Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу, страница 14

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ Если каждой точке к множества В поставлена в соответствие некоторая точка у множества Е, то говорят, что задано отображение )Т в Е; это отображение называется также функцией, отображающей )Т в Е (или определенной в в( и принимающей значения в Ц. При этом )Т называется областью определения функции, а Š— ее областью прибитая. Обозначим через ( какую-либо функцию, отображающую )Т в Е. Если эта функция ставит в соответствие точке х Е )г точку у Е Е, то у называется значением функции / в точке х и обозначается ( (х). Пусть А с Л.

Тогда через 7 (А) обозначается множество всех тех точек у Е Е, которые являются значениями функции ( хотя бы для одного х Р А. Множество 7 (А) называется образом множества А. В частности, образ всей области определения (т. е. множество / ()с) ~ с: Е) называется областью значений или множеством значений функции ). Пусть  — какое-либо подмножество множества Е. Обозначим через ( — х (В) множество тех и только тех точек к Е В, для которых значения функции принад лежат В. Множество ) — ' (В) называется прообразом множества В.

Если область значений функции ) совпадает со всем множеством Е, то ( называется отображением множества )с на множество Е. Если прообраз каждого одноточечного множества из области значений функции ) есть одноточечное множество, т. е. если из ( (х,) = ) (х,) (х, Е )с, х, Е )с) следует х, = х,, то 7 называется взаимно однозначным отображением к на г ()т). Если при этом функция / отображает )1 иа Е, т. е. ( ф) = Е, то ( будет взаимно однозначным отображением мщпкества )Т на множество Е (в этом случае говорят также, что ) осуществляет взаиино однозначное соответствие между множествами )1 и Е); для такой функции однозначно определяется обратная функция, ставящая в соответствие каждой точке у Е Е ту единственную точку х Е Л, для которой ( (х) = у.

Ясно, что обратная функция взаимно однозначно отображает Е на В. Часто функцию ) обозначают через ( (х), считая х переменной точкой области определения )с функции Е Если г( с:. Хз и ... и Х„, то функцию ) обозначают также через ) (х„..., х„) и считают ее зависящей от и переменных хь ..., х„, принимающих значения в соответствующих множествах Х,, ..., Х„так, что при этом (хз, ..., х„) Е )2.

Задачи 470. Пусть А — произвольное множество из области определения функции Е. Верно ли равенство ( †' (Т(А)) = Ар 471. Пусть  — произвольное множество из области значений функции Е'. Верно ли равенство Т(à †'(В)) = Вр 472. Верны ли утверждения ( (А 0 В) = 7'(А) 0 )'(В), (' (А Д В) = (' (А) Д 7' (В) 7 52 Если какое-либо из этих утверждений неверно, то привести противоречащий пример. 473. Доказать, что если Г является в з а и м н о од н о з н а чн ы м отображением множества Я на множество Т' (Й), то для любой последовательности множеств Аз, Аз, ..., А, ... (Ая ~ тс) справедливы равенства: 1) 1 ( () Аь) = () 1 (4а) й) 7(()А,) = ()7(А,).

474. Какие из равенств, рассмотренных в предыдущей задаче, перестают быть верными, если отображение ! не является взаимно однозначным? 478. ВеРноли, что! ()? ", А) =Т(г?) ' Т(А), где )? — область определения функции? 476. Пусть А и  — множества из области прибытия функции ). Верны ли равенства: ~ '(А () В) = 1 ' (А) Г) ~ '(В) 7 ' (А () В) = 7 ' (А) () 7 ' (В)? 477.

Пусть функция Г отображает множество )? в множество Т. и А ~ Ь. Справедливо ли равенство ! '(Т ~ А) =1 '(7.) ' 1 '(А)? 478. Пусть ( — какая-либо функция и множества А„А„ ..., А„... являются подмножествами ее области прибытия. Верны ли равенства Т ' (() Ая) = () Т ' (Ая), ! ' (П Ая) = () ! ' (Ак)? Глава(Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Числовой функцией называется функция, принимающая числовые значения, т.

е. имеющая областью значений некоторое множество действительных чисел. Только такие функции рассматриваются в настоящей главе, где они называются просто функциями. Пусть областью определения числовой функции ! (х) является подмножество А метрического пространства Х, и пусть Š— произвольное множество, расположенное в Х. Ладим определение непрерывности функции г(к) в точке хв относительно множества Е. О п р е д е л е н и е ! (К о ш и). Функция 7 (х), определенная на множестве А, называется непрерывной в точке хв относительно множесяма Е, если !)хвЕА() Е; 2) для любого е ) 0 сущещпвувт такая окрестность (! (хь) точки ха, что для вовк х Е А () Е () (/ (хв) имеет место неравенство ! 7 (х) — / (х.) ! < е. Отсюда, в частности, следует, что если хв является изолированной точкой области определения функции ( (х), то эта функция непрерывна в точке хь относительно любого множества Е, содержащего точку хв ° Из определения ! следует также, что если хь является изолированной точкой 53 множества Е, то любая функция / (х), определенная в точке хы непрерывна в втой точке относительно Е.

Если функция / (х) непрерывна в точке хо относительно некоторой ее окрест- ности, то она называется полностью непрерывной в точке хо. В тех случаях, когда это не будет приводить к неясности, мы будем опускать слова «полностью» н называть функцию, полностью неврерывную в точке хо, просто непрерывной в этой точке. Ясно, что если функция полностью непрерывна в точке хо, то она иенрерыв- на в этой точке также относительно любого множества Е, содержащего точну хо. П р и м е р ы.

1) Функция / (х) = х', определенная всюду на )2», непрерыв- на в каждой точке хо Е )2». 2) Функция Дирихлс / (х) = /! при х рациональном, !О при х иррациональном, определенная всюду на /2», непрерывна в точке хв = У2 относительно множества всех иррациональных чисел; однако она не является полностью непрерывной в этой точне. 3) Функция /!О, если х' + у' ( 1, ! 5, если хо + у' ) 1, непрерывна в точке Ма ~ †, †! относительно замкнутого единичного круга гф' 2 фу' 2 ! 2 ' 2 Е с центром в начале координат; однако она не является полностью непрерывной в этой точке.

Та же функция полностью непрерывна в любой точке М, (х„уг), лежащей внутри круга Е; следовательно, она непрерывна в точке Мг также от- носительно накого угодно множества, содержащего точку Мг. Лля фуннций одной переменной (т, е, функций, область определения кото- рых лежит на прямой /«») можно говорить также об однастараянвй непрерывно- сти.

Функция / (х), определенная на числовой прямой или на ее части, называется непрерывной справа в точке хо, если она непрерывна в этой точке относительно некоторого промежутка [хо, Ь[, где Ь ) х«!эта функция называется непрерывной слева в точке хо, если она непрерывна в этой точке относительно некоторого про- межутца )а, хо), где а ( хо.

Легко видеть, что если функция непрерывна в точке хо справа н слева, то она полностью непрерывна в этой точке. Ладим теперь другое определение непрерывности функции, эквивалентное определению Коши. О п р е дел е н и е 2 (Г е й н е). Функция /(х), определенная на множе- ство А, называется непрерывной в точке хо относительно множества Е, если 1)хоЕА() Е; 2) для любой последовательности точек (хя) из А П Е, сходящейся х хо (т. е. такой, что!пп р (хл, хо) = 0), имеет место равенство ь-+ 1пп/(хл) = /(хо).

я + Колебание функции на множестве и в точке. Пусть функция/ (х) определена на множестве А. Кшыбанивм ю/ функции / (х) ка этом множестве называется раз- А ность между верхней н нижней гранями этой функции на множестве А: ю/ = знр / (х) — 1П1 / (х). л хол х«А Заметим, что мы не требуем, чтобы функция / (х) была ограничена на множестве А. Поэтому зпр / (х) мажет равняться либо нонечному числу (если / (х) огранихсл чена сверху на множестве А), либо+со (если эта функция не ограничена сверху па А).

Точно так же и (п( / (х) может равняться либо конечному числу, либо хл — оо. Следовательно, 0 (~ ь»/ ~( +о . А Если А, С- Ао, то зиР 1' (х) ~ (зпР ! (х), (п1 ! (х) ~ )!п1 1 (х). «ол» «ол» х;л, хгл» Поэтому ю! < ы). л, А» Пусть функции ! (х) определена на множестве А, расположенном в метрическом пространстве; пусть Š— какое-нибудь множество, лежащее в том же пространстве, и пусть хо Е А Д Е.

Колебанием функции !' (х) г точке хо относительно миожгстга Е (обозначается ю [!, хо, Е]) называется предел, к которому стремится колебание этой функции на множестве Е ПУ (хо, Ь„) яри бх-ь О. Этот предел (конечный или равный +оо) всегда существует и не зависит от выбора последовательности окрестностей (У (хо, б„)) (лишь бы радиусы этих окрестностей стремились к нулю при и -о + оо). Итак, ю[г,х, Е)= !пп ы Ех О ЕП У !х» Зл! Если, говоря о колебании функции г* (х) в точке хо, мы не указываем, относительно какого множества Е рассматривается это колебание, то подразумевается, что речь идет о колебании в точне хо относительно некоторой окрестности этой точки. В этом случае колебание функции 1* (х) в точке хо обозначается ю [1, хо).

С помощью понятия колебания функции в точке можно дать третье онределение непрерывности функции, энвивалентное первым двум. О п р е д е л е н и е 3 (Б э р а). Функция !' (х), определенная на множестве А, нпзыгагтся игпргрыгной г точке хо относительно множества Е, если хо Е А П Е и колебание функции г втой точке отногшпгльно множества Е равно нулю: о» [), хо, Е) = 0 Точин разрыва. Пусть функция 1 (х) определена на множестве Е (Е ~ Х); точкой разрыга этой функции называется вскная точка из Е, в которой колебание функции (относительно множества Е) не равно нулю, а также любая предельная точка ее области определения Е, ие входящая в Е.

П р и и е р. Функция зйп х (читается осигнум икс»), определенная равенствами зйп х = 1 при х ) О, зйп х = — 1 при х ( О, зйп 0 = О, разрывна в точке хо= О. Точка хо называется точкой угтрапимого разрыва, если можно изменить значение функции только в этой точке (или доопределить функцию в этой точке, если она в ней не определена) так, чтобы функция стала непрерывной в точке хо. Точна хо, являющаяся точкой разрыва функции ! (х), называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних предела при х -о хо: 1(хо — 0)= 1пп 1(х) и 1(хо+0) = 1пп 1(х), х х,— о х х,+о и они оба конечны. При этом разность 1(хо+ 0) — 7(хо — 0) называется скачком Функции ! (х) в точке хо.