Байбородин Ю.В. Основы лазерной техники (1988), страница 10

* Спин — собственный момент количестве движения квантовой частицы. ** Релятивистские зффекты наблюдаются прн скоростях квантовых частиц, близких к скорости света. ""« Пространством Гав»берта называют полное бесконечномерное векторное прастрзнствоп, для которого можно определить бинарную операцию, стзвящую каждой паре действительных либо комплексных векторов Ч', и из и в соответствие скзляр (Ч' ! и), т.

е, скзлярнае произведение пары векторов Ч', и. 38 4 Векторы (тп) и )т ) ортонормнровены ! О, пап«; <т.1Ч.>=б, ( ' б. Имеет место линейное соответствие векторов (Ч') и 1 и) и любому линейному оператору А. Если кет-вектору / Ч') соответствует некоторый кет-вектор ! и), то считяется, что вектор 1 и) образуется в результате действия ие 1Ч') некоторого линейного оператора А: 1и) А ! Ч'). Кроме зтого соответствия между линейным кет-вектором Дирзкв и оператором А представления Шредингера, з также зависимостей (2.9) и (2.!О), в матричной формулировке квантовой теории каждый линейный оператор А может быть зздзн метрицей, причем злемент матрицы, соответствующий оператору А, определяется кзк А = ( т~А)т»ее = <т~ А! ч">. В предстввленни Дирзке уравнение Шредингера имеет вид Й)т) = 1йд(ч')гдс Границы применимости квантовой теории пока неизвестны.

Эта теория самая общая и всеобъемлющая из всех существующих физических теорий, ее применяют при изучении микромира и космоса. 2.2. Принципы неопределенности, соответствия, суперпозиции В классической механике при изучении движения частицы по траектории предполагается, что в каждый данный момент времени у частицы сущее в твуют определенная координата и определенный импульс двив . Часжения. Однако для микрочастиц это положение несправедливо. астице и импульсом р соответствует длина волны й, определяемая из соотношения, уатановленного Л. де Бройлем (1892 г.): р = йк = Л х х 2п)й.

Поскольку длину волны невозможно определить для интервала пространства, равного точке, координата и импульс не могут одновременно иметь точных значений. Невозможность точного определения координаты электрона в атоме аналогична «размазыванию его по объему атома». гней Е Подобная неопределенность сущеетвует также между энергие и временем й в каждый данный момент времени энергия частицы не определена точно из-за того, что в фиксированный момент времени нельзя определить частоту ~, а следовательно, и энергию, связанную с частотой соотношением Е=йю=2пйж П ф ироваином х или1нельзя судить о значении импульса или ри фикс р ы апоэне гни соответственно не потому, что эти величины неизвестнь, тому, что эти понятия лишены смысла так же, как «длина волны в точке» или «частота в определенный момент времени», так как для опре- 39 деления длины волны требуется некоторая область пространства, а для определения частоты — некоторый интервал времени.

Принцип неопределенности в 1927 г. сформулировал В. Рейзен- берг так: сопряженные язмеряемые величавы й ->. й р -ь х, ф-ь и н т. д. систем о ф-ь и н т. д. квантовых одновременно могут быть определены до значенйя постоянной П р р р л ) й, ао бт ) а. Иными словами, существуют сояряженные пары ланка > физических измеряемых величин, характеризующих состояние квантовых частиц, которые не могут быть точно измерены одновременно.

Рассмотрим в общем виде возможность одновременного определения точного значения каких-либо двух физических величин А и В. В квантовой теории, как мы видели, им соответствуют операторы А и В. П АиВ. редположим, что нас интересуют значения физических величин Для одновременного точного определения двух физических величин АиВ и требуется, чтобы их операторы А и В имели общую собственную функцию. Это возможно, когда операторы А и В являются коммутирующими, т. е. АВ = ВА. В квантовой теории состояние ансамбля частиц задается спектром собственных значений коммутирующих операторов. Если операторы ие являются коммутирующими, то соответствующие им физические величины ие могут одновременно иметь точных значений; поэтому ЛхЛр, в Л. Аналогично этому величины ! и Е связаны соотношением Л>ЛЕ ) Ь.

Соотношение неопределенностей показывает, что координата и импульс не могут быть одновременно точно измерены: так, при уменьшении разброса в значении координаты (Лх-ь О) возрастает разброс значения импульса (Лр„-ь оо) и наоборот. Сравним проявление этого соотношения в микро- и макромире. П яме.Оп Р и Ревелям погРешиос>ь в определении скорости злектрона н макротел . Положение электрона в атоме невозможно определить точно.

Примем в качестве м е[>ы разброса его координаты радиус атома, равный !О 4о м. Пользуясь соотношением ие определенностей, найдем неопределенность в скорости. Так как Ьд = тдо, то !о — 34 бо) — = ', >и [О> мус, О,О !О зо 4О что является значительной величиной. рассмотрим теперь шарик массой ! г, положение которого определено с погрешью м. огда минимальная погрешность в определении скорости !о — 34 до ) — = ' =!О м!с. тах !о з ю е Это чрезвычайно маленькая величина, т, е.

можно считать, ч а = О, Т б то о=, аким о ра. чески не ь о, д я тел макроскопических размеров соотношение неопр й еделениосте практирочзстиц. н имеет никакого значения. Однако оио чрезвычайно важно и важно при изучении мнк- Выясним соотношение неопределенностей для времени и энергии. Учтем тем, что в эксперименте исследуется не полная энергия какого- 40 либо состояния, а разность энергий при переходе частицы из одного состояния в другое.

Поэтому надо рассматривать неопределенность в получении разности энергии двух состояний: Л (ń— Е„). Под Лг т понимают время жизни атома в возбужденном состоянии. Таким образом, тЛ (ń— Е ) ) 6. Разбрпсу разности энергии соответствует разброс в частоте Лш = Л (ń— Е )>й, который можно принять аа ширину спектральной линии излучения. Используя выражение Лш, получаем, что тЛш ) 1. Следовательно, чем больше ширина спектральной линии, тем меньше время жизни частицы в возбужденном состоянии. Учитывая полученное соотношение, можно сказать, что чем дольше время измерения, тем точнее может быть измерена энергия. Рассмотрим соотношение неопределенностей, связывающее число фотонов и фазу.

Неопределенность энергии можно представить как произведение энергии одного фотона на неопределенность числа фотонов Лпб. Тогда ЬшЛУЛпа ) й72. Но шЛ> =- ЛЧ> — это неопределенность фазы. Следовательно, ЛфЛпа ) 0,5, т. е. чем больше неопределенность в числе фотонов, тем точнее можно измерить фазу. Принцип неопределенности, записанный в виде ЛоЛх ) Ыгп, при гп- оо показывает, что чем больше масса частицы, тем с большей точностью некоторые понятия квантовой теории соответствуют понятиям классической механики.

Действительно, если масса частицы бесконечна (лг -ь во), то отношение 14!т — О, т. е. координата и скорость частицы могут быть определены точно. В этом заключается принцип соотеегпелшия, сформулированный в 1923 г. Н. Бором: при разработке теории необходимо руководствоваться тем соображением, что когда квантовые числа системы принимают все большие и большие значения, характеристики испускаемого излучения должны асимптотически стремиться к значению, определяемому классическими законамн.

Иными словами, законы новой теории должны соответствовать законам классической физики, когда квантовая дискретность стремится к нулю, т. е. когда квант действия при переходе к пределу 1[ш дат -ь 0 мал. Основная трудность, с которой сталкивается классическая теория в микромире, состоит в дискретности и разрывности физических величин. Установлено [!7[, что классическая теория макроскопически корректна, т.

е. оиа правильно описывает физические явления в предельном случае, когда квантовая дискретность считается пренебрежимо малой. Это утверждение можно сформулировать более кратко: аснмптотнчески в пределе больших квантовых чисел результаты ивантовой и классической теории должны совпадать. Третьим фундаментальным принципом квантовой теории, который узаконивает обоснованность применения линейных операторов и матричного математического аппарата, является принцип суперпозиг[ии.

В общем виде он формулируется следующим образом: если на консервативную систему действуют одновременно несколько возмущающих воздействий, то реакция системы на их совместный эффект эквивалентна сумме эффектов, вызываемых каждым из возмущающих воздействий в отдельности. Например, это утверждение с полным основанием можно б! данная физическая величина — энергия — принимает значение Е .

Вол олновую функцию, теперь уже функцию состояния, согласно (2.6)' л можно разложить по собственным функциям Ч'„: Чг (х) = а«чг1 + а,чг, + ° + а„чг„, где коэффициенты разложен ия определяются зависимостью а„= ) Чг„'Чг„с(х. Так ак как собственные функции ортонормированы, то сумма квадратов модулей коэффициентов разложения равна единице, т. е. )а !»+! .!»+ " +! !»=1 В квантовой теории величине ! а„!' придают смысл вероятности существования состояния Ч'„.

Таким образом, чистое состояние Чг (х) конструируется из собственных состояний Ч"„Ч'„Ч'„..., Ч'„, причем вероятность существования состояния Ч', равна ! а,!', вероятность существования состояния Ч', равна ! сц !' и т. д. Так как каждой функции Ч"„соответствует собственное значение Е„, то квадрат модуля коэффициента )а„!» равен вероятности того, что данная физическая величина принимает конкретное значение Е„. И так, если система находится в состоянии Чг„, то данная физическая величина (в нашем случае энергия Е„) может принимать дискретные собственные значения Е„Е„Е„..., Е„соответственное вероятностями ! а«!~ ! аэ!~ ! аэ !» " ! а„!'.