Байбородин Ю.В. Основы лазерной техники (1988) (1151949), страница 12
Текст из файла (страница 12)
у плотности энергн у и изл чения накачки нас ненциально у о бывает, а населенность уровня тв ющем бесконечной спектральной ется. В предельном случае, соответствующ м ти обоих уровне гии излучения накачки, населенности о оих О м что при любом значении спектней Ф1 и !Уе выравниваются.'Отметим, что и 47 // я/ 10 езг ~ н '"эя ли хр Е( Рззэзр .Ркл а в Рис.
х,з. Схема энергетических состояний трехуровневой квантовой системы (а) и зависимость населенностей уровней Уя/У„У,/У, н У,/У, от плотности излучения накачки р „(6) ральной плотности энергии излучения накачки (Р,„— оо) и равенстве вероятностей поглощения и излучения (Р,В„= Р,В„) населенность верхнего уровня не превысит населенности нижнего уровня. Отсюда вытекает важный вывод для двухуровневой квантовой системы: при оптической накачке принципиально невозможно создать инверсию населенностей и, следовательно, получить генерацию лазерного излучения. Для трехуровневой квантовой системы при стационарном режиме генерации кинетические уравнения выглядят так (рис. 2.3, а) И2): Ез '" РчВяаЫ! (РзВм + Аа! + Заа) Л/з = О! Е, — ВэаМз — А„У, = 0; Еа-»(РяВяя+Аза)Л/э+ АаяЛ'я — Р,В аУ =0; Уз = /" ! + яэа + Л/з' Вяз = Вм' йт =' мя = кз = 1.
Решив эту систему относительно населенностей уровней, получим: о Аа,вм (Р,Вз! + Ая! + Вяа) Ая! + (Вэя+ Аз!) Р,Вяз Л/е Ран!азат (2.20) (Репа! + Аз! + Взз! Аэ! + (Фза + Я(м) Рчпмэ У, (Р Вяз + Аз! + Взя) Ам (о В! + Аз -(- Яза) Аз! + (Вяз Р Аяя! Р,Вяя При отсутствии возмущения, когда спектральная плотность энергии излучения накачки равна нулю (р„„= 0), все квантовые частицы сосредоточены на нижнем основном уровне (рис. 2.3, б).
При увеличении р, верхний и промежуточный уровни начинают заселяться. Населенность нижнего основного уровня Е, постепенно уменьшается. Если спектральная плотность энергии излучения накачки беспредельно увеличивается (р„, -я- со), то населенности Л(! и У, выравниваются и Аз!Уз яя я и+ зя вероятность перехода Взя больше вероятности перехода Азм то, начи- ва ная с некоторой энергии накачки рчн (р,„)„,, населенность второ. го уровня превысит населенность основного уровня, т. е. Л/а ) Л/!. В этом случае величину (Р,„)„,р называют пороговой спектральной плотностью энергии излучения накачки, а избыток населенности частиц на втором уровне по сравнению с населенностью первого уровня — инверсией населенности ЛЛ/а! — — У, — У,.
С увеличением Р,„инверсия населенностей возрастает, стремясь в пределе к величине Взя — Ам !пп ЛУа! = 2А в чн и+ з! и при Вэя ж А Л/Ч -О. Таким образом, в трехуровневой системе можно получить инверсию населенностей на переходе Еа-» Е,. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие Яэя ) А„ и спектральная плотность энергии излучения накачки превышала пороговое значение, так как только в этом случае относительная инверсия населенности будет больше нуля, т. е. яЛ/яя/Л/з ) О Приравнивая значения населенностей уровней У, = У, из уравнений (2.20) и решая полученное равенство относительно Р,В„, находим пороговое значение спектральной плотности энергии излучения накачки (Вэа + Аэя! Ая! (2.21) (Рчн)поз В (В Условие наименьшего порога накачки в трехуровневой системе соответствует наибольшему времени нахождения квантовых частиц на втором уровне, т.
е. наличию метастабильиого уровня в системе. Помимо этого необходимо, чтобы активное вещество имело широкую полосу погло.меция и чтобы усиление превышало потери. При выполнении этих условий возможна генерация вынужденного излучения. В. общем случае, если рассматриваемая квантовая система состоит из и! уровней, для определения населенностей уровней необходимо иметь систему т уравнений. Для т — ! возбужденных сосгояний записываются условия баланса — равенство скоростей заселения и обеднения энергетических уровней, Уравнение баланса для верхнего уровня записывается следующим образом: и! — ! -я Р,В! Л/! — Р,Вэн+ 2„(А я+5 ! П) Л( = О, эя — — 1 эя — ! где ~, (А, + В, и) — суммарная вероятность обеднения верхнего э!=! энергетического уровня. Любой Рй промежуточный уровень заселяется с учетом правил отбора при указанных ограничениях за счет обеднения верхних состояний и связан со спонтанными и безызлучательными переходами на нижние уровни; ч ! — ! Впяэ! Л(! 1 РэВп = О, (=(+! я=! 1-! где ~; рлВи — суммарная вероятность обеднения 1-го уровня.
Послед!.=! нее уравнение определяется условием постоянства количества частиц л в системе ~ й( = !ул Выше была описана идеализированная картина. В действительности дело обстоит гораздо сложнее — стационарный баланс скоростей заселения н обеднения энергетических уровней квантовыми частицами является приблизительным. Корректнее полагать, что это физическое явление представляет собой квазистационарный процесс, который математически наиболее строго необходимо описывать для любой квантовомеханнческой системы с помощью матрицы плотности (5, 29).
2.5. Смешанные состояния. Матрица ппотностм Основной постулат кванювой механики утверждает, что для определения состояния квантовой системы достаточно задать волновую функцию. Прн этом различают состояния квантовой системы, которым можно нлн нельзя сопоставить волновую функцию.
Первые нз них обычно называют чистыми, вторые — смешанными состояниями. Чистые состояния соответствуют максимально возможным сведениям об идеальной квантовой системе. Действительно, если система находится в одном нз п собственных состояний, описываемых собственной функцией Вт то физически измеряемая величина М с соответствующим операюром М имеет среднее значение (М> = (У„~ М ) <7„> и собственные значения определяются из уравнений собственных значений: М<7„= М„У„(см.
п. 2.1). Произвольному чистому состоянию можно сопоставить, исходя нз принципа суперпозиция, волновую функцию Ч'л вида (2.6): ЧУ. = Е с.(7., (2.22) л где сл — коэффициенты разложения по полной ортонормированной системе собственных функций <7„. В этом случае физическая величина М определяется своим средним значением (математнческое ожидание) (см. (2.7)): (М> = ) Ч!„'МЧ'„А) = < Ч'„! М ~ Ч'л>.
(2.23) Часто возникает недоуменный вопрос, каков физический смысл состояний квантовых частиц? Собственные и чистые состояния являются частными понятиями формализма кванювой теории, а вот смешанное состояние может быть интерпретировано как энергетические уровни реального активного вещества квантовых генераторов и усилителей нли квантованное электромагнитное поле в свободном пространстве. В общем случае нет достоверной информация о кванювой системе с тем, чтобы описать ее с помощью линейных операторов илн в матричном виде. Тогда применяют методы теории статистического распре- деления, т. е. находят вероятность того, чтоснстема описывается функцией состояния Ч'(а, 1) и зависит от природы процесса измерений, коюрый возмущает систему так, что эта система переходит в некоюрое смешанное состояние (некогерентной суперпозиция чистых состояний).
Если известны волновые функции Ч'л чистых состояний квантовой системы, то смешанному состоянию можно сопоставить волновую функцию вида Ч' = 2;РлЧ"л, где рл — вероятность наличия и-го чистого состояния в рассматриваемом смешанном состоянии. Индекс и как бы задает порядковый номер состояния в рассматриваемом смешанном состоянии. Тогда, учитывая (2.23), среднее значение величины М для смешанного состояния есть Ил„= ~, "()„*М(7..
Тогда для смешанного состояния среднее значение величины (М) принимает внд <М) ~„'р„~; с„'(7„'Мс У„. л л,т Если ввести обозначение (2.25) р„ = ~, рлс„'с , л то (2.25) можно записать в виде следующего произведения матричных элементов: (2.26) (М> = ~„'р„М„„. (2.27) Оператор р, представленный матрицей с матричными элементами р (2.26), называют оператором плотносгпи, а саму матрицу — матрицей плоп!носа!и. Эти понятия почти одновременно были введены Л.
Д. Ландау н Дж. фон Нейманом в 1927 г. [5, 29). Если использовать правило перемножения матриц, ю (2.27) записывается более кратко так: <М> = ~; (рм) = 5р (рм>, л,т где знаком Ьр (шпур) обозначен след матрицы — сумма диагональных элементов матрицы (рМ). Таким образом, смешанное состояние квантовой системы полностью описывается с помощью матрицы плотности, что дает возможность вычислить среднее значение любой физически наблюдаемой величины (М>. 51 <М> = ~; р„!Р„*МР; Ч"„' = ~; с„'У„', Ч"„~, 'с„<7„; (2.24) л,т л т любой элемент матрицы Мл соответствующего оператора определяется как Так как применяя среднее значение оператора (М) = Зр (РМ), можно получить среднее значение.
любой измеряемой величины, то матрица плотности р с точки зрения физика содержит всю существенную информацию, которую можно получить о данной квантовой системе. Поэтому новая формулировка квантовой теории в понятиях матрицы плотности является весьма полезной, поскольку позволяет изящно решать многие прикладные задачи квантовой теории. Для дальнейших рассуждений необходимо знать следующие свойства матрицы плотности: из условия действительности средних значений следует эрмитовость матрицы плотности, т. е. р — р „— и р +. из условия нормировки след матрицы плотности равен единице (Зр (р) = [); любой диагональный элемент матрицы плотности для смешанного состояния системы равен значению р„„= ~~ р„[ с„[', е любой диагональный элемент матрицы плотности для чистого состояния системы равен значению р = [ с„['.
Уравнение движения матрицы плотности (уравнение движения измеряемых физических величин) получается при дифференцировании матрицы плотности по времени и замене волновой функции 1х (у, () величиной р (2.29) орли — ~ (р„,Н и — Нл рми) и или в операторной форме др д1 8 (2.30) Вводя квантовые скобки Пуассона Нр — рН = [Н, р], уравнение (2.30) можно переписать в виде !йдр/д( = [Й, р). Полученное уравнение движения матрицы плотности определяет изменение матрицы плотности во времени подобно уравнению Шредингера для волновой функции чистого состояния.
Это уравнение является более общим по сравнению с уравнением Шредингера, так как оно выведено для смешанных состояний реальных квантовых систем, Глава 3. КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 3.4. Математическая зались каазимонохроматического излучения В общем случае излучение является процессом возбуждения и распространения электромагнитного поля, которое может быть представлено супер позицией электромагнитных волн со следующими характеристиками: амплитудой, частотой, фазой, поляризацией и направлением распространения. Если излучением интересоваться практически, когда из электромагнитного поля необходимо извлечь информацию, заодированную в его характеристиках, то можно это излучение принимать за оптический сигнал [4, 22), который является однозначной фун- кцией трех координат пространства и времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
