электромагнитного поля в заданной тачке пространства в разные моменты времени. Вначале рассмотрим естественное, неполяризоваиное поле, для которого, как известно, пространственное положение вектора напряженности электрического поля неопределенно. Это означает, что все возможные направления вектора Е в плоскости хау, ортогональной к направлению распространения излучения по оси г, равновероятны.

Можно представить себе, что при весьма продолжительном наблюдении (Т„)) 1/юо) проекции вектора Е на оси х и у ортогональной системы координат хуг окажутся положительными и отрицательными почти рав. ное количество раз. Следовательно, при усреднении за промежуток времени Тн можно ожидать, что усредненные значения проекций на соответствующие оси будут равны нулю: т г (Ек) ) Екй( = О; (Е„) ~ Еэг(1 = О. (3.3) о о Угловые скобки ( ) означают усреднение во времени.

Можно также ожидать, что средние значения х- и у-й составляющих интенсивности будут равны между собой: <Е,Е„') = (Е,Ек), (3.4) где Šń— комплексно-сопряженные составляющие вектора напряк~ женности электрического поля Е. Так как составляющие Е, и Ер некоррелировааы между собой ((Е,> = <Е„) = О), то усредненные во времени произведения перекрестных составляющих также равны нулю, т. е. <Е,Е„'> =- (Е„Е,'> = О. (3.5) ЕСЛИ ВЫЧИСЛИТЬ ПОЛНУЮ ИНтЕНСИВНОСтЬ 1полн НЕПОЛЯРИЗОВЗННОГО излучения через составляющие Е, и Е„: 7п н = <ЕкЕ„') + (ЕрЕ„') + <Е,Ер) + <ЕрЕк>, (3.6) то ее, учитывая условие (3.3)...(3,5), удобно также представить в матричном виде: тп л о 1<ЕкЕк) + (ЕрЕр>) .

(3.7) 1 О В (3,7) квадратная диагональная матрица типа называется митрицей когерентноети. Она математически описывает полностью неполяризованное поле излучения, например естественный свет. П и е ем пример сравнения интенсивностей когереитного и некоривед м герентного излучений. П имер. На поверхность падают и некогерентных лучей со случайными фазами, 1нског и/. На т но одинаковой интенсивности, суммарная ивтенсивность которых з — †. у же паверхн е хнасть падают и когерентных лучей с одинаковыми фазами. Суммарная ивг л к тенсивнссть пучка в игом слу вго случае 1"о' = ~~ укТ пвц Таким образом, получается, что наи ольшая сумм б арпая интенсивность когерентвого излучения превосходит интенсивность некогерентиого излучения в и раз.