Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу, страница 10

П р и м е р ы сепарабельных пространств: любое метрическое пространство, состоящее из конечного числа точек; любое евклидова пространство )!Я; С [а, Ь); 1, (задачи 345 — 347), любой компакт (задача 350); пространство М [а, Ь) (задача 351); здесь М [а, Ь) есть М ([а, Ь]) (см. задачу 129).

Базисом открытых множеств (нлн просто базисом) метрического пространства Х называется всякое семейство открытых множеств, обладающее тем свой- * Очевидно, что множество Е конечно тогда и только тогда, когда Х конечно (в этом случае Е = Х); для бесконечного сепарабельного пространства Е всегда счетно. 36 ством, что любое открытое множество пространства Х является объединением некоторой совокупности множеств из этого семейства. П р и м е р ы базисов: 1) все открытые множества метрического пространства Х образуют базис этого пространства; 2) все интервалы на числовой прямой Ф образуют базис в Ф; 3) все интервалы с рациональными концами образуют базис в )7х.

Пространство Х называется пространстгом со счетным базисом, если оно обладает хотя бы одним счетным базисом (т. е. базисом, образованным счетной совокупностью открытых множеств). Т е о р е м а 1. Для того чтобы метрическое пространство имело счетный базис, необходимо и достаточно, чтобы оно было бесконечно и сепарабгльна (см. задачу 355). Т е о р е м а 2. Мощность согокупности всех открытых (гсгх замкнутых) миозггста сгпарабгльного пространстга ие прегосходит мощности континуума (задачи 358 — 359). Т е о р е м а 3.

Мощность любого сгпарабгльного пространства не прггосходит мощности континуума (задача 360). Точки конденсации. Точка Мь б Х называется точкой конденсации множества Е с: Х, если в каждой ее окрестности содержится несчетное множество точен нз Е. Те о р е и а 4 (Л и н д е л еф а). Если множество Е г сгпарабельном пространспмг Х не имеет точек конденсации, принадлгхсащих Е, то Е не более чгм счетно (задача 366).

Т е о р е м а 5. Множестго точек конденсации произгольного множества Е г сгпарабгльном пространстге совершенно (задача 367). Теорема б (Кантора — Бендиксона). Любое замкнутое множгстго Р г сепарабельном пространспюг представимо г виде объединения дгух множеств: совершенного и ие более чем счетного (задача 368). Т е о р е и а 7. Замкнутое множество г полном сепарабельном пространстге либо не более чем счетно, лабо имеет мощность континуума (задача 371). Связность.

Множества А и В в метрическом пространстве Х называются разъединенными, если они непусты и ни одно из них не содержит точен прикосновения другого. Ясно, что разъединенные множества не пересекаются (хотя обратное неверно). Ясно также, что если А и В разъединены и Ах с А, Вз с В, причем Ах и Вз непусты, то Ат н Вг также разъединены. Множество Е называется сгязным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух разъцдиненных множеств. Если же Е представимо в виде объединения двух разъединенных множеств, то оно называется несвязным.

П р и и е р ы. Пустое и одноточечные множества связки в любом метриче.- ском пространстве. На числовой прямой Юг связиы, кроме того, любые промежутки, и только они (задача 395). Задачи 303. Доказать, что любое относительно компактное множество ограничено, а любое компактное — ограничено и замкнуто.

304. Доказать, что для компактности множества Е-в метриче. ском пространстве Х необходимо и достаточно, чтобы оно было относительно компактно и замкнуто в Х. 305. Доказать, что любое замкнутое подмножество компакта есть компакт. 300. Пусть Š— относительно компактное подмножество пространства Х. Доказать, что Е компактно. 307. Доказать, что множество Е функций у = йх', где й пробегает отрезок [О, 3), компактно в С[О, Ц. 308.

Доказать, что множество Е всех функций у =йх+ Ь (О ( й ( 1, О < Ь ( 1) компактно в С [О, Ц. 309. Доказать, что множество Е всех непрерывных на [О, Ц функций таких, что 1~ (х)! ( А (где А — фиксированное положительное число), ограничено и замкнуто в С [О, Ц, однако не компактно (и даже не относительно компактно). 310. Привести пример замкнутого ограниченного множества в 1„не являющегося компактом.

311. Пусть А и  — непустые относительно компактные множества в пространстве Х. Доказать, что числа р (х, у) (где х 6 А, у 6 В) образуют ограниченное числовое множество. 312. Доказать, что объединение конечного числа компактов есть компакт, а объединение конечного числа относительно компактных множеств — относительно компактное множество. 313.

Доказать, что пересечение любой совокупности компактов есть компакт; доказать аналогичное утверждение для относительно компактных множеств. 314. Пусть А ~ Х и В с: У, причем А и В непусты. Доказать, что для компактности множества А х В в пространстве Х х У, наделенном метрикой, указанной в задаче 146, необходимо и достаточно, чтобы А и В были компактами. 315. Доказать, что для относительной компактности непустого множества А ~ В в Х х У необходимо и достаточно, чтобы А было относительно компактно в Х, а  — в У. 316.

Доказать, что всякий компакт есть полное пространство. 317. Пусть А„ А„ ... — непустые компактные множества в метрическом пространстве Х, причем А,:з А,:» ... Доказать, что () А„ непусто, причем если б(ат А„ -+- О, то () А„ состоит из един- В и ственной точки (теорема Кантора).

318. Пусть А„А„... — убывающая последовательность компактов и К = ПА„. Доказать, что для каждого е > О найдется тал кой номер У, что А„с: У (К, е) для всех и > М (где У (К, е) = = () У (х, ). к 319. Пусть А„А„... — убывающая последовательность компактов, пересечением которых является одноточечное множество. Доказать, что Фащ А„-+.

О при и — ~- +со. 320. Пусть (Е,.) — последовательность множеств в метрическом пространстве Х таких, что а) Е, — компакт для каждого 1; б) Е; с: Ег т для каждого 1 > 1. Доказать, что П Е, непусто. По- $ казать на примере, что это утверждение становится неверным, если условие б) заменить на б'): Е, с: Е;, для каждого 1 > 1.

321. Пусть 6„6„... — возрастающая последовательность открытых множеств такая, что замыкание 6 их объединения 6 есть компакт. Доказать, что для каждого е > О существует номер М такой, что для всех л > М имеет место включение Рг 0„~ У (Рг О, е). 322. Привести пример последовательности непустых замкнутых ограниченных множеств (Е„) в полном пространстве Х таких, что 1) Е„, ~ Е„для всех и, 2) Д Е„пусто.

л 323. Пусть (Е„) — последовательность компактов такая, что пересечение любой конечной совокупности этих компактов непусто. Доказать, что пересечение Д Е„всех этих компактов также непусто. П 324. Остается ли в силе результат предыдущей задачи, если, все Е„лежат в полном пространстве Х, а условие компактности множеств Е„заменить условием их замкнутости и ограниченности? 325. Доказать, что, для того чтобы множество Е в метрическом пространстве Х было относительно компактным, необходимо, а в случае полноты Х и достаточно, чтобы Е было вполне ограниченным (теорема Хаусдорфа). 326.

Доказать, что для относительно компактного множества в метрическом пространстве можно пРи любом е > О выбрать конечную е-сеть так, чтобы оиа содержалась в этом множестве. 327. Доказать, что, для того чтобы множество Е в метрическом пространстве Х было компактно, необходимо, а в случае полноты Х и достаточно, чтобы Е было замкнуто и вполне ограничено. 328. Пусть Š— множество в полном метрическом пространстве Х. Доказать, что если при любом е > О существует относительно компактная а-сеть для Е, то Е относительно компактно. Верно ли это утверждение, если Х неполно? 329.

Доказать, что в евклидовом пространстве Я" любое ограниченное множество Е относительно компактно (теорема Больцано — Веиерштроеса) . 330. Доказать, что в евклидовом пространстве )с" любое замкнутое ограниченное множество компактно. 33!. Доказать, что любое относительно компактное (а следовательно, и любое компактное) множество в 1, нигде не плотно в 1,. 332. Доказать, что любое относительно компактное (а следовательно, и любое компактное) множество в С (а, К нигде не плотно в С (а, Ь1. 333. Будем говорить, что множество Е в метрическом пространстве Х обладает свойством Н, если его пересечение с любым замкнутым шаром компактно.

Доказать, что любое компактное множество обладает свойством Н и что любое множество, обладающее свойством Н, замкнуто. 334. Показать, что в евклидовом пространстве )с" класс всех замкнутых множеств совпадает с классом множеств, обладающих свойством Н (см. предыдущую задачу). Построить пример полного метрического пространства и замкнутого множества в нем, не обладающего свойством Н. зэ 335. Доказать, что множество Е, обладающее свойством Н (см.

задачу 333) в С Га, Ь"), нигде не плотно в С ! а, Ь1. 336. Доказать, что, для того чтобы множество Е в метрическом пространстве Х было бикампактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было компактным. 1 1 337. Дано счетное компактное множество Е = ~0, 1, —, —, ..., 2' 4 — Его покрывает система интервалов )1 — е, 1 -1- е(, 1 2«' 1 где е — заданное положительное число, меньше чем —, Выделить 2 из этой системы интервалов конечную систему, покрывающую множество Е. 338. Дано счетное множество Е = !'1, —, — ° покрывает система интервалов: 1 где 0 < е < —. Можно ли из этого покрытия выделить конечное 3' покрытие множества Е? 339. Дано замкнутое счетное множество Е = (1, 2, 3, ..., и, ...).

Его покрывает бесконечная система интервалов: 11 — е, 1 + е(, ')2 — е, 2 + е(, )3 — е, 3 + е(, ..., )и — е, л + еь ..., где е — произвольное положительное число. Можно ли из этого покрытия выделить конечное покрытие? 340. Рассмотрим на плоскости открытый круг Е единичного радиуса с центром в точке О; проведем концентрическую окружность С 1 радиуса — и построим семейство всевозможных открытых кругов 3 2 радиуса —, центры которых лежат на окружности С.