Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992), страница 8

2" 35 После определения этих плотностей приходим к тому случаю, когда распределение вероятностей наблюдаемого процесса зависит от неизвестного параметра, принимающего лишь два значения (0=0 и д=!), т. е. к случаю простой гипотезы при простой альтернативе. В результате рассматриваемая здесь задача сводится к уже изученной ранее, при этом оптимальная процедура обнаружения будет основана на критерии отношения правдоподобия.

Таким образом, структурная схема оптимального обнаружителя остается прежней (см. рис. 2.1). При этом блок ОП должен формировать отношение правдоподобия Согласно критерию Вальда процедура обнаружения определя- ется последовательным решающим правилом вида [' е(о, если Ле(а, 8(Ут " Уь)= ~ с[ь если Ль)Ь; Ь=1, 2, „, (228) [, до, если а(Ль<Ь, где Ле=Л(уь ..., Уе) =ш(Уь У„[О=[у (, „, [О О) отношение правдоподобия на Ь-м шаге наблюдения; а и Ь вЂ” ниж- ний и верхний пороги (постоянные величины); е(о и д, — решение «нет сигнала» и «есть сигнал» соответственно; с(„— решение о продолжении наблюдения.

В отличие от однопороговых обнаружителей (см. правила (19), (25) ) последовательная процедура обнаружения (28) является дв)хпороговой. При этом с порогами сравнивается прежняя ста- тистика — отношение правдоподобия*. Пороги а и Ь определя- ются заданными вероятностями ложной тревоги г и пропуска сигнала 0о. Если отношение правдоподобия Ль (й= 1, 2,...) попадает в об- ласть между порогами а и Ь, то принимается следующее выбороч- ное значение уь+ь формируется Ли+, и процедура обнаружения (28) повторяется до тех пор, пока отношение правдоподобия не окажется ниже порога а нли выше порога Ь.

В результате дли- тельность наблюдения т (т. е. момент времени, когда будет вы- несено решение т(о или А) является случайной величиной. При этом оказывается, что последовательный двухпороговый обнару- житель выигрывает по сравнению с однопороговым обнаружите- лем в среднем времени наблюдения Мт. С физической точки зре- ния это объясняется тем, что при наличии сильного сигнала от- ношение правдоподобия быстро превышает верхний порог Ь (при достаточно большом отношении сигнал-шум указанное превышение может произойти уже после первого отсчета у,). При наличии на входе обнаружителя только одного шума отношение правдоподо- бия может оказаться ниже порога а также после малого числа отсчетов.

Если наблюдения уь ..., у„, ... статистически независимы и од- породнкп т. е. для всех Й описываются одинаковыми плотностями вероятностей ее(уд[6=1), 1=0, 1, то последовательный обнару- житель, реализующий правило (28), является оптимальным в том смысле, что он минимизирует среднее время наблюдения (обна- ружения): М[т[О=О[ =ш(п, М [«[6= 1[ =си(п ' Критерий Вальда именуется также последовательным критерием отношении правдоподобии. 36 в классе всех обнаружителей, для которых вероятности ошибочных решений Г и 1)ю ограничены заданными величинами. Для зависимых наблюдений оптимальный последовательный обнаружитель, как правило, усложняется [53, 561.

Обратим внимание на то, что последовательный обнаружитель имеет выигрыш лишь в среднем времени обнаружения. В отдельных же случаях отношение правдоподобия может долго находиться между порогами а и Ь, так что время обнаружения (в каком-то из сеансов наблюдений) может быть недопустимо большим: т,» »Мт. Этот недостаток устраняется с использованием усеченной последовательной процедуры обнаружения (рис. 2.2). Переключатель П подает на двухпороговое устройство ПУз последовательность Лм л= 1, 2,.... Если окажется, что в течение заданного времени обнаружения (заданного числа и выборок) не будет принято окончательного решения (д, или А), то выход блока формирования отношения правдоподобия ОП переключается с ПУ~ на однопороговое устройство ПУь В результате сравнения А с одним порогом (который выбирается, например, по критерию Неймана — Пирсона) выносится решение д, или А, и процедура обнаружения прекращается.

Отметим, что техническая реализация РЛС с последовательным обнаружителем сложнее, чем при использовании однопорогового обнаружителя. Тем не менее с развитием радиолокационной техники, в частности ФАР, с помощью которых легко осуществляется последовательный неравномерный обзор пространства по угловым координатам, последовательные обнаружители находят все большее применение. Использование последовательных обнару- жителей при поиске сигнала (объекта) в рабочей зоне — один из способов реализации адаптивного обзора, о котором шла речь в в 1.4.

При этом экономится среднее время обзора рабочей зоны. 2.3. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ОБНАРУЖЕНИЯ Качество однопороговой процедуры обнаружения наиболее удобно характеризовать вероятностями ошибочных решений: вероятностью ложной тревоги г" (см. (21)) и вероятностью пропуска сигнала О, (см.

(22)). Вместо О, можно использовать вероятность правильного обнаружения: 11=1 † (см. (23)). Если применяемая процедура обнаружения имеет вид (25), а ш(У~О)= — ш(Уь..., У„)0), ш(У(1)=ш(Уь..., У !1) — и-меРные плотности вероятностей наблюдений при условии 0=0 и 0=1, 37 гл~ ау сб «е ле Рис. 2.3. Диаграмма расчета показа- телей качества обнаружения Рис. 2.2.

Структурная схема после- довательного обнаружителя с усече- нием времени наблюдения иначе говоря, и-мерные плотности вероятностей шума н смеси сигнала и шума на входе обнаружителя, то ы(рх, ..., У„)0) др,'... Йц„, л(а„...,я„)>а 0з= ) - .) ш(рх,-, 9.(1)(рт- (р.. л(и„..„д )<л (2.29) (графическая иллюстрация дана на рис. 2.3). Формулы типа (29) — (30) позволяют рассчитывать вероятности ошибочных реп(ений как для оптимальных, так и для неоптимальных обнаружителей. Анализ последних, безусловно, представляет интерес, поскольку на практике из-за сложности технической реализации оптимальных устройств обычно применяют квазиоптимальную и неоптимальную обработку.

Для оптимальных обнаружителей области интегрирования в (29) задаются отношением правдоподобия Л(уь ..., у„) и соответствующим порогом Ь. Если же анализируется неоптимальный обнаружитель, сравнивающий с порогом й„некоторую статистику Л,(уь ..., у„), то в (29) 38 Расчет вероятностей ошибочных решений сводится, как видим, к вычислению и-кратных интегралов по соответствующим областям.

Однако во многих случаях расчет этих вероятностей упростится, если поступить по-другому: найти вначале одномерные плотности вероятностей отношения правдоподобия Л(уь..., у„) при 6=0 и 6=1 (обозначим через ги(Л10) и ги(Л(1)), иначе говоря, найти плотности вероятностей шума и смеси сигнала и шума на входе порогового устройства (см. рис.

2.1). Тогда вероятности (29) можно представить в виде однократных интегралов: хс'= )' гв (Л(0) д Л, Ва — — )' ш (Л(1) дЛ, П = )' ш (Л(1) г(Л (2.30) и о а вместо Л(уь, уп) и Л нужно подставить Л,(у„..., дв) Ьа. Подобное замечание относится и к (30). Зная плотности вероятностей п>(Л)0) и п>(Л)1) (или и>(Л„(0) и ш(Л )1) при неоптимальном обнаружении), можно по формулам (30) вычислить значения вероятности правильного обнаружения 1т для различных отношений сигнал-шум <) и различных вероятностей ложной тревоги Г.

Зависимость 0 от а при фиксированном значении т называется характеристикой обнаружения. Семейство этих характеристик для различных т" позволяет определить пороговое отношение сигнал-шум <)сею т. е. такое, при котором обеспечиваются заданные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги. Через вероятности ошибочных решений можно выразить н другие показатели качества обнаружения, например байесовский риск. Из (16) с учетом (14) и (19) следует, что байесовский риск при обнаружении г(йте, б")=рос(0, >(т) ) ю(у)0)><у-(- л<а> ь + рте(1 йо) ) ю(у)1) <<у = рос(0, ог) го+рта(1 <<е) с>а (3 3!) л<д><ь Ьайесовский риск служит мерой качества работы только оптимального байесовского обнаружителя.

Однако можно получить выражение и для сред- него риска г()уе, б,) «г()уа, бе), соответствующего некоторому неоптимальнол, му решающему правилу обнаружения б„типа Лч(у) ~«Ь,. Средний риск г(йте, Ла 6„) будет определяться формулой (31), если в ней заменить Л(у) и й на Л„(у) и»„соответственно, а под г и О, понимать вероятности ошибочных решений неоптимального обнаружителя. Отметим, что средние риски г(йте, б') и г()(га, 6,) могут характеризовать качество оптимальных и неоптимальных обнаружителей только при байесовс- кой постановке задачи, т. е.

когда априорные вероятности (рм р,) существуют и известны В то же время при описании качества обнаружения показателями (30) априорные вероятности не нужны. Рассмотрим теперь показатели качества последовательного обнаружения: вероятности ложной тревоги р и пропуска Оо и, кроме того, статистические характеристики длительности наблюдений. Отметим, что в отличие от однопорогового обнаружения, при котором вероятности т и Ре взаимосвязаны (увеличение одной влечет за собой уменьшение другой, см. рис. 2.3), при последовательном обнаружении т и Оо задаются независимо. Онн опреде. лают значения порогов а и (>.

Чтобы установить эту взаимосвязь, обратимся к правилу (28). Как видим, если Ль(а, т. е. если п>(У<, ..., уь!О=1) =аш(уь ..., уь(6=0), то выносится решение к(а (сигнала нет). Это неравенство выполняется для всех у<, ..., ую 39 принадлежащих области Ув . 'Ла(а. Проинтегрировав обе части неравенства по всем уь -, уаенум получим !)0(а(1 — р) или а)0,/(1 — р).

Аналогично, учитывая, что при Ла)Ь выносится решение с(ь находим 6((! — )л0)/Р=й/Р, При малом отношении сигнал-шум (случай близких гипотез) полученные неравенства переходят в приближенные равенства: а — )),1(! — г), б (! — ~.")0)(Р. (2.32) В ряде задач при непрерывном времени наблюдения приближенные формулы (32) становятся точными (56).

Что касается статистических характеристик длительности наблюдения т, то из них наименее сложно рассчитываются средние значения та — — М(т)О=О], т1=М(т)6=11. Если Т вЂ” фиксированное время наблюдения при однопороговой процедуре для заданных вероятностей Р и Й0, то эффективность последовательного обнаружения (при тех же р и йа) по сравнению с однопороговым характеризуется отношениями р, = ,1т, р, = ,1Т. (2.33) Далее полученные общие соотношения будут применены к синтезу и анализу оптимальных обнаружителей для конкретных моделей сигналов и помех, используемых в радиолокации и радионавигации.