Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 143
Текст из файла (страница 143)
В информационный поток может вводиться специаяьный заголовок или известная последовательность символов, которые будут облегчать процесс синхронизации. И все же, несмотря на эти очевидные различия, основные элементы всех схем ФАПЧ сходны с показанными на рис. 10.1. Рассмотрим нормированный входной сигнал следующего вида: (10.1) Здесь ото — номинальная несущая частота, а 0(г) — медленно меняюшаяся фаза. По- добным образом рассмотрим нормированный выходной сигнал генератора, управляе- мого напряжением х(г) = — 2 яп [гоог+ 0(г)]. (10.2) На выходе детектора фазы эти сигналы дадут выходной сигнал рассогласования сле- дующего вида: е(г) = х(г)г(г) = 2 яп [юег+ В(г)] сох [ю г+ 0(г)] = = яп [0(г) — 0(г)] + яп [2соог + В(г) + 0(г)] . (10.3) Пусть контурный фильтр является фильтром нижних частот, тогда второе слагаемое правой части выражения (10.3) будет отфильтровано и им можно пренебречь.
(Предположение о фильтре нижних частот является разумным решением при проектировании контура.) Фильтр нижних частот дает сигнал рассогласования, являюшийся функцией исключительно разности фаз между входом (формула (10.1)) и выходом ГУН (формула (10.2)). Это именно тот сигнал, который нам нужен. Выходная частота ГУН является производной по времени от аргумента синусоиды из уравнения (10.2).
Если предположить, что ох, — это неуправляемая частота ГУН (частота на выходе при нулевом входном напряжении), отличие выходной частоты ГУН от ыо можно выразить как производную по времени от фазы 0(г) . Выходная частота ГУН является линейной функцией входного напряжения. Следовательно, поскольку выходное нулевое напряжение дает выходную частоту гоо, отличие выходной частоты от гоо будет пропорционально значению выходного напряжения у(г).
д ( ) = — [В(г)] = К,у(г) = И гг = Кое(г) яд!) = Ко [0(г) — 0(г)] * Г(г) (10.4) Здесь Ьы(г) обозначает разность частот, знак е — свертку (см. приложение А), а при последнем преобразовании использовалось приближение малых углов (т.е. е(г) = а1п [0(г) — 0(г) ] 0(г) — 0(г) ).
Приближение малых углов справедливо при малых значениях выходного рассогласования по фазе (контур близок к синхронизации по фазе). ' Все сказанное выше справедливо при нормально функционирующем контуре. Множитель Ко — это усиление ГУН, а Яг) — импульсная характеристика контурного фильтра. Данное линейное дифференциальное уравнение относительно В(г) (в котором использовано приближение малых углов) называется линеаризованным уравнением контура. Это, пожалуй, наиболее полезное соотношение при определении поведения контура при нормальной работе (когда мало рассогласование по фазе). Пример 10.1. Лииеаризоваиное уравнение контура Покажите„что при надлежащем выборе К, и с[с) линеаризоваиное уравнение контура (!0.4) имеет тенденцию к синхронизации фазы, т.е, вне зависимости от начальных условий раз- ность фаз между входным сигналом и выходом ГУН будет снижаться. РеШение Пусп фаза входного сигнала 0(с) медленно меняется со временем.
Можно видеть, что если разность фаз в правой части уравнения (!0.4) положительна (т.е. 0(с) > 0(с) ), то надлехашим выбором ко иаэс) производную по времени от 6(с) мохшо сделать больше нуля, так что 6(с) будет расти со временем, что приведет к снюкеиию разности ]6(с) — 6(с)]. С другой стороны, если разноси фаз отрицательна, 0(с) будет уменьшаться со временем, что глюке привелет к снижению разности фаз. И наконец, если 0(с) = 6(с), из уравнения (!6.4) видно, что 0(с) не будет меняться со временем и условие 0(с) = 6(с) будет выполняться всегда. Рассмотрим результат применения преобразования Фурье к обеим частям уравне- ния (10.4). Со!э(а) = Кр[0(оз) — 0(ез)]Е(оз) (10.5) Здесь функции от а, обозначенные большими буквами, являются Фурье-образами со- ответствующих функций от с, обозначенных в уравнении (10.4) маленькими буквами.
Иными словами, 0(со) <-с0(с), 0(а) +-> 6(с) и Г(а) <->Яс). После преобразования урав- нения (10.5) получаем следующий результат: О(а) КеЕ(а) = Н(а) . 0(а) со!+ КОЕ(а) (10.6) Н(а) называется передаточной функцией замкнутого контура ФАПЧ. Этот термин очень полезен при описании переходной характеристики контура ФАПЧ. Порядок контура ФАПЧ определяется старшим порядком йе в знаменателе Н(а). Уравнение (10.6) показывает, что этот порядок всегда на единицу больше порсшка контурного фильтра Е(се).
Это объясняется тем, что Г(а) аналитически выражается как Е(се) = Н(а)/1>(а), знаменатель Н(а), при записи в виде полинома от ио, будет содержать слагаемое са!Э(а), который по ие дает слагаемое, на один порядок большее слагаемого максимального порядка в Р(а). Порядок контура ФАПЧ очень важен при определении стационарной характеристики контура при стационарном входе. Подробно этот вопрос рассматривается в следующем разделе. = 0(а) — бс(а) = = [1 — Н(а)]В(а) = сОЮ(а) Са+ КоР(а) (10.7) !' 626 Гении СП Г' иплииии ~ма 10.2.1.1. Характеристики стационарного состояния После преобразования уравнения (10.6) можно получить следующее выражение для Фурье-образа рассогласования по фазе: Е(а) = о(е(с)] = 1пп е(г) = !пп (аЕ(а) .
с -ь !и->о (10.8) Обьеднняя уравнения (10.7) и (10.8), получаем следующее: Вгп е(г) = 1пп (са) з ег(со) о га+ )сер(а) (10.9) Пример 10.2. Реакция на скачок фазы Рассмотрите отклик контура, находящегося в стационарном состоянии, на скачок фазы на входе контура. Решение Предполо:кнм, что изначально контур ФАПЧ сннхронизнраван по фазе с входным сигна- лам, а скачок фазы вывел его из этого состояния. Причем после резкого изменения входная фаза снова стала стабильной. Вообще, это самый простой случай, с которым способен спра- виться контур ФАПЧ. Итак, Фурье-образ скачка фазы равен следующеыу: О(со) = о(Лф и(г) ) = Ьф (10. 10) Здесь оф — величина скачка, а и(г) — единичная ступенчатая функция.
ш 1 для>0 и(г) = 0 для<0 = ~б(т) Л В последнем выражении б(т) — дельта-функция Днрака. Из формул (10.9) и (10.10) получаем !цп е(г) = !пп сайф =0 сс'а+ Кок(а) в предпололсении, по Г(О) х О. Таким образом, прн любам скачке фазы, происшедшем на входе, контур со временем синхраннзируется, если характеристика контурного фильтра имеет ненулевую постоянную составляющую. Эта означает, что лля любого кантурнага фильтра, обладающего свойством Р(со) = ЛКв)/Р(и) и Аг(0) х О, контур ФАПЧ автоматически восстановит фазовую синхронизацию, если входной сигнал заменить сигналом с произвольной постоянной фазой. Очевидно, что это свойство контура является очень полезным. Пример 10.3.
Реакция иа скачок частоты Рассмотрите отклик контура, находящегося в стационарном состоянии, на скачок частоты на входе. Для определения характеристики установившейся ошибки контура при разнообразньсх выходных характеристиках можно использовать уравнение (10.7) и теорему о конечном значении преобразования Фурье. Установившаяся ошибка — это остаточная ошибка после завершения всех переходных процессов, поэтому данная ошибка определяет, насколько контур способен справиться с различными типами изменений на входе.
Теорема о конечном значении формулируется следующим образом: РеШение Посредством скачка частоты можно аппроксимировать последствия доплеровского смещения частоты входного сигнала вследствие относительного движения передатчика и приемника. Следовательно, данный пример вюкен для систем с мобильными терминалами. Поскольку фаза является интегралом частоты, при постоянном сдвиге входной частоты входная фаза (как функция времени) будет меняться линейно. Фурье-образ фазавой характеристики — это Фурье-образ интеграла частотной характеристики.
Поскольку частотная характеристика — зто ступенчатая функция, а образ интеграла — зто образ подынтегрального выражения, деленного на параметр!ш, можем записать О(го)— 2гю (!ю) (10.11) где 2!а — величина скачка частоты. Подстановка уравнения (! 0.11) в уравнение (! 0.9) дает следующий результат: 2гю 2гш 1пп е(г) = 1пп г е !аз+ КоР(го) КеГ(0) (10.12) В данном случае стационарный результат зависит не только ат ненулевой постоянной со- ставляющей в характеристике, но и от других свойств контурного фильтра.
Если фильтр яв- ляется широкополосным с полосой, равной бесконечности, то Г„р(ю) = 1. Если фильтр является фильтром нижних частот, то (10.13) оз, Р;р(щ) = йо+ аз, (10.14) Если фильтр является стабилизирующим, то Рд(ю) = (10.15) Уравнение (1О.!2) показывает, чта контур отследит изменение входной фазы с установив- шейся ошибкой, величина которой зависит ат члена К, и величины скачка частоты. Подста- новка любого из значений Рм(ы), Рв(оз) или Гз(ы) в уравнение (10.12) дает следующий ре- зультат: Ью 1пп е(г) = —.
Ко г хл Отметим, что последовательное соединение нескольких фильтров с характеристиками, подобными указанным в формулах (!0.13), (!О 14) или (10.!5), по-прежнему будет давать желаемый результат. Стационарная ошибка, назьааемая ошибкой ло скорости, будет существовать вне зависимости от порядка фильтра, если только знаменатель Р(ы) не будет содержать !го в виде множителя (еь = 0 в знаменателе уравнений (1О.!4) или (!0.15) при соответствующей перенормировке числителей), Наличие !та в виде множителя в 2)(ш) равносидьно наличию идеального интегратора в контурном фильтре. Построить идеальный интегратор невозможно, но его можно достаточно хороша аппроксимировать либо с помощью оцифровки, либо с помощью активных интегральных схем (5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
