Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992), страница 7

Согласно определению минимаксное решение минимизирует максимальное (по всем 0~9) значение функции риска г(О, б). Можно сказать, что минимаксное решение является наилучшим в наихудшей (относительно О) ситуации. При этом иногда оно может быть слишком «осторожным». В общем случае отыскание минимаксного решения — довольно трудная задача. Однако несколько облегчает положение результат Вальда [43), устанавливающий соответствие между минимаксным и байесовскими решениями. Оказывается, что при некоторых слабых ограничениях минимаксное решение является байесовским относительно наименее благоприятного априорного распределения яге„, максимизирующего байесовский риск, т.

е. такого йгв„ при котором пинг ()угв„, б) »пвп г (йу, б) 2.2. РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА ОПТИМАЛЬ- НОГО ОБНАРУЖЕНИЯ Рассмотрим основные критерии оптимальности в задаче обнаружения сигналов и соответствующие им решающие правила. Критерий Байеса. Применительно к простейшей задаче обнаружения неизвестный параметр О, который будем называть параметром обнаружения и обозначать Огпринимает лишь два возможных значения. Пусть это будут О и 1 и пусть значение 6=1 соот- 30 ветствует наличию полезного сигнала в наблюдаемом процессе у((), а 0=0 — отсутствию сигнала. Множество решений о(она в данном случае состоит также из двух элементов: о(! — решение о том, что имеет место ситуация 0=1 (есть сигнал); с(о — решение о том, что имеет место ситуация 0=0 (нет сигнала).

Функция потерь с(0, !() здесь переходит в матрицу потерь: ~ с(0, о(о) с(0, с(т) ~ с (1, !(о) с (1, о(!) Без ограничении общности можно положить с(0, с(,)=-с(1, д!)=О, с(0, о(о)) О, с(1, с(о) ) О. (2.13) Рассматриваемая задача обнаружения эквивалентна так называемой проверке простой гипотезы Н! (утверждение, что 0= 1) при простой альтернативе Но (утверждеиие, что 0=0).

По результатам наблюдения уеву необходимо вынести одно из двух взаимоисключающих решений: с(о или о(!. В этом случае класс решающих функций Ь=эб состоит из всевозможных правил разбиения пространства реализаций У на две подобласти: Уо и У„У= =Уо[)У!. Отыскание байесовского решения 6* сводится к выбору указанных подобластей, при которых средний риск минимален.

Условимся считать, что ( с(о, если уевуо, 6(у) = [ о(о, если уев У!. В рассматриваемом случае средний риск (3) ! г(йто 6)= ~~ РоМ[с(0, б(У))[д[= о=о ! = Х Ро ~ с (О. 6(у)) (у[0) бу (2.15) о=о т где ро=Р(0=1), р!=Р(0=1) — априорные вероятности отсутствия и наличия сигнала, р,+р! — — 1. Учитывая (13) и (14), перепишем (15) в виде (2.14) 31 !. (Я7о, 6) = Ро )' с (О, о(!) !с (У[0) о(У+ Р, )' с (1, о(о) и! (У[1) о(У. (2.16) У! Уа Поскольку Уо= У ~ У, и в силу условия нормировки )'и!(у[0)с(у=1, г(Ят„б) =р,с(0, !(,) — [ р,с(0, о(,) Х У, Х ос (у[ 0) !(у+ ) р! с (1, о(о) ос (у! 1) о(у. (2.17) те Обозначим множество всех реализаций у, для которых рос(0, 4)~о(у(0) )р1с(1, йо)ш(у11), через У'о Тогда при всех уен У" ~с: У ,1о Р„с (О, о(,) и (У10) йУ ),( Р, с (1, г(о) а~ (У11) дУ, 1о 'о поскольку подынтегральные функции неотрицательны.

Возвраща- Ясь к (17), видим, что сРедиий Риск т(1Ро, б) бУдет минимальным, если выбрать Уо=у*о. При этом У1 — — У~ У*о Следовательно, бай- есовское решение йо, если у ~ У", б*(у) = й„если у ~ У'~Уо. Обозначим через Л(у) статистику, т. е. функцию наблюдаемой ре- ализации у, следующего вида Л (у) = ш (у)1)!и (у)0). Эта статистика называется отношением правдоподобия.

Учитывая определение множества У*,, байесовское решение можно записать в виде б*(у) = 4, если Л(у) (й, д„если Л (у) ) й, ~)-( (2.19) где й = р, с (О, с(,)(р, с (1, г(о). (2.20) Таким образом, оптимальное по критерию Байеса правило обнаружения сводится к формированию отношения правдоподобия Л(у) и к сравнению его с константой й — порогом обнаружения. Значение порога определяется априорными вероятностями наличия и отсутствия сигнала и элементами задаваемой матрицы потерь. Статистика, позволяющая найти оптимальное решающее правило, является достаточной. Отношение правдоподобия Л(у)— пример достаточной статистики.

Исходная реализация у также является достаточной статистикой (более подробно см. [52, 561). Критерий Неймана в Пирсона. Чтобы воспользоваться байесовским решением (19) †(20), необходимо знать априорные вероятности ро и рь Однако в задаче обнаружения радиолокационных сигналов они, как правило, неизвестны. В этих условиях следует использовать небайесовский критерий оптимальности — критерий Неймана — Пирсона, при котором байесовских предположений о неизвестном параметре д (см. $ 2.1) не делается.

32 Решающее правило Неймана — Пирсона, как и байесовское, разбивает область У~у на две подобласти: Уь и Уь Однако выбор этих подобластей производится из иных соображений. Введем вероятности ошибочных решений: =- (б(у)=й,( =- )= (у-У,(0) (2.21) — вероятность принять решение «есть сигнал» при условии, что О=О, т. е. наблюдаемая реализация у содержит только шум— вероятность ложной тревоги; Вь = Р (б (У) = г(,16 = 1) = Р (У У,(1) — вероятность принять решение «нет сигнала» при условии, что О=1, т. е. у содержит смесь сигнала и шума — вероятность про- пуска сигнала. Величина (2,23) И=1 — а,=Р(б(у)=аДО=1) =~ (у - У,~1) Структура оптимального обнаружителя.

Как следует из предыдущего, и байесовский критерий, и критерий Неймана — Пирсона приводят к решающему правилу обнаружения, основанному на сравнении отношения правдоподобия Л(у) с некоторым порогом. Отметим, что и минимаксный критерий приводит к решающему правилу такого же типа. Это непосредственно следует из взаимосвязи байесовских и минимаксных решений (см. 5 2.1). Более того, показано 143], что класс решающих правил Л, основанных на сравнении отношения правдоподобия с порогом, является полным. Это означает, что все оптимальные решающие правила в рассматриваемой задаче обнаружения принадлежат именно классу Л. Различие между правилами обнаружения, оптимальными по разным критериям, состоит лишь в разном выборе значения порога й.

Таким образом, в рассматриваемой задаче обнаружения можно говорить об общем критерии оптимальности — критерии от-  — 1ОО 33 — вероятность правильного обнаружения. Согласно критерию Неймана — Пирсона оптимальным решением считается такое, которое обеспечивает пнп Оь (шах 0) прн условии, что вероятность ложной тревоги не больше заданного числа Р (0<Г<1): Р(у~у,/10) <Г. Можно показать (см., например, 1531), что решающее правило Неймана — Пирсона 6*, удовлетворяющее указанному критерию, определяется формулой (19), где Л(у) — отношение правдоподобия (18), а константа й выбирается из условия Р (Л (у) ь й (6 = 0) = Р (у ~ У,(0) = Р. Ряс. 2Л. Структурная схема оптимальаого обяаружителя а ношения правдоподобий, согласно которому оптимальная проце- дура обнаружения имеет вид; а, Л(у) вй.

а, В соответствии с этим критерием оптимальный обнаругкитель (ррс, 2.!) должен формировать отношение правдоподобия Л(у) (блок ОП) и подавать его на пороговое устройство ПУ, где осуществляется процедура сравнения Л(у) с порогом Ь, в результате которой выносится одно из двух возможных решений; г(а (нет сигнала) или х(1 (есть сигнал). Выбор какого-то частного критерия оптимальности (байесовского, г!еймана — Пирсона, мииимаксного) сказывается лишь на значении порога Ь, никак не влияя на основную часть обнаружителя — блок ОП, где происходит оптимальная обработка реализации у. В радиолокации значение Ь порога срабатывания ПУ устанавливается исходя из критерия Неймана — Пирсона.

Для этого необходимо задаться вероятностью ложной тревоги г', тогда соотношение (24) однозначно определяет Ь. Отметим, что при таком выборе порога априорные вероятности отсутствия и наличия сигнала (ре и р,) не требуются (в отличие от байесовского критерия, см. (20)), Однако здесь нужно априори задаваться вероятностью ложной тревоги. Отметим также, что оптимальное правило (25), очевидно, равносильно правилу р(л(у)) ~ р(й) =й', (2.

26) ао где ~р — монотонная функция. Статистика ~р(Л(у)) является достаточной. В том случае, когда отношение правдоподобия Л(у) принадлежит к экспоненциальному семейству функций„в качестве гр целесообразно взять натуральный логарифм. При этом оптимальный обнаружитель упрощается. Сведение сложной гипотезы к простой. Рассмотрим теперь бо. лее сложную задачу обнаружения, когда пространство й значений неизвестного параметра, от которых зависит распределение вероятностей наблюдаемого процесса, содержит помимо значений 6=0 и 0=1 другие возможные значения.

Пусть тв(у((х, !) — ус- 34 ловная плотность вероятностей наблюдаемого процесса для случая 6=1 (сигнал есть), зависящая от неизвестного параметра р~Мс:1В, и пусть ш(у1х, О) — условная плотность вероятностей для случая 6=0 (сигнала нет), зависящая от неизвестного параметра хенКен1В. Параметры )з и к могут быть векторами; они характеризуют распределения вероятностей смеси сигнала с шумом и одного шума соответственно.

Рассматриваемая задача обнаружения состоит в проверке сложной гипотезы при сложной альтернативе. Найдем байесовское (относительно )х и х) решение данной задачи. При байесовском подходе параметры )г и х интерпретируются как случайные величины, априорные распределения которых, в частности плотности вероятностей ва()х), ва(х) (если р, х— непрерывные величины), считаются известными. Зная во(ц) и во(к), можно вычислить следующие плотности вероятностей: в(дИ)= (в(у~р,1)в,(в)(в, я в(у(0) = )' в (у1х, О) в, (х) йх к (2.27а) ) в(у1В, 1) во(у)Л В в (у16 = 1) м в (У10 = 0) ) в (у1к, О) в (а) Л к К (2.27) Выбор порога й можно, как и раньше, производить различными способами.

Критерий Вальда. Ранее предполагалось, что время обнаружения заранее известно, иначе говоря, объем п наблюдаемой выборки у=уь у„..., у„фиксирован. Однако возможен другой подход к задаче обнаружения сигналов, основанный на последовательной проверке гипотез Вальда, когда время наблюдения заранее не фиксировано.