Байбородин Ю.В. Основы лазерной техники (1988) (1151949), страница 8
Текст из файла (страница 8)
п. В квантовой теории предполагается, что информация об этих числах, т. е. о поведении физической системы, содержится в функции Ч'. Задача состоит в том, чтобы извлечь требуемую информацию нз функции состояния Ч'. Считается, что функция состояния зависит от координат частиц, составляющих систему, а также от времени.
Для одной частицы Чс = Ч' (х, у, г, /) нли Ч" = Ч' (е/, /), где х, у, г — декартовы координаты. На функцию Ч" накладываются следующие ограничения: она должна быть в своей области определения непрерывна, однозначна н конечна. Способ извлечения информации нз функции Ч" (д, /) уатанавливается другими постулатами. 3. Каждой физической измеряемой величине (энергии, импульсу, координатам) приводится в соответствие линейный самосопряженный (эрмитов)е оператор.
Под оператором понимают действие, производимое над некоторой функцией. Более строго оператор можно определить как математическое преобразование, сопоставляющее элементы одного множества с элементами другого. Оператор будем обозначать той же буквой, что и физическую величину, только над символом будем ставить «птичку», например Š— оператор энергии. Простейшим опера'»,р „, м ~...,.к р».
фавн«есной величине Ь соответствует врмнтов оператор Ь+„н т. д. енцирования 0 = с(/ах Этот оператор ффе ы~ж емой фун ции 1(х) ее В ффе ацию извлечения квадратного корня. случае рацию изв м опе атором. и. меем дело с линейным р етии в п актику и нженерных расчетов опе- В ервые в прошлом столети р п (17, 26), что послужило т олчком для соз- Р аторы ввел О.
Хевисайд ационных методов исчи исления. Несмотря на д ания современных опер и асчетах громоздких электрических цепей н точные результаты пр р перационное исчнслени ие его необосновашю го ег ли ования о ематикамн нестрогим О. Хевисайда считалось матем т отвергали. то О для которого выполняется раЛинейным называется оператор, для венство (5! О (а 1 '- а»1 ) = а,01» + а»01», г а, — произ — произвольные функ- а, — произвольные постоянные; 1, гд а, а, — произ Й = с(/й/является линейным. Ли.
Легко убедиться, что оператор цин. г нейными также будут следующ р ие опе аторы: О = Ч = (д/дх+ 1 / у 'дд +/гд/дг; О = Л =д'/дхв+ дв/ду'+ д /дг . ике являются операторы координат, Основными в квантовой механике коо динаты х есть сама координата х. импульса и энергии. Оператором коор Этот оператор линеен, так как х(аА+а,.1») = а,х1, +а,х1,. еств движения (р = то), является векмурру к ии вектора импульса на ос ором. Обозначим росиц Р» Рв Р» Уд/д льса на ось х — оператор — 1» х, на проекции вектора импульса — » х, на а той же буквой, что и физическую вели- Часто оператор обозначают той же уквои, и чи, к которо он й н относится. Например, оператор пр — х и ьса са = — йд/дх.
Оператор полного импульс р са на ось х обозначают р„ = — / х. и яется вектором, как н сам импульс. являе " х и г б квами 1, 1. й. Тогда р = Обозначим орты вдоль осей х, у и г ук (Р»+ /Рн Р' -г Й . Отсюда оператор импульса р = — /Ь (7д/дх + /д/ду + йд/дг) = — /йЧ. ии Е. Опе атор полной энергии проще Теперь найдем оператор энергии . п р е Е = е + н'. Кннетннно, т. е. представить в виде ы т и квадрата импульса р' следующим ч к ес ая энергия зависит от массы т и квад а з~ ьа Е = Н (р, у) = — — Ч'+ Ч. 2ва (2.2) ь Л о, и нормировки ~1 Ч„~'йе =1, (2.5) 3< З2 образом: з„= ра/(2т). Оператор импульса уже известен: р — /йЧ. ! Ьа Следовательно, з = — ( — /йЧ)' = — —,Ча, Оператор потенциальной энергии ОЧ =.
Ч. Окончательно оператор полной энергии Если обратиться к уравнению Шредингера (2.1), то формально можно заключить, что оператор кинетической и потенциальной энергии есть квантовый аналог правой части уравнения Шредингера, т. е. ва " . д — — Ча+ )/~~/'й —. 2ав да ' В общем случае, как это следует из предыдущих рассуждений, если некоторое преобразование позволяет сопоставить каждой функции Ч' одну и только одну определенную функцию Ча', то говорят, что Ч" есть функция, получаемая в результате действия некоторого оператора А иа исходную функцию Ч', и записывают: Ч" = АЧ'. Среди операторов, которые могут действовать на волновые функции Ч' -~.
Ч'(д, () -+ Ча (х, у, х, /), связанные с квантовой частицей, можно выделить два наиболее нужных типа: а) дифференциальные операторы д/дд, д/д/; б) операторы /(в, /), действие которых состоит в умножении функций Ч' на функцию / (д, /). Ввиду исключительной важности линейных операторов для квантовой механики остановимся на их свойствах подробнее. Пусть имеется линейный оператор О. Подберем такую функцию Ч'„, чтобы результат действия на нее оператора О сводился к умножению на постоянный множитель Х„, т. е. выполнялось равенство ОЧ'„=. л„ч'„. В этом случае данное уравнение называется уравнением собственных функций и собственных значений оператора.
Ч"„является собственной функцией оператора О, а )а„— собственным значением, соответствующим собственной функции Ч'„. Обычно существует несколько, а в квантовой теории и бесконечно много, собственных функций и собственных значений. Если одному собственному значению оператора соответствует несколько еобетвенных функций, то собственное значение оператора в ы р о ж д е н о. Совокупиость собственных значений называется спектром оператора О. Такой спектр может быть дискретным и непрерывным. При дискретном спектре решение возможно лишь при вполне определенных значениях чисел )а„, в случае непрерывного спектра решение существует при любых )а„. В общем случае собственные значения могут быть как вещественными, так и комплексными. В квантовой механике рассматриваются лишь такие операторы, собственные значения которых вещеет. венны.
Свойством вещественности собственных значений обладают самосо- пряженные (эрмитовы) операторы. Оператор О называется самосопряженным, если он удовлетворяет условию 15, 17, 26) ~ Ч7 (ОЧ'2) йд = ~ (ОЧаа)' Чаайц* (2.3) а а где Чаа (д) и Ч', (д) — произвольные функция, а звездочка означает комплексную сопряженность, Отметим, что у самосопряженных операторов собственные значения должны быть вещественными, т. е. зти операторы должны изображать вещественные физические величины. Самосопряженнымя являются следующие операторы: любая вещественная функция координат, в частности сами координаты х, у, х, в а * ьа и операторы р„р„, р,. Оператор энергии Е = — — Ч' + )/ также яв2ва ляется самосопряжеиным, тогда как оператор О =* д/дх не самосопряженный. Остановимся еще на одном свойстве самосопряженного оператора: его собственные функции о р т о г о н а л ь н ы. Пусть Ча„и 'У вЂ” две собственные функции самосопряженного оператора О, отвечающие двум собственным значениям Х„и )а .
Рассматриваем невырожденный случай; ОЧ'„=- Х„ч'„; ОЧ' = Х Ч', Ортогональноеть функции Ч'„(а) и Ч' (в) означает, что при п ~., 1 Ч „' (у) Ч „(в) йв = б. ", При п = т получим положительную величину: Ф ~ ч': И) ч', И) йе = ~! ч". ~' йе, а а Функции Ч'„могут быть выбраны такими, чтобы эта величина была ормирована, т. е. равнялась единице. Это вытекает из того, что решенем уравнения ОЧ'„= Х„ч'„вследствие линейноети оператора О явяетея Х„Ча„, где Մ— произвольная постоянная. Собственные функции, удовлетворяющие условиям ортогональности 1Ч„'Ч„дд=б (2.4) а йазываются отортонормированными. Можно показать, что такая сна ма функций является полной.
Таким образом, собственные значения Раторов квантовой механики вещественны, а собетвеиные функции гоиальны, Этим определяется замечательное свойство функций 2 твл1 ЗЗ состояния Ч' (о) — их можно разлагать в ряд по собственным функциям оператора ОЧ'„, т, е. Ч (Ч) = Х ).Ч .. (2.67 Другое замечательное свойство функции состояния заключается в том, что если оператор П соответствует любой физически наблюдаемой величине, например энергии Е, и состояние квантовой системы описывается ортонормированной функцией Чт (о), то среднее значение наблюдаемой величины (Е) = ) Чте(о) ЙЧт(о) дл). (2.7) Напомним основные действия с линейными операторами: 1) сумма двух операторов Я = О+ А для некоторой функции состояния Ч' равна ЯЧ~-~ ОЧ~+ АЧ~1 2) умножение оператора О яа постоянную С дает (СО) Ч' -ь С (ОЧ'); 3) произведение двух операторов В = ОА, где оператор О умножается па оператор А, равно 4) разность ОА — АО двух произведений операторов называется юзльеутатором олераторое О, А и обозначается квадратными скобками (кваптовой скобкой Пуассона) 13, 171: ОА — АО-ь [О, А); если эта разность равна нулю, считается, что операторы коммутвруют, т.
е. ОА = А О. Пример. Операторы дифференцирования коммутяруют между собой, т. е. д1 дк [ дк ' д1 [ду ' ~ д дх дт 4. Единственно возможными значениями физической величины являются собственные значения ее оператора. В классической механике физические величины могут принимать любые значения. Например, энергия колеблющейся частицы Е = тов/2 -1- йхз!2 может быть любой в зависимости от значений скорости о и координаты х. В квантовой механике дело обстоит иначе. Этот постулат утверждает, что для определения возможных значений физической величины надо найти собст- 34 ЬЧ'-ь ОАЧт-ь О (АЧс); очень важно, что произведение операторов, так же как я матриц, лекоммутативно „ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
