Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992), страница 9

2.4. ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА Детерминированный сигнал, иначе говоря, сигнал с полностью известными параметрами, представляет собой детерминированную, т. е. априори известную функцию времени з(!). Такая модель сигнала соответствует ситуации, когда дальность, скорость и ЭПР цели точно известны.

Эта модель является наиболее идеализированной и используется в качестве простейшей при теоретическом исследовании задачи обнаружения. В качестве модели шума, на фоне которого наблюдается сигнал, возьмем так называемый белый шум. Под белым шумом понимаем гауссовский случайный процесс К(1) с нулевым математическим ожиданием и дсльтаобразной корреляционной функцией: М $ (!) = О, К (т) = М $ ((+ т) 5 (!) = (М~/2) 6 (т), (2.34) где Х0 — константа; б(т) — дельта-функция. Спектральная плотность белого шума 40 Фо 1" о 6(то)= Г К(т)ехр( )сот)с(т= 2 (2.35) где Ыо=ЯЙТо Вт/Гц — мошность шума в единице полосы, У— коэффициент шума приемника; л=!,38 10 —" Дж/К вЂ” постоянная Больцмана; Т, — температура в Кельвинах; Д1 — полоса частот приемного тракта. Итак, рассмотрим задачу синтеза оптимального обнаружителя детерминированного сигнала на фоне белого шума.

Наблюдаемый процесс уг=дз(1)+$(1), О=О, 1, 0(1(Т, является либо аддитивной смесью сигнала и шума (при 0=1), либо одним шумом (при 0=0), время наблюдения Т фиксировано. Вначале рассмотрим случай, когда наблюдение ведется в дискретные моменты време- о Те) ни ть (г, ..., 1я, при этом приниа маются выборочные значения Е У (ук ) — = ук = Озк+ й.к, 0 = О, 1, й = ю,ут =1, 2, ..., и. Оптимальный обна- ат ружитель должен формировать отношение правдоподобия Рнс 2 4 Спектральная плотность белого шума 41 Односторонняя (физическая) спектральная плотность 6т(от), РавнаЯ нУлю пРи от(0, 6+(от) =6(ат)+6( — ат) =26(ав) =Лго.

Таким образом, графически спектральная плотность белого шума (рис. 2.4) представляет собой неограниченную прямую, параллельную оси частот. Велый шум также является идеализированной математической моделью прежде всего потому, что согласно (34) его дисперсия неограниченна: ото=К(0) = оо. На первый взгляд может показаться, что модель белого пгума бесполезна для описания какого-либо реального шума, мошность которого всегда конечна.

Однако это не так. Белый шум — пример удачного компромиссного решения при выборе математической модели. С одной стороны, он хорошо аппроксимирует собственные шумы радиоприемного устройства, так как для ннх имеет место эффект нормализации и ширина спектра шумов обычно намного больше полосы пропуокания устройства. С другой стороны, белый шум удобен при теоретических исследованиях, в частности, из-за простоты вычисления интегралов с дельта-функцией.

На практике белый шум, аппроксимируюший собственный шум приемника, ограничен по полосе и его дисперсия может быть вычислена по формуле ото=с)од 1=)уйте дТ, (2. 36) Л (д) = Л„= ш (д,, ..., У„(0 = 1)/пг (д,, ..., д„! О = О) (2.37) и сравнивать его с порогом (см. (25)). Чтобы определить структуру устройства, формируюшего отношение правдоподобия, необходимо конкретизировать условные плотности вероятностей, входжшие в (37). Поскольку рассматриваемый белый шум описывается гауссовским распределением вероятностей, то плотность вероятностей выборок шума имеет вид ш (од) = (1/)I 2 и оо) ехр ( — $дг/2 оог), А = 1, 2, .... (2.38) Учитывая, что выборки белого шума статистически независимы, а также то, что до=ад при 0=0, имеем л оп(у,,..., у„10=0)= Д ехр ~/2 пил 2ог ~ Так как сигнал является детерминированным, то распределение вероятностей выборок уь ..., У„при д=! остается гауссовским, однако средние значения отсчетов теперь не равны нулю, при этом (2.39) л ш(дг,",У (0=1)= П ехр ~ — "'," .

(2.40) 'г 2поо 1 2 а~ Подставив (39), (40) в (37), получим л л Л =ехр ~ — С' уд зд — — ~' зг п г г.г *г ~ оо 2оо,ф ! Для упрошения обработки целесообразно вместо отношения правдоподобия Л, формировать его логарифм з„=1пЛ (см. (26)): л л ~и= г ~ Удэд (2.41) ог 2оо д=1 Перейдем к непрерывному времени наблюдения. Положим 11 =О, /„ =Т, кроме того, учтем, что плотность вероятностей независимых гауссовских величин (38),при непрерывном времени переходит в функционал плотности вероятностей шума. Если спектральная плотность огоследнего равна л/о/2 (см. (35)), а о'о— дисперсия гауссовских величин 4д, то при переходе к непрерывному времени (от $д к я(1)) можно воспользоваться зависимостью оо г= (й/о/2)/Л /, Л1=1=- /д — 1»-.

(2.42) (при Л1-л-0 ог;+.ао). Подставляя (42) в (41) и переходя к пределу при Лт-+О, получаем 42' Ю) Рис. 2.5. Корреляционная (а) и фильтровая (б) структурные схемы оптимальных обнаружителей детерминированного сигнала т(е) =('и( ) гГт) ае Рис. 2.6. Времеинйе диаграммы напряжений в корреляционном обнару- кителе т т г (Т) = — )' д (() З (() СЮ вЂ” — )" Зв (() б((.

)уе о 'уо о т Детерминированные величины — и )" — с(г можно вклю- ~е о ге чить в значение порога обнаружения, в результате алгоритм оптимального обнаружения приобретет вид т г = р у (() з (() с(( Ь. (2.44) о ле Интеграл, стоящий в левой части неравенства (44), является достаточной статистикой и называется корреляционным, а сам оптимальный обнаружитель — корреляционным обнаружителем (рис.

2.5,а). Этот обнаружитель состоит из умножителя и интегратора, образующих коррелятор, и порогового устройства, работу которых поясняют временные диаграммы на рис. 2.6. Техническая реализация алгоритма обнаружения (44) в виде корреляционной схемы:не является единственно возможной. Кор- 4$ (2.45) реляционный интеграл может быть сформирован также при помощи линейного фильтра. Действительно, если й(() — импульсная характеристика * фильтра, на вход которого поступает процесс у(г), то результат г'(Т) на выходе фильтра определяется интегралом свертки: т г'(Т) = ( у(г) Ь(Т вЂ” () Ж.

о Если теперь положить п(Т вЂ” 1) =з(~), то величина г'(Т) совпадет с корреляционным интегралом г. Отсюда следует, что импульсная характеристика фильтра, на выходе которого формируется значение корреляционного интеграла в момент окончания наблюдения Т, йсе (У) = з (Т вЂ” г). (2.46) Такой фильтр называется согласованным, так как его импульсная характеристика согласована с обнаружнваемым сигналом, являясь в соответствии с (46) «зеркальным отражением» формы сиг~нала Поскольку согласованный фильтр (СФ) — составная часть оптимального обнаружителя (см.

рис 25,б) и, как ясно из дальнейшего, макснмизнрует отношение сигнал-шум на выходе, его называют также оптимальным Перейдем теперь от временного описания согласованного фильтра к частотному, учитывая, что коэффициент передачи К(1ьз) (комплексная частотная характеристика) фильтра есть преобразование Фурье от его импульсной характеристики: К () аз) = (' и (г) ехр ( — ) ьз г') пг. (2 47) Подставляя (46) в (47) и заменяя переменную по формуле т= =Т вЂ” 1, получаем коэффициент передачи согласованного фильтра К„~ () ьз) = ехр ( — ) азТ) г'е () ьз), (2.48) О где Р" ()аз) = )' з(т)ехр()ьзт)г(т — величина, комплексно-сопряженная спектральной ~плотности сигнала Р()ьз) = )' з (т) Х М Х ехр ( — ) езт) г(т.

Таким образом, коэффициент передачи согласованного фильтра с точностью до множителя запаздывания ехр( — )гвТ) совпадает с величиной, комплексно-сопряженной спектральной плотности ожидаемого сигнала з(г). Учитывая представление спект- ' Отклик фильтра на воздействие в виде дельта-функцнн 44 г т оф= ) ) з(1')з11) — б(1' — 1")2Ц'г(12= о о 2 т Зо (12) 112 о Е о (2.52) В результате отношение сигнал-шум по мощности в момент вре- мени Т дое = з,',/ог 2 Е!Ио.

ральной плотности через ее модуль и аргумент Е()22) =(1. ()о2) ) Х Хехр() агпГ()оз)), из (48) получаем ()(',Е () «2)! = (Е () 22Н (2.49) атд Ков () Оз) = — ать Е () Е2) — О2 Т. (2.50) Равенство (49) означает, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра совпадает с амплитудно-частотным спектром полезного сигнала. Физический смысл полученного результата ясен: оптимальный фильтр должен пропускать в большей степени те составляющие спектра сигнала, которые имеют большую интенсивность. Равенство (50) означает, что фазочастотпая характеристика согласованного фильтра равна фазочастотному спектру сигнала, взятому с обратным знаком и сдвинутому на значение — гвТ. Благодаря такой характеристике фазовые сдвиги между гармоническими составляющими сигнала компенсируются так, что в момент отсчета Т все составляющие сигнала суммируются в фазе н выходной сигнал будет максимальным.

Определим теперь отношение сигнал-шум д,е при выходе согласованного фильтра в момент отсчета Т. Выходной эффект фильтра определяется формулой (45). Учитывая, что й(Т вЂ” 1) =з(1) н подставляя у(1) =з(1), получаем величину полезного сигнала на т выходе согласованного фильтра: з,ф= ) зо(1)Н=Е. о Так как Мо(1) =0 (см. (34)), то среднее значение шума на выходе фильтра также равно нулю: т т М г = М (' $ (1) з (1) Ж )" з (1) М $ (1) 2(1 = О. (2.51) о о В силу этого дисперсия шума на выходе согласованного фильтра определяется формулой т т о,'„, = М го = )' (' з (1') з (12) М Я (1') $ (1")) Й' г)1".

о о С учетом (34) и фильтрующего свойства дельта-функции полу- чаем Таким образом, отнщпение сигнал-шум басф на выходе согласованного фильтра определяется отношением энергии полезного сигнала Е к спектральной плотности шума и не зависит от формы сигнала. Можно показать, что отношение сигнал-шум д на выходе любого линейного фильтра, на вход которого воздействуют белый шум н детерминированный сигнал, удовлетворяет неравенству" г) ~( басф = 2 Е(йУе.

(2.53) Отсюда следует, что согласованный фильтр является оптимальным в том смысле, что он макснмизирует отношение сигнал-шум на выходе. Этот результат, вообще говоря, вытекает и из того, что согласованный фильтр есть составная часть оптимального обнаружителя (рис. 2.5,б). Отметим, что максимальное отношение сигнал-шум на входе порогового устройства (т. е. на выходе коррелятора или же согласованного фильтра) достигается в момент окончания наблюдения (=Т, который соответствует длительности полезного сигнала. Именно в этот момент значение корреляционного интеграла в должно сравниваться с порогом обнаружения Ь.

Технически это обеспечивается, например, применением стробируюгцей схемы (которую можно включить в состав порогового устройства), селектирующей с помощью узкого импульса в момент времени 1=Т соответствующий участок напряжения. Перейдем к вычислению показателей качества обнаружения (ЗО). Для этого потребуется определить распределение вероятностей статистики, поступающей на пороговое устройство, а именно распределение вероятностей корреляционного интеграла г при отсутствии (6=0) и наличии (0=1) сигнала з(1) на входе обнару- жителя. Рассмотрим случай 6=0, т. е.

когда на входе обнаружителя присутствует только шум $(1). Тогда у(1) =5(1) и величина г (см. (44) ), являясь линейным преобразованием белого гауссовского шума, также имеет гауссовское распределение и, следовательно, полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией. Последние согласно (51), (52) равны М (г(д = 0) = О, а) (г) д = 0) = о' = Ж Е(2. сф Таким образом, плотность вероятностей величины г при 6=0 имеет вид ш (г(д = О) = (1!)/2 я о,ф) ехр ( — га/2 а,ф).

с Это следует иа более общего неравенства (см ()07)), справедливого и для «небелого» шума. 46 Перейдем к случаю 6=1. Поскольку сигнал является детерминированным, то распределение величины 2 по-прежнему остается гауссовским. Дисперсия величины 2, очевидно, также не меняется: Р [г[д = 1! = 0 [з[д = О] = ог сф ' Изменяется лишь математическое ожидание: т т М [а[О = 1[ = М ~ [з ([) + $ (()) з (1) с(1 = [ аа (1) г[( = Е. о о (2.55) тата-г 1Р' 1Д-и 1Л ' 1Р т' 1Р " дмт ~-г ху-' 1Р и 1У' 1Р и 1р-тг Рис. 2.?. Характеристи«и оптимального обнаружения детерминиронаиного сигнала ( — — ), сигнала со случайной начальной фазой ( — — — ) и сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой ( — †) йу и тг О а д 1р 12 тфтИГн, Следовательно, ш (з[д = 1) =(1!'у'2тт о ф) ехр ( — (з — Е)Ч2огф), Таким образом, вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения (ЗО): гз Е= ) ехр ~ — — г1 с(г, л [/2и о,ф 2осф / В= )' ехр — ~ с(з.