Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 145
Текст из файла (страница 145)
Очевидно, эти условия формируют только часть общей картины. Полный анализ производительности контура ФАПЧ должен исходить из предположения, что уравнение (10.32) справедливо не всегда. Когда приближение малых углов становится неточным, подходяшей моделью является изображенная на рис. 10.3. С помошью формул (10.4), (! 0.20) и (10.21) и рис. 10.3 модель можно описать следующим дифференциальным уравнением: в — [В(е)) = Коу'(г) * Яп [В(е) — В(е)) + Коу'(е) «'(е) . дг (10.33) Дисперсия фазы — это мера неустойчивой синхронизации на выходе генератора, управляемого напряжением, вследствие шума на входе. Уравнения (10.31) и (10.7) описывают один из множества компромиссов в теории связи.
Очевидно, что величину а1 хотелось бы сделать как можно меньше; при данном уровне шума это подразумео вает меньшую полосу контура Во а нз уравнения (10.30) следует более узкая функция Н(ео). В то же время нз уравнения (10.7) можно сделать вывод, чем уже эффективная полоса Н(ео), тем хуже способность контура к отслеживанию изменения фазы поступаюшего сигнала О(оз).
Слеловательно, при проектировании контура должен достигаться определенный баланс между параметрами, связанными с шумом, и желаемой реакцией на изменения входной фазы. Перед разработчиком стоит задача: разработать контур, который бы надлежашнм образом реагировал на изменения входного сигнала, но при этом не был бы слишком чувствителен к кажушимся изменениям, которые на самом деле являются следствиями процесса шума.
е(п Рис. 10.3. Схема нелинейной модели контура ФАПЧ Здесь, как и ранее, знак * обозначает операцию свертки. Несмотря на значительные усилия исследователей, общее решение данного дифференциального уравнения не удается найти на протяжении многих лет. Впрочем, Витерби (%~егЫ) [8] вывел аналитическое решение для одного важного частного случая. Рассмотрим следуклций случай.
Пусть входная фаза 0(г), которая, вообще-то, является функцией времени, равна константе О. Определим теперь новую фазовую переменную ф(г) = [9 — 6(г)] по модулю 2я. (10.34) Поскольку 0 — это константа, уравнение (10.33) можно переписать следующим образом: — [ф(г)]= Ко['(г) еяпф(г)+ Ко[(г)' л'(г).
дг (10.35) Поскольку из уравнения (10.35) ф(г) является функцией случайного процесса а'(г), сама ф(г) также есть случайным процессом. Так как фаза ф(г) определена по модулю 2к, можно показать [5], что ф(г) стационарна в пределе, по завершении всех переходных процессов (т.е. 0 — константа). Витерби [8] определил, что для контура ФАПЧ первого порядка (т.е. контурный фильтр — это просто цепь короткого замыкания, или, что эквивалентно, ([г) = 6(г)) функция плотности вероятности ф имеет следующий вид: 2л(о(р) (10.36) 10.2.
Синхронизация приемника 633 Здесь рт1/о~8 (см. уравнение(10.31)) — нормированное (на энергию единичного сигнала) отношение сигнал/шум контура, а 1,(р) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, взятая в точке р. Дисперсию фазы по модулю 2к теперь можно вычислить с использованием уравнения (10.36). Полученное значение дисперсии фазы будет точным для контуров первого порядка и весьма хорошим приближением для многих контуров второго порядка [5].
В работе [9] было показано, что это выражение также справедливо для контуров высоких порядков при несколько видоизмененном определении р. Замена переменной с фазы, которая может принимать любое действительное значение, на фазу по модулю 2я приводит к необходимости введения понятия проскальзывания цикла контура. Проскальзывание цикла происходит, когда величина исходного рассогласования по фазе ]0 — 0(г)[ превышает 2х радиан.
Это приводит к внезапному изменению значения ф (уравнение (10.34)) с 2л на О. Данное явление можно Рассматривать как мгновенную потерю синхронизации с практически немедленным ее восстановлением. Статистика проскальзываний цикла может быть таким же важным показателем производительности контура ФАПЧ, как и дисперсия фазы — особенно при низких отношениях сигнал/шум в контуре, когда проскальзывание цикла может происходить довольно часто.
Витерби, используя выражения, полученные для распределения фаз, вывел [8[ выражения для среднего времени до первого проскальзывания цикла Т, отсчитываемого от некоторого произвольного эталонного времени. Т хзр)з(р) щ 2В, (10.37) При больших р зто выражение можно приближенно записать следующим образом: х ехр (2р) 4В (10.38) Как и для функции плотности вероятности в уравнении (10.36), полученные результаты выведены для контуров первого порядка, но они являются полезной аппроксимацией для контуров второго порядка и описывают верхнюю границу производительности циклов второго порядка при средних и больших отношениях сигнал/шум в контуре.
Кроме того, компьютерное моделирование и лабораторные измерения [5[ показывают, что время Т между проскальзываниями цикла имеет экспоненциальное распределение. Т') Р(Т) = 1- ехр — — ~ Т.) (1039) Иными словами, вероятность того, что в течение промежутка времени Т при нулевом текущем рассогласовании по фазе произойдет проскальзывание цикла, описывается выражением (10.39). зз„т Глава 10. Синхронизация 10.2.1.4. Схемы подавления несущей До настоящего момента при обсуждении контуров ФАПЧ предполагалось„что входная несущая — это достаточно устойчивая синусоида с некоторой известной средней положительной энергией.
В системе связи с фазовой модуляцией несущая частота будет переносить положительную энергию, если дисперсия фазы несущей, вследствие модуляции, меньше х/2 радиан. В этом случае говорят, что в системе имеется остаточная составляющая несущей. Все обсулцгение разработки контуров ФАПЧ, приведенное выше, применимо непосредственно к этой остаточной составляющей.
Диаграмма сигнального пространства для системы бинарной фазовой модуляции с остаточной составляющей несущей показана на рис. 10.4 для угла модуляции у як/2. Одно время подобным образом разрабатывалось большинство систем с фазовой модуляцией. В то же время остаточная составляющая несущей является в некотором смысле бесполезно растрачиваемой энергией — энергия на остаточной несущей используется не дяя передачи информации, а только для передачи самой несущей. Поэтому большинство современных систем фазовой модуляции являются системами с подавлением несущей. Это означает, что на несущей частоте не имеется никакой средней передаваемой энергии.
Вся передаваемая энергия уходит на модуляцию. К сожалению, это означает, что не существует сигнала, составляющего основу для отслеживания с помощью простого контура ФАПЧ, показанного на рис. 1О.1. Сигнал игиая "и ко Рис. 10.4 Бинарная фазоеая яодуяяияя с остаточной несущей Рассмотрим в качестве примера сигнал с модуляцией ВРБК г(г) = лг(г) з(в (сост + 6) + л(1), (10.40) где т(г) с равной вероятностью равен я1. Данный пример — это передача с подавлением несущей; средняя энергия на угловой частоте оз, равна нулю. Графически это представлено на рис.
10.4, где у = я/2. Из рисунка видно, что в данном случае вертикальный компонент несущей исчезает. Для отслеживания и синхронизации фазы несущей последствия модуляции необходимо устранить. Это можно сделать путем возведения сигнала в квадрат. гз(г) = т (г) 51П (гсог + 6) + я (г) + 2л(г)т(г) 51п (о)ге + 6) = = 112 — 1й соя (2сц/+ 26) + л~(г) + 2л(г)т(г) гйп (сваг+ 6) (10.41) 10.2, Синхронизация приемника 636 Выше использовано т'(г) = 1.
Второй член в правой части уравнения (10.41) зависит от несущей (от удвоенной частоты несущей) и может быть отслежен с помощью простого контура ФАПЧ, показанного на рис. 10.1. Соответствующая схема показана на рис. 10.5. При возведении входного сигнала с подавленной несущей в квадрат получаемый компонент, зависящий от удвоенной несущей, можно выделить и отследить с помощью стандартного контура ФАПЧ. Изучение уравнения (10.41) позволяет предсказать некоторые потенциальные проблемы такой схемы. Одна из них — это просто удвоение всех фазовых углов. Следовательно, фазовый шум и случайное смещение фазы также удваиваются, и дисперсия фазовой ошибки (связанная с возведенным в квадрат фазовым шумом) в 4 раза больше по сравнению с исходным сигналом.
Этот удваивающийся угол нейтрализуется схемой дедения на 2 на выходе ГУН и, следовательно, не влияет непосредственно на точность выходного сигнала контура, используемого для демодуляции данных. В то же время эта большая внутренняя дисперсия приведет к тому, что контур ФАПЧ потребует для поддержания фазовой синхронизации на б дБ большего отношения снгнал/шум, чем система с остаточной несущей. Кроме того, вследствие взаимной корреляции между шумом и сигналом в уравнении (10.41) теперь существует два эффективных члена шума, который мешает работе контура.
Для сред или контуров с низким отношением сигнал/шум данные два члена шума еше больше снизят номинальное отношение сигнал/шум по сравнению с исходным немодулированным сигналом. Эти дополнительные потери, обусловленные произведениями сигнал-шум и шум-шум, называются потерями вследствие возведения в квадрат и обозначаются Бц Гарднер (Оап1пег) (5] показал, что если входной процесс шума л(г) является узкополосным гауссовым шумом с шириной полосы В„то потери вследствие возведения в квадрат ограничены сверху следукнцей величиной: Бинарный оигнал о лолввлонн нвоущей информации Рис.
105. Схема контура возведение в квадрагл оео1+ УоВе (10.42) 1 2дгрВ, (10.43) Здесь р, — отношение сигнал/шум на входе фильтра. Для больших отношений сиг- нал/шум в контуре выходную дисперсию фазы можно записать следуюшим образом: г ( 1') и- =2гУоВьЯь =2МоВь ~1+ — ~ 6 2р,/ (10.44) Видим, что главный член в правой части уравнения (10.44) идентичен главному члену в уравнении (10.31), дисперсии фазы стандартного контура ФАПЧ. Кроме того, для больших входных отношений сигнал/шум второй член в выражении для потерь вследствие возведения в квадрат исчезает и остается только дисперсия фазы стандартного контура ФАПЧ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
