Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу, страница 12

Можно ли открытый круг на плоскости представить в виде пересечения двух открытых множеств, отличных от всей плоскости, объединение которых есть вся плоскость? 399. Пусть Х и У вЂ” метрические пространства. Доказать, что для связности непустого множества Е х Р в пространстве Х х У, наделенном метрикой, указанной в задаче 146, необходимо и достаточно, чтобы Е и Р оба были связны. 400. Доказать, что любые две точки связного открытого множества се иа плоскости можно соединить ломаной, каждое звено которой параллельно одной из осей координат.

401. Пусть (А„) (а Е А) — некоторое семейство связных множеств с непустым пересечением. Доказать, что объединение всех множеств семейства, т. е. множество Е = () А, связно. иеп 402. Доказать, что для любой точки х, Е Е существует, и притом единственная, компонента множества Е, содержа1дая х,. П р и и е ч а н и е.

Непустое множество А называется компонентой множества Е, если: 1) А ~ Е; 2) А связно; 3) любое связное множество В, такое, что А ~ В ~:. Е, совпадает с А. 403. Доказать, что каждая компонента А замкнутого множества Е есть замкнутое множество. 404. Доказать, что любое непустое множество Е разбивается на компоненты, и притом единственным образом. 405. Множество называется всюду разрывным, если оно содержит более одной точки и все его компоненты — одноточечные множества. Привести примеры несчетных всюду разрывных множеств. 406. Пусть Р с: Е, Р связно и непусто.

Доказать, что существует, и притом единственная, компонента множества Е, включающая Р. Г и в в д че11. МЕРА МНОЖЕСТВ (В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ) Параллелепипеды н их объемы. Пусть Яп — евклидова пространство. Во всем дальнейшем изложении будем считать л фиксированным натуральным числом. Пусть А (аь ..., а„), В (Ьь ..., Ь„) — две точки из )гп такие, что аз ~ Ь~ при 1= 1, 2, ..., л. Множество всех точек М (хь ..., х„) Е )сп таких, что а~ < < х; < Ь| при любом 1, называется открытым и-мерным параллелепипедом о 0 (А, В). Множество всех точек М (хь ..., х„) таких, что а~ ~( хз ( Ьь называется замкнутым и-мерным параллелепипедом Ъ (А, В). Наконец, л-мерным параллелепипедом с вершинами в точках А и В называется любое множество 44 Р (А, В), удовлетворяющее включениям Р (А, В) ~ О (А, В) <: Р (А, В).

Ясно, что 0 (А, В) и 0 (А, В) — частные случаи параллелепипеда 0 (А, В). Если хотя бы одна координата точки А равна соответствующей координате точки В, то параллелепипед 0 (А, В) называется вырожденным, в противном случае— »»вырожденным. л-м»рным объ»мом параллелепипеда 0 (А, В) с вершинами А (а„..., а„), В (Ьт, ..., Ь„) называется число р0 = (Ьт — аг) ... (܄— а„). Если 0 — вырожденный параллелепипед, то 80 = 01 в противном случае рР ) О. Частными случаями л-мерного объема являются: при н = 1 — длина отрезка, при л = 2 — площадь прямоугольника, при и = 3 — обычный объем трехмерного параллелепипеда.

Внешняя мера множества. Пусть Е с В». Внешней и-мирной мерой (или просто внешней мерой) тЕ множества Е называется нижняя грань сумм л-мер. ных объемов открытых параллелепипедов, объединение которых покрывает Е (нижняя грань берется по всевозможным таким покрытиям (Ра )): тЕ = (п1 Еи 80. а С в о й с т в а внешней меры: 1) тЕ определена для любого множества Е ~ )7», причем О ч, тЕ ъ, + о»; 2) для любой системы (0„), покрывающей Е, о имеетместо ЕОРа )~ тЕ; 3) если Е < )с» и тЕ (+ со, то для любого е ) О существует покрытие (О ) множества Е открытыми параллелепипедами такое, что ХрР ( тЕ+ е; 4) если Е ~ Е, то тЕ ( (тР; 6) для любой конечной или счетной системы множеств (Е„) справедливо неравенство т (О Е„) (ХтЕ»; »» 6) внешняя мера конечного или счетного множества точек равна нулю; 7) внеш- няя мера параллелепипеда Р (А, В) равна его и-мерному объему: т0 рО; 8) конгруэнтиые множества имеют равные внешние меры.

Измеримые множества. Мера Лебега. Множество Е ~ )т» называется из- меримым ло Леде»у (илн просто измеримым), если для любого множества А с )2» справедливо равенство тА = т (А () Е) + т (А () С Е), т. е. если Е рассекает любое множество А ~ В» иа такие двечасти, сумма внешних мер которых дает внешнюю меру всего А.

Если Е измеримо, то его внешняя мера называется мерой Л»бега (или просто мерой) множества Е и обозначется тЕ. Свойства иэмеримык множеств и их мер: 1. Если Е измеримо, то и СЕ измеримо. 2. Если тЕ = О, то Е измеримо. Такие множества называются множествами меры куль. Любое подмножество множества меры нуль измеримо и имеет меру нуль. 3. Лобавление к измеримому множесхву или изъятие из него множества меры нуль не нарушает его иэмеримости и ие изменяет его меры.

4. Любой параллелепипед измерим, и его мера равна его и-мерному объему. 6. Если Е и à — измеримые множества такие, что Е <= Е, то тЕ ( (тр (»монотонность меры»). 6. Объединение любой конечной или счетной совокупности измеримых мно. жеств (Е„) есть измеримое множество, причем т (() Е„) ( ~тЕ» (»полуаддитнвность меры»), »» 45 7. Для объединения любой конечной или счетной совокупности попарно не пересекающихся измеримых множеств (Ел) справедливо равенство т (() Ел) = ХтЕл («счетная аддитивность меры»). л л 8.

Если Е в Р измеримы, то Е», Р также измеримо; если при этом Е:з Р и тЕ < + ло, то т (Е»ч Р) = тŠ— тР. 9. Пересечение любой конечной илн счетной совокупности измеримых множеств измеримо. 1О. Любое замкнутое и любое открытое множество пространства Ю измеримо. 11. Для любого измеримого множества Е и любого числа е ) О существует вамкнутое множество Рс- Е такое, что т,Е ~Р) <е. 12. Мера всякого измеримого множества Е~йл является верхней гранью мер замкнутых множеств Р, включающихся в Е, и нижней гранью мер открытых множеств б, включающих Е: тЕ = зпр тР =- (п1 тб. рс и а=»н 13. Если (Ел) — возрастающая последовательность измеримых множеств то л«(() Ел) = 1йп тЕл.

л л +»» 14. Если (Ел) — убывающая последовательность измеримых множеств, причем тЕ» < +лл, то т ( П Ел) =- 1цп т Е„. л л + 15. Если Е измеримо, то всякое конгруэнтное ему множество также измеримо и имеет ту же меру, что и Е. 1б. В пространстве Ял существуют неизмеримые множества. Более того, всякое измеримое множество, мера которого больше нуля.

содержит неизмеримое подмножество. Если л = 1, т. е. если рассматриваемое пространство является числовой прямой, то измеримые множества в нем называются линейно измеримыми, а мера в )тт называется линейной мерой. Для отрезное она сводится к обычной длине.

Желая подчеркнуть, что речь идет, именно о линейной мере, мы пишем внизу индекс 1: т,Е. Если л = 2, т. е. если речь идет о множествах на плоскости, то мера называется плоской, а измеримые множества — множествами, измеримыми в смысле плоской меры. Плоская мера множества Е~ )7» обозначается т,Е. Для прямоугольников она сводится к обычной площади.

Аналогично обстоит дело для множества в»гз. В этом случае мы говорим о трехмерной мере и обозначаем ее т,Е. Для трехмерных параллелепипедов она сводится к обычному объему. В дальнейшем индекс, обозначающий размерность меры, будет, как правило, опускаться. В заключение отметим одно свойство линейной меры: если б — отнрытое множество на прямой, то тб = Хт)а, где )в — составляющие интервалы множества б. Задачи 407. Доказать, что всякое множество Е, расположенное на оси Ох (даже если оно является неизмеримым множеством на прямой), измеримо на плоскости Оку и его плоская мера равна нулю. 408.

Доказать, что совокупность всех измеримых множеств на прямой (а также на плоскости) имеет мощность 2' (гиперконтинуум). 409. Построить на отрезке (О, Ц нигде не плотное совершенное множество, линейная мера которого равна 0,9. 410. Построить на отрезке [О, Ц нигде не плотное совершенное множество заданной меры а < 1. 411.

Можно ли построить на отрезке ~О, Ц нигде не плотное совершенное множество меры 1? 412. Построить на квадрате СО, Ц х 10, Ц нигде не плотное совершенное множество, плоская мера которого равна заданному неотрицательному числу а < 1. 413. Какова плоская мера множества„построенного в задаче 244 («ковер Серпинского»)? 414.

Какова плоская мера множества, построенного в задаче 245 («кладбище Серпинского»)? 415. Какова плоская мера множества, построенного в задаче 246 («канторова гребенка»)? 413. Доказать, что любое ограниченное измеримое множество Е на прямой, имеющее положительную линейную меру р, содержит измеримое подмножество меры д, где д — произвольное заданное положительное число, меньшее, чем р.