Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры, страница 2

Если матрица А вещественна, то сопряженная с ней матрица совпадает с транспоннрованной. О п р е д е л н т е л е и квадратной матрицы называется определитель, элементы которого равны элементам матрицы. Определитель матрицы А обозначается через (А,'. Далее, любой определитель, строки и столбцы которого „укладываются' в строки и столбцы матрнцтя называется ми нор о и этой матрицы. Подробнее, минор порядка Ь матрицы А есть определитель Ь-го порядка, сосгавленный из элементов, находчщихся на пересечении некоторых 7г строк н Ь столбцов матрицы А в их естественном расположении.

Р а н г о м матрицы А называется максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы. Иначе, рангом ма~рицы называется такое число г, что среди миноров матрицы существует минор порядка г, неравный нулю, а все миноры порядка г+ 1 и выше равны нулю или не могут быть составлены. 2. Умножение матриц на число н сложение матриц. П ронявзв е д е н и е м матрицы А = (а;1) н а ч и с л о а называется матрица, элементы которой получены из элементов матрицы А умножением на число еп пан аагз ...

аа, (6) ппш ппяз ' ' ' пп~чг Суммой двух прямоугольных матриц А=(а;1) и В=(ЬВ), имеющих одинаковое число как строк, так и столбцов, называется матрица С, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т. е. ан + Ьц а„ + Ь„ ... а,, +Ь„„ ам+Ьм паз-+Ьзз ., а, -+Ь, (7) а„, + Ьгл а„а+ Ь„, ...

а„+ Ь„ Введенные выше операции, как это нетрудно видеть, обладают свойствами: 1. А + (В + С) = (А + В) + С. 2. А+В =В+А. 3, А+О =А, основные сведения из линейной АлГеБРы [ГЛ. 1 4. (а+ р) А = пА+ рА. б. а(А+В) =пА+аВ. 6.

1 А =А. 7. и (рА) = арА. Здесь А, В и С матрицы, а а и р числа. 3. Умножение матриц. Умножение матриц А н В определяется только в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В этом предположении элементы произведения С определяются следующим образом: элемент 1-й строки 1-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов ьчй строки матрицы А на соответствующие элементы У-го столбца матрицы В. Таким образом, б12 ... Ььр 21 1~22 72Р оп а,з анн ЛЫ Л2, ...

Пм п~з ' л7197 бж! '7 712 ° "ььььр С11 С11 . С!Л Сгь С22 ... Сьр (8) с„р где Например — 9 7 ! 1 2 1 1 1 1 1 2 с12 —— пгД)+и;21721+ ... +аььььб912 (1=1, ..., л; г'.=1, ..., р). (9) Заметим, что произведение двух прчмоугольных матриц есть снова прямоугольная матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы. Так, например, произведение квадратной матрицы на матрицу, состоящую из одного столбца, есть матрица из одного столбца. Перестановочный закон при умножении матриц, вообще говоря, не имеет места. Легко видеть, что сама постановка вопроса о равенстве матриц АВ и ВА имеет смысл только для квадратных матриц А и В одинакового порядка. Лействнтельно, матрицы АВ и ВА ильеют смысл одновременно только в случае, если число строк первой матрицы равно числу столбцов второй, а число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

При выполнении этих условий матрицы АВ и ВА обе будут квадратными, но разных порядков, если А и В не квадратные. Но даже и для квадратных матриц одинакового порчдка, вообще говоря, АВ + ВА. МАТРИЦЫ В отдельных случзях умножение может быть коммутативно— в таком случае матрицы называются п е р е с т а н о в о ч н ы и и. Так, например, скалярные матрицы перестановочны с любыми квадратными мзтрицами того же порядка, нбо а 0 ... 0 Оа...О а„а, ... а„, аю аю ° аав О 0 ... а ас ац а„ ...

аес аы ааа ... аас а 0 ... О О а ... О О О ... а аац аан ... аа,„ ааы аа. ~ ° ° ° апач аю ава ' ' аис аащ аа а ааАп Из последней формулы следует особач роль единичной матрицы при умножении матриц. Именно, единичная матрица среди всех квадратных матриц дзнного порядка играет такую же роль, как число единица среди чисел. Действительно. АЕ = ЕА = А. Можно доказать.

что умножение матриц ассоциативно, именно, если АВ и (АВ)С имеют смысл, то имеют смысл ВС н А(ВС) и А(ВС) =(АВ) С. ~~.", аг„~У Ьюса)1 = ~~."~ У, аыЬ„с Таким образом, соответствующие элементы матриц (АВ)С и А(ВС) равны, следовательно, равны и сами матрицы. Произведение матриц обладает также свойствами: а (АВ) = (аА) В = А (аВ) (А+В)С =АС+ВС С(А+ В) = СА+ СВ, где А, В, С матрицы, а а число. Имеет место следующее правило транспоннрования произведения: (АВ)' = В'А'.

(10) Действительно, элемент 1-й строки и у-го столбца (АВ)С равен ~~~~~'.~аыЬ, ~ с. =,~,,~~аыЬ„-с ), а элемент 1-й строки и у'-го столбца матрицы А(ВС) равен ГС'!ОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕйНОй ЛЛГЕБРЫ [ГЛ. 1 12 Действительно, элемент 1-й строки и /-го столбца матрицы (АВ)' равен элементу у-й строки и 1-го столбца матрицы АВ, т. е. равен оу!д!1+а~ада!+ ... +аз д„н. Последнее вырзженне, очевидно, равно сумме произведений элементов 1-й строки матрицы В' на соответствующие элементы у'-го столбца матрицы А', т.

е. равно элементу 1-й строки и у-го столбца матрицы В'Л'. Ясно также, что АВ= А В (АВ)* = В'Л'. (! 1) !в! А=— — я! ''' Иего†а ... а д!! дш В= ~та! дт!! . и п(т, то аы ... а1; 1 и )АВ( = ~1!!! ' ' ~1п!! 1,С1,(...С1, ат .. а!!1и 1 В частности, при т = и бт...д„„ ан ... аш (ЛВ)= аеа ... аи„ т. е. определитель произведения двух квадратных матрии равен произведению определителей перемножаемвгх матриц. 4.

Разбиение матриц ни клетки. Иногда бывает целесообразно свести вычисления над матрицами высоких порядков к вычислениям с матрицами меньших порядков. Такое сведение осуществляется при помощи разбиения данных матриц на так навываемые клетки. Именно, Как уже говорилось выше, матрица АВ будет квадратной, если число и строк матрицы А равно числу столбцов матрицы В, Обозначим через т число столбцов матрицы А (оно равно также числу строк матрицы В, так как только при этом условии произведение АВ имев~ смысл).

г!з теории определителей известно, что определитель матрицы ЛВ равен нулю, если и) т, и равен сумме произведений всех миноров порядка и, составленных нз матрицы А, на соответству1ощне миноры, составленные из матрицы В, если и (т. Точнее, если $11 МАТРИЦЫ каждую матрицу можно представить и притом многими способами как состоящую из нескольких матриц меньшего порядка.

Например, а12 а13 а14 агз агг азз аг а31 азг азг 1234 ап а„ аы аы а„ам ~ а„а,з а21 а22: а23 аг4 ° азз азг 1 азз аз, а21 ! а22 агз а24 азз ! азг азз ам А„А,З ... А,к Аг, Агг ... Агк Ак, Акг ... Акк В„В1, ... Вгк В„ВЗ, ... Вгк Вк Вкз Вк причем Ан и Вн †квадратн матрицы одинаковых порядков, то Ам+В, А, +В, ...

Ап,+В,к Ам+ Вм Аш+ Вм .. Агк+ Вгк (12) — Акк+ Вкз Акг+ В» Акк + Вгзк и Сц С„... С,к С„... Сгк АВ = (.! 3) С„, Ск, ... Ск„ где СЗ~=А41В,~+А42В~+ ... +А42Вк~ 1, /=1,.... а. Матрицы, на которые разбивается данная матрица, называются клетками. При клеточном разбиении предполагается, что горизонтальные и вертикальные разделяющие линии пересекаю~ всю матрицу. Мы не будем останавливаться на общем случае разбиения матриц па клетки, а рассмотрим лишь такие разбиения квадратных матриц, при которых диагональные клетки квадратны. Основные действия над матрицами с диагональными клетками одинаковых порядков естественным образом связываются с действиями над самими клетками.

Именно, если 14 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ ЛЛГЕЗРЫ (гл. ! Действительно, все произведения АНВВ имеют смысл, так как число столбцов матрицы Ам всегда равно числу строк матрицы Вон Сумма АНВ,.+ ....+А22В„1 имеет смысл, так как все слагаемые матрицы имеют одинаковое строение.

Далее, пусть с„есть не- который элемент клетки СВ. Тогда с„з = (а„гэ,; + ... + Л,2,Ь2 З) + +. + + (а„22, гб„„+ гэ + ... + а„,,„д,л,) Здесь вм за — ео ..., 22 — зь, обозначают поРЯдки матРиц Ан, А„,..., Ами Ясно, что заключенные в скобки слагаемые, на которые мы разбили с„, явлвотся элементамн матриц АггВ,1,... ..., А;ЕВ22ь занимающими в этих матрицах такое же пололгение, какое занимает с,з в матрице С;1.

Следовательно, СЫ-— — АНВ„+ ... +АОЕВЕН Формулы (12) н (13) показывают, что действия с матрицами, разбитыми на клетки указанного вида, производятся так, как будто на месте клеток находятся числа. Важным частным случаем клеточных матриц являются о к а й- м л е и н ы е м а т р и ц ы.

Именно, пусть мы имеем квадратную ма- трицу А„, порядка л — 1: а12 ... а,„, аг, П2 П22 ''' П2,~ — Г А„,= Пч — ГЛ Лв-ГЛ ° ° ПН-Г, ч-2 Образуем квадратную матрицу л-го порядка А„, присоединяя к матРнце А„, стРокУ о„, =(а2н ... а„„г), столбец и„г = =(ан, аа„... а„, „)' и число а„„: ан2 А„, Лв — г,в аг...а„„гав Будем говорить, что матрица А„получена окаймлением матрицы А„,. Матрица А„естественным образом разделена на клетки.

Действия над окаймленными матрицами производятся согласно общим правилам действий над клеточными матрицами. Пусть 15 Ф 1] МАТРИЦЫ две окаймленные матрицы порядка и. Смысл обозначений М, о, и, а н Р, х, у, Ь тот же, что и в определении. Тогда справедливы следующие равенства: м М+Р и+у о-4-х а+5 МР+ их Му+ и13 оР + ах ну+ ай (15) А+В= Здесь МР и их — матрицы а — 1-го порядка; Му и ий — столбцы, состоящие нз п — 1-го элемента, оР и ах — аналогичные строки и. наконец, оу+ ай — чисто.

5. Квизидиагональные матрицы. 'Рассмотрим еще один частный случай клеточных матриц, именно так называемые квазидиагон а л ь и ы е и а т р и ц ы. Квазндиагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой вдоль главной диагонали расположены квадратные клетки, а остальные элементы равны нулю.

Например, матрица 7-го порядка ан а„ 1 0 а„азз ! 0 1 00100 00100 о о:: йн 7312 7333: о о 0 0 :: дз, йгз 523 ! 0 0 О О 1 ггзг ггзз ггзз 1 О О 0 О~ 0 0 О!сц сж 0 0: 0 0 0: с„сз квазидиагональна. Клетками этой матрицы будут, очевидно, матрицы 1322 мзз '322 523 '332 '333— 7гц йзг зз 5 и шесть нулевых матриц. Если строение двух квазидиагональных матриц одинаково, то произведение таких матриц будет также квазидиагональной матрицей того же строения, диагональные клетки которой равны произведениям соответствующих клеток перемножаемых матриц.