Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992), страница 11

Огибающая го(!) колебания г(!) (|рис. 2.9) на выходе согласованного фильтра СФ, на вход которого поступают радноимпульс з(!) и шум 5(!), выделяется амплитудным детек- тором АД, при этом результат детектирования в момент времени 5! Рис, 28.

Корреляционная (а) и фильтровая (б) структурные схемы оптимальных обнаружителей сигнала со случайной начальной фазой Рис 2тй Временнйе диаграммы напряжений в фильтровом обнаружигеле сигнала со случайной начальной фазой Р= )' —, ехр ~ — — ', Ж=ехр ~ — —, асф ~ 2 о~а ) 'Ч 2 о~а (2.69) 62 $=Т (т. е. гс(Т) =ге) должен подаваться на пороговое устройство. Перейдем к расчету показателей качества обнаружения. Так как огибающая гс шума и смеси сигнала с шумом на выходе согласованного фильтра распределена по закону Рэлея и обобщенному закону Рэлея соответственно, то вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения для обнаружнтеля, работающего по алгоритму (68), равны: (2.701 где аг,о=/г/оЕ/2.

Значение нормированного порога связано с вероятностью ложной тревоги зависимостью Ь/а,о=~21п(1~/Е). Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной фазой (штриховые линии на рис. 2.7) построены в соответствии с (69), (70). По сравнению с характеристиками обнаружения детерминированного сигнала они сдвинуты вправо, т. е. для обнаружения сигнала со случайной начальной фазой требуется несколько большее пороговое отношение сигнал-шум.

Сигнал со случайными начальной фазой и амплитудой. На практике обычно неизвестна не только начальная фаза радиосигнала, но и его амплитуда. В зтом случае используется модель сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой з (а, ф, 1) = а А (/) соз шо (+ гр (1) — ф), (2.71) где безразмерный параметр а, определяющий ам~плитуду сигнала, полагается случайной величиной, распределенной по закону Рз- лея е пго (а) = (а/ог) ехр ( — аг/2 о'), а фаза ф — по равномерному закону (61).

Учитывая, что случайные величины а и ф статистически независимы, отношение правдоподобия согласно (68) можно представить в виде гл Л = (' )" Л (у(а, ф) пго (а) по (ф) Й'~рг/а. (2.?3» о а (2.721 Подставляя сюда (61) и выражение для условного отношения правдоподобия Л(у1а, ф) (которое получается из (63) путем замены з(ф, /) на з(а, ф, /)), интегрируя затем по ф, находим Л = )' ехр ( — а' — ~ 1, ( а — ') гно (а) г(а, о й~о йге где Š— знергия сигнала, соответствующая значению а=1. Да- лее, используя (72) и интеграл )' хехр( — ах') 1,(рх) г(х= — ехр ( — /1 1 (ба~ о 2я 1,4са ) (2.

741 е Такое предположение справедливо, если радиолокационный объект можно представить в виде большого числа статистически независимых случайных от ражателей. 53 получаем Л = (й/,/(й/, + Е)) ехр( 2 о' я ~а/й/, (й/, + Е)1, где Е = М а' Е = Е М а' = Е 2 о'. (2.75) (2.76) — усредненная энергия сигнала.

Поскольку за= О, отношение правдоподобия Л является монотонной функцией го Поэтому, как и в предыдущем случае, алгоитм оптимального обнаружения определяется формулой (68). аким образом, структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой совпадает со схемой оптимального обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой (см. рис 2.8). Заметим, что операция извлечения квадратного корня в схеме ~на рис. 2.8,а не обязательна, так как алгоритм (68) эквивалентен сравнению г', с й'. Применительно к схеме на рис.

2 8,б это .означает, что безразлично, какова характеристика амплитудного детектора — линейная или квадратичная. Так как алгоритм обнаружения по сравнению с предыдущим случаем не изменился, то и вероятность ложной тревоги, очевидно, определяется прежней формулой (69). Для расчета вероят~ности правильного обнаружения потребуется найти плотность вероятности величины ва при 6=1: ш (г, ~ б = ! ) = )' ш (г, ~ а, б = 1) пъа (а) 1а, о где и~а(а) определяется формулой (72), а — плотность вероятностей огибающей смеси сигнала и шума при фиксированном значении а Вычисляя этот интеграл (с учетом (74)), получаем и (г, ~ д = 1) = 12 за/(1т', Е+ 2 о' Е'/) ехр ( — г,'/(й/, Е+ 2 о' Ей)) и затем находим вероятность правильного обнаружения Г И // = (' Га (га (д = 1) дг, = ех 1 .

(277) ь а/о е(1+ 2 а~ е//чо) Эта формула вместе с (69) и определяет характеристики оптимального обнаружения сигнала оо случайными амплитудой и начальной фазой. Сравнивать их с характеристиками обнаружения сигнала при известной амплитуде нужно при условии равенства $4 энергий различных сигналов. Поэтому, согласно (76) следует !положить о'=1/2. Учитывая это и исключая из (69), (77) порог й, получаем ! Р Р!+в!№ (2.78)" Как видно из характеристик, рассчитанных по формуле (78) (штрихпунктирные линии на рис.

2.7), для обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой требуется значительно большее пороговое отношение сигнал-шум (при О)0,9), чем для обнаружения сигнала с известной амплитудой. Таким образом, семейство характеристик на рис. 2.7 хорошо иллюстрирует тот факт, что за незнание параметров принимаемого сигнала приходится «расплачиваться» пороговым отношением сигнал-шум, т.

е. увеличивать энергию сигнала для обеспечения заданных показателей качества обнаружения. Сигналы со случайными начальной фазой, амплитудой, временем запаздывания и смещением частоты. При приеме радиолокационных сигналов !помимо начальной фазы !р и амплитуды а обычно неизвестны время за!паздывания т сигнала и его смещение частоты в. В этом случае может использоваться модель сигнала вида з (а, <р, т, в, 1) = а А (1 — т) соз [(в, + в) (1 — т) + !р (1 — т) — ф[, (2.79Г где а, !р, т, в — случайные величины с заданными априорными распределениями вероятностей. В соответствии с общей методикой синтез оптимального обнаружителя сигнала (79) 'сводится к нахождению отношения правдоподобия Л путем усреднения условного отношения правдоподобия Л(у[а, !р, т, в) согласно формуле (58). Эта задача,существенно упрощается, если время запаздывания т и смещение частоты в аппроксимировать независимыми дискретными случайными величинами, при!нимающими конечное число значений т„...

..., т,„и в!, ..., в! с вероятностями р„. = Р (т = т!), ! = 1, ..., и; р„! = Р (в = в!), 1 = 1', ..., 1. Тогда а~налогично (58.а) получаем ги,! р„. р Л (у[ ь в!). (2.80) !.!= — ! Входящее в эту формулу условное отношение правдоподобия Л(у[го в;) находится усреднением условного отношения Л(у[а, гр, ть в,) по а и !р аналогично (73). Поэтому если !р и а распределены по законам,(61) и (72), то в соответствии с (75) !1о ~ 2 в» г~~(т!, в!) Л (у[то в!) = ' ехр !го+ е ~ !уо (л!о+ е) (2. 817 яде ло (ты озт) = 1 з! (ты юу) + зз ( тг озу ) (2.82) — огибающая корреляционного интеграла, квадратурные составляющие которого т гх (т„юу) =- ]' у (() А (( — т,) соз ((во+ юу) (1 — т;) + тр (à — т,)] гЫ, о т га ( г„го) = )' у (г) А (г — т) згп ((юо+ ю) (1 — т) + зр (г — т)] сй.

о Таким образом, синтезированный обнаружитель получился многоканальным, содержащим пг каналов по времени запаздыва,ния (дальности) и г каскадов по частоте (скорости). В каждом мз каналов формируется огибагощая го(т„оз,) корреляционного интеграла для фиксированных значений времени за~паздывания тг и смещения частоты юь которая согласно (81) подвергается экспоненциальному преобразованию, после чего выходные сигналы каналов суммируются с весами в соответствии с (80). Результат суммирования подается на пороговое устройство. На практике дальность и скорость движения объектов изменяются непрерывно и, следовательно, время запаздывания т и смещение частоты оз — непрерывные величины. В этом случае синтезированный многоканальный обнаружитель не будет строго оптимальным, однако с увеличением точности введепной аппроксимации непрерывных величин дискретнымн, т.

е. с ростом гп и г, многоканальный обнаружитель будет асимптотически приближаться к оптимальному. Отметим, что с помощью аппарата стохастических дифференциальных уравнений (53] все же удается найти строго оптимальный алгоритм обнаружения сигнала со случайным временем запаздывания, принимающим непрерывное множество значений, при этом оптимальный обнаружитель не является многоканальным [58] На практике число каналов многоканальной системы обработки сигналов обычно определяют исходя из заданных диапазопов изменения дальности и скорости и разрешающей способности РЛС (подробнее об этом будет идти речь в гл.