Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992), страница 10

1 Г (г — Е) (2.54) )/2 и осф ~ 2 осф Используя интеграл вероятностей х 1 з т Ф (х) = [' ехр ~ — — ) г(у, ьг2 и формулы (54) можно переписать в виде Е = 1 — Ф (йн), )'.) = 1 — чб (йн — [т'д, ), (2.5б) где й,=й[осф — нормированный порог; г(сф=2Е[Лто — отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра. С помощью (55) и (55) рассчитываются характеристики оптимального обнаруже- ния детерминированного сигнала в белом шуме (рис. 2.7, оплопт- ные линии).

(2.57) 2.5. ОБНАРУЖЕНИЕ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА Квазидетерлсинироаанным сигналом (сигналом со случайными параметрами) з()ь, 1) называется детерминированная функция з вектора случайных величин )ь и времени 1. Пусть гп(уь ..., уп[)а, 48 Проведенный анализ относился к обнаружению с фиксированным временем наблюдения Т (однопороговое обнаружение), Остановимся кратко на эффективности последовательно (двухпорогового) обнаружения, при этом будем считать, что полезный сигнал является постоянным з(1) =к=сонэ! (шум — по-прежнему белый).

Можно показать (см. [561), что в этом случае эффективность последовательного о~бнаружения по сравнению с однопороговым (см. (33) ) определяется формулами 21(Р 0е) 21[0„, т"') )ьз = [Ф ' [0е)+ Ф-~ (Р)!а [Ф вЂ” 1(0е)+Ф-1(г)1з [хг = где 1(х, у) =1 — х!п[[(1 — х)~/у!+х1п(х1(! — у)), а Ф '(х) — функция, обратная интегралу вероятностей (55).

Из (57) следует, что, например, при г" !)е-+О, имеем )ье-)х~-+1)4, т. е. при малых вероятностях ошибок последовательное обнаружение эффективнее однопорогового примерно в четыре раза. Указанная эффективность последовательного обнаружения обусловливает в режиме поиска сигнала выигрыш в среднем времени обзора рабочей зоны по сравнению со случаем, когда при обзоре (поиске) используется однопоро. гаван процедура обнаружения Отметим, что существует оптимальная последо.

нательная процедура совместного понсна и обнаружения сигнала [571; ее отличительной чертой являются два переменных порога, занисящие от результа. тов предыдущих наблюдений, прн этом в текуший момент времени осматривается тот элемент разрешения рабочей зовы, в котором апостериорная вероятность присутствия сигнала максимальна Проще реализуется процедура поиска по максамуму апостериорной вероятности наличия сигнала (кан и в оптимальной процедуре) с последовательным обнаружением при постоянных порогах. Эта процедура еше упростится, если поиск сигнала проводить циклически, поочередно осматривая элементы рабочей зоны, например в порядке нх нумерации И наконец, самой простой является процедура циклического поиска с фиксированной длительностью осмотра каждого элемента, при которой используется однопорогоаое обнаружение.

«Платой» за упрощение процедур является повышение средней длителызости осмотра рабочей зоны Эта плата наиболее велика для последней из указанных процедур Расчет для детерминированного сигнала п белого шума при г = 10 ', 0=0,99 н ста элементах разрешения показал [б71, что простейшая процедура проигрывает оптимальной по средней длительности осмотра рабочей зоны в 13 раз при наличии сигнала н в 7 раз прн его отсутствии. »э=1) — плотность вероятностей наблюдаемого вектора уь ..., у„ при условии, что сигнал есть (6=1) и что случайные параметры)з сигнала з()з, 1) фиксированы, и пусть ше(р) — априорная плотность вероятностей вектора р. Считаем, что плотность вероятностей шума н»(уь ..., у (6=0) неизвестных параметров не содержит.

В рассматриваемой байесовской постановке задачи оптимальная процедура обнаружения, как было показано (см. $ 2.2), сводится к формированию отношения правдоподобия и сравнению его с порогом. В данном случае согласно (27) отношение правдоподобияя ) е»Ь„„,,Е,ИН, б = ))мо(р)лр Л м(е ... е~)о = о) (М вЂ” область определения вектора р). Эту формулу можно записать также в виде Л = (' Л (у)м) и», (м) д )х, (2.58) м где Л(у()х) =ш(уь ..., у 1)з, 0=1)/ш(уь ..., у„)0=0) — условное отношение правдоподобия. Таким образом, синтез оптимальных обнаружителей квазидетермннированных сигналов по существу сводится к вычислению интеграла (58), т.

е. к усреднению условного отношения правдоподобия. Если какие-то компоненты вектора р являются дискретными случайными величинами, то тогда соответствующие компоненты кратного интеграла в (58) переходят в суммы. Действительно, пусть )т — скалярная дискретная случайная величина, принимающая конечное число значений р;~М, 1=1, ..., тп, с вероятностями р*=Р()»=рн). В этом случае априорную плотность вероятностей п»,()г) можно представить в виде суммы дельта-функций: н»о 1р) — ~ р б (И Н ). Подставив это выражение ~в (58), получим м и Л=;»" Р; )' Л(У)Р) 6(Р— Рн) дР= ~ Р;Л(У)Р,). (2.58а) м Рассмотрим задачи обнаружения при наблюдении у(») =Оз()х, ()+$(Г), 6=0, 1; 0 =(е Т ($(1) — белый шум) для типовых моделей квазидетерминированных сигналов, применяемых для аппроксимации реальных радиолокационных и радионавигационных сигналов.

49 (2.62) Что касается условного отношения правдоподобия Л(у~ф), то оно, очевидно, совпадает с отношением правдоподобия для детерминированного сигнала з(ф, /) («р — фиксированная величина). Поэтому согласно (43) имеем ! О т т Л«0Ю=.»0( — ! 0Д «0,0а — — ! «0,««а) . «200« ~0 О !««О О Подставив в это выражение (60), рассмотрим получающиеся интегралы. Корреляционный интеграл т г = )' У (г) 3 («р, г) «(Ж = г, соз «р+ г, яп «р = г, соз (ф — т), (2 64) Сигнал со случайной начальной фазой.

Начальная фаза радиосигнала, как !правило, неизвестна. В этом случае можно использовать модель сигнала з («р, /) = А (г) соз («ОО / + ф (!) — «р), (2 59) где законы амплитудной А(/) и фазовой ф(!) модуляции и частота 020 известны, а начальная фаза «р неизвестна.

Выражение (59) удобно представить в виде з («р, /) = 2! (/) соз ф+ з, (1) яп «р, (2.60) где з! (/) =А (/) соз!0«ОО«/+«р(«) 1, з2 (Е) =А (У) з«п(«ОО/+«р(/)! — квадратурные составляющие сигнала. В байесовской постановке задачи начальная фаза «р интерпретируется как случайная величина, при этом при отсутствии информации об априорном распределении ф естественно считать это распределение равномерным: п«0 (ф) = 1/2 и, 0 ( ф ( 2 22. (2.6!) Отношение правдоподобия Л в рассматриваемой задаче обнаружения сигнала со случайной начальной фазой получается в соответствии с (58) путем усреднения условного отношения«правдоподобия Л(у~ р) по всем возможным значениям фазы: 2«« Л = ) Л (у~ф) геО(ф) «( ф О где т т г! = )" уй)з,(() ж; г,= )' у(/) 22(() ш ΠΠ— его квадратурные составляющие, а 2 2 гО= г! +г2, соз т = г2/г„з! и т = г,/г,.

(2 65) (2.66) Далее, при Т»2п(ооо энергия сигнала от значения фазы ф практически не зависит: т т (' зо (ф, !1 о! = (' А' (!) сохо [в, ! + ф (!) — ф] Ж = Е. о о Таким о|бравом, Л (у,'ф) = ехр ((2/Жо) г, соз (ф — м) — Е/Ыо), Подставляя это выражение и (61) в (62), получаем отношение правдоподобия Л = ехр ( — Е!И,) То (2 гойко), (2.67) где То( ) — модифицированная функция Бесселя нулевого по- рядка. Учитывая, что функция То( ) монотонная, согласно (26) приходим к оптимальному алгоритму обнаружения вида Ы, г, вй.

ов Схема обнаружителя на рис. 2.8,а построена в соответствии с формулами (68) и (66), (66). Этот обнаружитель представляет собой корреляционную схему с двумя квадратурными каналами; физический смысл полученной обработки вполне понятен. Нали- чие двух каналов обусловлено незнанием начальной фазы сигна- ла. Если ~полезный сигнал оказывается сдвинутым по фазе отно- сительно опорного колебания в одном из каналов на 90', то при- ращения напряжения на выходе интегратора в этом канале,не будет. Однако в другом канале соответствующее приращение бу- дет максимальным. Прн этом при двух квадратурных каналах ре- зультат обработки го, как следует из (64) и (66), не зависит от истинного значения |начальной фазы ф сигнала.

Схема оптимального обнаружителя может быть представлена также и в фильтровом варианте (рис. 2.8,б). Действительно, ве- личина го, которую должен формировать обнаружитель, есть оги- бающая колебания го сов(ф — о), иначе говоря, огибающая кор- реляционного интеграла г. Это колебание можно сформировать в соответствии с (64), пропустив наблюдаемый процесс у(!) через фильтр, согласованный с сигналом з(ф, г), т. е. имеющий им- пульсную характеристику вида (46): Ь(!) =з(ф, Т вЂ” !) (здесь ф— фиксированная величина). Отметим, что поскольку результат об- работки го не зависит от значения начальной фазы ф, то ее при реализации фильтра можно брать любой, в частности можно по. ложить ф=0.