Байбородин Ю.В. Основы лазерной техники (1988) (1151949), страница 9
Текст из файла (страница 9)
е. ОАМ АО; венные значения Х„из уравнения ОЧ'„= Х„Ч'„, в котором Π— оператор, соответствующий интересующей физической величине, Ч'„— функция состояния. Этот постулат задает способ составления уравнений квантовой механики и решения наиболее важной задачи — определения возможных значений физической величины. Чтобы определить, какие значения может принимать данная физическая величина, необходимо составить для нее уравнение классической механики, заменить входящие в это уравнение величины соответствующими операторами и, учитывая принцип суперпозиции, найти собственные значения полученного оператора [171. 5. Квадрат модуля функции состояния [ Ч'(у)!' = Ч" (Ч) Ч'(а) есть плотность вероятности того, что частица находится в элементарном объеме на обобщенной координате д. Вероятность нахождения частицы в интервале (от ( ов) Р (от ~ «О < Оэ) = ) [ Ч" 1в е(О, Так как вероятность того, что частица находится на координате о, есть достоверное событие, то Р (о) = ~ [ Ч (а) !' АО = 1.
(2.8) 33 Отсюда вытекает необходимость нормированчя функции состоячия по отношению к единице. Поведение даже одной квантовой частицы в квантовой механике носит вероятностный характер, тогда как в классической механике оно не описывается вероятностным математическим аппаратом. Почти одновременно и независимо от Э. Шредингера немецкий физик В. Гейзенберг разработал другой метод решения уравнений состояния и математический аппарат квантовой механики.
Вместо линейных операторов он предложил оператор-матрицу, что для количественных расчетов и описания физических процессов явилось более удобным математическим представлением, Элементы матрицы эквивалентно определяют возможные состояния и вероятности квантовых переходов. Матричный метод анализа формализует поставленную задачу в компактной форме и с помощью достаточно простых алгебраических вычислений позволяет получить практически важные численные результаты.
Заметим, что матрицы как удобную форму записи систем линейных уравнений впервые в 1857 г. ввел английский математик А. Кэпи [101. Оказалось, что аналогично вырожденным и невырожденным энергетическим уровням квадратные матрицы могут быть также вырожденными и невырожденными. Вырожденной матрицей является та, определитель которой равен нулю, у невырожденной матрицы определитель отличен от нуля, Самое благоприятное заключается в том, что собственные значения оператора- матрицы являются диагональными элементами е(т„т(вз, т(зэ, ..., е( диагональной матрицы Р.
Поэтому вся операция вычисления собственных значений оператора сводится к диагонализации исходной матрицы, т. е. несложному вычислению матрицы вида 0 0 Р= 0 г( 0 0 0 Действительно, любой линейный оператор множества собствен- ных функций, пользуясь (2.б), можно привести к системе линейных равнений 1(ч) )!11чг+ )1ячг + ... ) )!, 1р . ч' (О) = л„ч, + ) „ч, + ... ч".(О)=л„,ч,+),„,ч,+ ... + ' ',' ' л где )ь!а = сопя(, т. е. любой 'у,( ) а! ! По-видимому, линейный оператор О, соответствующий уравнению ОЧ1 =1 Ч" и им „вЂ” 1 Ч"л и имеющий линейную комбинацию суммы произведений КОЭффИцИЕНта СОбСтВЕННЫХ ЗНаЧЕНИй )Ч1Х11 ...
ХЫ ... ).лл На СОбСтвенную функцию, можно представить в виде квадратной (и х и) матрицы: (2.9) )1л! )'лз ° ° ллл Для матричных элементов также применима запись Х „= (т') л ) и), где т — номер строки, и — номер столбца в матрице (2.9). Так же, как и линейные операторы, матрицы могут быть эрмитовы, образовывать собственные векторы, вырождение собственных з ний и т. д.
значе- Матрица, эрмитово сопряженная данной матрице О, обозначается символом О+ и образуется путем последовательного применения к исжения. Т ходной матрице О операций транспонирования н комплексного с ния. Транспонирование матрицы есть замена ее столбцов строками или наоборот, Например, Ч'„ является матрицей, эрмитово сопряженной матрице Ч' = ) Ч"ь Ч'1, ... ..., Чг,!. М атричный аппарат имеет еще одно неоценимое достоинство. Матрицы достаточно проото позволяют получить алгоритмы для вычисли- Зб тельных машин дискретного действия. Применение ЭВМ позволило определить возможные состояния энергетических уровней сложнейших квантовых систем, траектории движения частиц в электромагнитных полях и установить другие физические явления микромира. Волее строгое отличие двух математических представлений квантовой теории заключается в следующем.
При описании изменения состояний квантовых систем с помощью уравнений Шредингера предполагается, что операторы физических величин явно от времени не зависят, а вся зависимоать от времени содержится в функции состоянии или матрице плотности. В представлении Гейзенберга зависимость от времени заключена не в функции состояния или в матрице плотности, а в операторах физических величин.
Эти два представления эквивалентны (б, ) 7). Прнмер. Определить собственные значения оператора Ф = 5+5 прн условии, что 55+ + 5+5 = 1 и 55 = О. Если известна функция состояния Ч', то собственные значения физической величины определяются из уравнения 5+5Ч! = длр, где й! — искомые собственные значения. Умножив зто уравнение слева на оператор 5+5, получим 5+55+5Ч' !У5+5Ч'. Но 5+5Ч! = й!!Р, следовательно, 5+55+5Чг = 1У1Ч'. По закону ассоциативности группируем зто операторное уравнение так: 5+ (55+) 5Ч" 1У1Ч'. Из начального условия следует: (55+) = 1 — 5+5, так что 5+ (1 — 5+5) 5Чг 1УеЧ!. Произведя умножение, получим 5+15Ч! — 5+5+55Ч' Ф~!Р.
Поскольку 55 = О, а 1 — единичный оператор, 15-ь 5 и 5+5Ч' й!1Ч!. Отсюда, используя 5+5Чг = й!!Р, находим, что Дну = 1л'1Чг, т. е. й! — й!е. Последнее может быть выполнено в двух случаях: прн !У = О и л! = 1. В соответствии с принципом Паули зта ситуация соотвегствуег состоянию фермионоч при заполнении имн знергегических уровней. Следовательно, для двумерного внергетнческого пространства матрица состояния имеет вид (О 1) пйи ~ „ (О О) Матрицы 5 и 5+ принято называть матрицами Паули.
Правильность решения можно проверить: )=( )( ), т. е. Ф 5+5. Затем в конце 20-х годов нашего столетия английский физик П. Дирак, создавая свой вариант квантовой теории, ввел понятие и интегральное преобразование дельта-функ!(ии б (х), что многим теоретикам показалось абсолютно несовместимым а принципами классической математики. По представлению П. Дирака, дельта-функция б (х) является симметричной единичной импульсной функцией действительной переменной х. б (х) определяется условием ь 0 при хе ~ 0 или хе ) Ь ~)(р)б(р — х,)г($= О,б)(х,) при х, л а= Ь (п(Ь)1 )(хе) при а<хе< Ь 37 где ~ (х) — произвольная функция, непрерывная в окрестности точки хе' Из определения дельта-функции следуют несовместные условия Ю б(х) =*О при х~О; ~ 8$)п$ = 1.
6 (х) является обобщенной функцией, позволяющей формально представить функциональное преобразование 1($) » 1 (х) в виде интегрального преобразования. Тем не менее классическая математика того времени игнорировала дискретное строение материи, объясняемое законами квантовой механики и фундаментальными открытиями экспериментальной физики. Все это вызывало методические трудности как в математике, так и в физике, пока теоретики не развили новый математический аппарат— теорию обобщенных функций Эта теория дает единообразную запись дискретного и непрерывного и широко использует операционное исчисление, в котором сложные интегродифференциальные уравнения, описывающие физические явления, преобразукпся в систему алгебраических уравнений, удобных для решения и аналитического конструирования. В 1928 г.
П. Дирак выдвинул оригинальную теорию фундаментального физического значения. Одно из ее главных достоинств заключалось в том, что она гармонически сочетала кванты, теорию относительности и спины*. П. Дирак создал векторную модель многоэлектронных атомов и разработал основы релятивистской" квантовой механики. Для изложения своих идей П. Дирак ввел необычный для того времени математический аппарат — линейную векторную алгебру. Вектор состояния Ч' он обозначил символом ~ Ч') и назвал его кетвектором. Существует единственное однозначное соответствие между каждым кет-вектором ) Ч'> и другим вектором (Чг ), названным бра-вектором. Основные свойства представления П.
Днрзкл: !. Векторы 1Ч') и (Ч'1 в ззвисимасти от конкретной ситуации могут принимать любые дискретные нли непрерывные значения. 2. Произведение любых бре. (Ч' ~ и кет-(т) векторов является скалярным произ. ведением и равно интегралу от произведения комплексно-сопряженных функдий со. стояния, предстзвленных в пространстве Гильбертз *": (Ч' ! Ч'в> = ~ Ч'Ч'" !Ч <2.!О) 3. Произведению векторов (т/ Ч) присущи свойства скалярного произведения! <'р„)т > = <т 1 т'„''; <ч ~ т> > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
