Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу, страница 13

417. Доказать, что любое измеримое множество Е на прямой (не обязательно ограниченное) такое, что О < тЕ = р < +со, содержит ограниченное измеримое подмножество меры д, где д— произвольное заданное положительное число, меньшее, чем р. 418. Пусть Š— измеримое множество на прямой такое, что О < тЕ =- р < + со, а д — какое-либо положительное число, меньшее, чем р. Доказать, что существует ограниченное с о в е рш е н н о е множество М с: Е такое, что л«М = д. 419. Доказать, что всякое измеримое множество Е положительной линейной меры имеет мощность континуума. 420.

Доказать, что любое измеримое множество Е на плоскости, имеющее положительную плоскую меру р, содержит измеримое подмножество М плоской меры д, где д — произвольное заданное положительное число, меньшее, чем р. 421. Доказать, что плоское множество М ~ Е (см. предыдущую задачу) можно выбрать совершенным.

422. Может ли равняться нулю мера множества, которое содержит хотя бы одну внутреннюю точку? 423. Можно ли построить на отрезке ~а, Ь) замкнутое множество линейной меры Ь вЂ” а, отличное от всего отрезка? 424. Может ли пересечение Е = () Е„убывающей последовательности (Е„) измеримых множеств бесконечной меры иметь бесконечную меру? Конечную меру, отличную от нуля? Меру нуль? 425. Может ли объединение Е = () Е„возрастающей послеп довательности измеримых множеств конечной меры иметь конечную меру? Бесконечную меру? ат 426.

Пусть Š— множество всех тех точек отрезка [О, Ц, в разложении которых в б е с к о н е ч н у ю двоичную дробь на всех четных местах стоят нули. Доказать, что Е нигде не плотно и что мера Е равна нулю. 427. Может ли неограниченное измеримое множество на прямой иметь конечную положительную меру? 428. Доказать, что всякое непустое замкнутое множество меры нуль на прямой нигде не плотно.

Решить аналогичную задачу для плоскости и для трехмерного пространства. 429. Пусть множество Е на отрезке [О, Ц имеет меру нуль. Должно ли и его замыкание Е быть множеством меры нуль? 430. Пусть Š— нигде не плотное множество меры нуль на отрезке [О, Ц. Должно лн и его замыкание Е быть множеством меры нуль? 431.

Доказать, что если Š— измеримое множество положительной меры на прямой, то в нем найдутся точки, расстояние между которыми иррационально. 432. Доказать, что если Š— измеримое множество положительной меры р, расположенное на отрезке [а, Ь], то в нем найдется хотя бы одна пара различных точек, расстояние между которыми рационально. 433. Доказать, что если Š— неограниченное измеримое множество положительной меры на прямой, то в нем найдется хотя бы одна пара различных точек, расстояние между которыми рационально.

434. Каково строение и какова мера множества Е тех точек отрезка [О, Ц, которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7? 435. Каково строение и какова мера множества тех точекотрезка [О, Ц, десятичное разложение которых невозможно без цифры 7? 436.

Каково строение и какова мера множества Н всех тех точек прямой, которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7 после запятой? 437. Каково строение и какова мера множества точек отрезка [О, Ц, в разложении которых в бес к о н е ч н у ю десятичную дробь фигурируют все цифры от 1 до 9? 438. Каково строение и какова мера множества тех точек отрезка [О, Ц, которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 2, 2, 2? 439. Около каждой точки канторова множества описан интервал длины 0,1 с центром в этой точке. Чему равна мера объединения всех этих интервалов? 446. Пусть Зао Ь,[, ..., 1а„, Ь„[, ...

— смежные интервалы нигде не плотного совершенного множества Е меры 0,6, расположенного на отрезке [О, Ц н такого, что!п1 Е = О, зпр Е = 1. Опишем около Ь| — гч . каждой точки ап как около центра, интервал и, длины 4 такие же интервалы о длины ' ' опишем около каждой точки Ь! — а1 4 Ьп Покроет ли множество (() и,) () (() о1) все множество Е? Что а можно сказать о мере множества (() и1) () (() о!)? 441. Можно ли представить отрезок ~О, Ц в виде объединения двух непересекающихся измеримых множеств А и В так, чтобы для каждого интервала Да, ЬГ с ГО, Ц имело место: т ()а, 61 П А) > О и т ()а, 6( П В) > О? 442. Может ли объединение счетной совокупности нигде не плотных совершенных множеств на отрезке ~а, 6) иметь меру, равную Ь вЂ” а? 443. Может ли объединение счетной совокупности п о п а р н о н е п е р е с е к а ю щ и х с я нигде не плотных совершенных множеств на отрезке ~а, 6) иметь меру, равную Ь вЂ” а? 444.

Существует ли на отрезке (О, Ц несчетное множество меры нуль, плотное на этом отрезке? 445. Пусть (Е„) — последовательность измеримых множеств на отрезке [О, Ц, обладающая тем свойством, что для любого е > О нзйдется такое й, что тЕ„> 1 — е. Доказать„что мера объединения Е этих множеств равна 1. 446. Доказать, что если Е, и Е, — измеримые множества в евклидовом пространстве, то !пЕ1 + гпЕ, =т (Е1 0 Е ) + т (Е1 П Ез). 447.

Доказать, что для любой конечной или счетной совокупности (Е, ) измеримых множеств в евклидовом пространстве имеет место неравенство ,~~ тЕ, ~ (т ( 0 Еа) + Х т (Е1 П Е!). а а а <! 448. В замкнутом параллелепипеде 7 с ребрами единичной длины заданы и измеримых множеств Ам А„..., А„, сумма мер которых боль!не чем и — 1: !пА, + тА, + ... + тА„> и 1.

Доказать, что П А, имеет положительную меру. 1<1<аа 449. Пусть (Е„) — убывающая последовательность измеримых множеств в евклидовом пространстве и е — заданное положительное число. Доказать, что существует убывающая последовательность замкнутых множеств (Р„) такая, что для каждого и имеет место Е„с: Е„, тР„> тń— е. 450. Пусть Š— измеримое множество на прямой, й — произвольное действительное число. Обозначим через ФЕ множество всех точек вида Ьх, где х пробегаег Е. Доказать, что множество ИЕ измеримо и т ((аЕ) = ~Ь) ° тЕ. Пусть Š— измеримое множество в )сл и т (Е 0)е(х,, а)) Если 1пп существует, то е е т) (хо. е) плотностью множества Е в точке хь.

Ясно, называется точкой плотности для Е, если и реяеекия. хь ЕР". его значение а называется что О ~ (а ~ (1. Если а = 1, то хь = О, то хь называется тачкой раз- 452. Какова плотность круга х'+ у' ( 1 в различных точках плоскости )сз? Каковы его точки плотности и точки разрежения? 453. Какова плотность множества Е = ) — 1, 0[0]О, 1[() (2) на прямой? Каковы его точки плотности и точки разрежения? 454.

Построить множество на плоскости, имеющее в данной точке М, Е )сз плотность, равную заданному числу а 6")О, 1[, 455. Построить множество на прямой, имеющее в данной точке х, плотность, равную заданному числу сь Е )О, 1[. 456. Пусть Š— измеримое множество на прямой и пусть точка 0 принадлежит Е и является его точкой плотности. Доказать, что существует совершенное множество Р ~ Е, для которого 0 также является точкой плотности. 457. Пусть Š— неизмеримое множество на прямой, А — множество меры нуль на той же прямой.

Доказать, что множество Е П СА неизмеримо. 458. Пусть А,  — открытые множества конечной линейной меры на осях Ох и Оу соответственно. Доказать, что лаз (А ус В) = = пз,А тьВ. 459. Пусть А — множество линейной меры нуль на осн Ох,  — произвольное множество на оси Оу. Доказать, что множество А ус В имеет плоскую меру нуль. 460. Доказать утверждение задачи 458 для случая, когда А с" с Ох, В с Оу — произвольные измеримые множества конечной линейной меры.

461. Пусть А с: Ох, В с Оу линейно измеримы, причем пз,А = = +со, 0 ( тзВ ( +оо. Доказать, что А х В измеримо в смысле плоской меры, причем гпз (А х В) = + 462. Обозначим через Е множество всех тех точек квадрата [О, Ц к [О, Ц, у которых обе координаты иррациональны. Построить совершенное множество М с: Е положительной плоской меры. В задачах 463 †4 под Х подразумевается произвольное евклидова пространство, а под т (или т) — мера (или внешняя мера) множества в этом пространстве.

451. Пусть измеримое множество Е на прямой обладает тем свойством, что при любом 6 > 0 множество Е П ) — 6, 6[ имеет положительную меру. Пусть, кроме того, 0 с Е. Доказать, что существует совершенное множество Я с: Е такое, что ш (1;) [) 3 — 6, 6[) >0 при любом 6 > О. 463.

Доказать, что при добавлении к произвольному множеству Е с: Х или при изьятни из него множества Н меры нуль внешняя мера множества Е не меняется. 464. Доказать, что для любого множества Е с: Х конечной внешней меры и любого числа е > О существует такое открытое множество А:» Е, что тА — е < тЕ < глА. 465. Доказать, что для любого множества Е ~ Х существует такое содержащее его множество В типа б, что л»В тЕ. 466. Пусть Š— ограниченное множество в Х, 1 — какой-либо замкнутый параллелепипед, включающий Е. Доказать, что если т! = тЕ + т(1 ~ Е), то Е измеримо.

467. Пусть Е с Х. Доказать равносильность следующих утверждений: 1) Е измеримо. 2) Для каждого е > О существует открытое множество 6 такое, что С:» Е и и (6 '~ Е) < а. 3) Для каждого е > О существует замкнутое множество Р такое, что РсЕн гл(Е'~ Р) <а. 4) Существует множество А типа 6 такое, что А:» Е и гп (А ~, Е) =О. 5) Существует множество В типа Р такое, что В ~ Е и т (Е ~ В) = О.

Иначе говоря, любое из условий (2) — (5) равносильно нзмеримости множества Е. 468. Доказать, что для измеримости множества Е с: Х необходимо и достаточно выполнение любого из следующих условий: а) Для каждого е >О существуют замкнутое множество Р иоткрытоебтакие,чтоРс Ес0ит(0",Р) <а. б) Существуют множество А типа 6 и В типа Р, такие, что ВсЕ~А и т(А'~В) =О.

469. Доказать следующий признак Валле-Пуссена: <Для того чтобы множество Е ~ Х конечной внешней меры было измеримо, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > О существовало такое множество Н, составленное из конечного числа открытых параллелепипедов, что т (Е5Н) < е». ЧАСТЬ ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ Глава Зг(().