Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях, страница 9

Таким образом, член (84) не дает вклада в суммарный перенос энергии от источника; действительно, можно проверить, основываясь на уравнении (56), что он соответствует только колебанию дополнительной энергии, которая требуется в ближнем поле для того, чтобы сбалансировать приток массы от источника. Таким образом, заданные флуктуации переноса массы д (в) генерируют акустическую выходную мощность, которая в дальнем поле представляется формулой (83) и характерное значение которой отличается от соответствующего аначения (79) водно- мерном случае множителем А ю«/(4яс') = яА/)Р, (85) где )« — характерная длина волны.

Это означает, что громкоговорители, размеры которых малы по сравнению с длиной 39 е,й, Акустический дииаеь волны (так что площадь А мала по сравнению с 1,е/к), генерируют .анустическую мощность гораздо-лсенее'эффективно,'когда-они излучают в трех намерениях, нежели в случае,.когда их излучение распространяется в одном направлении вдоль трубы поперечного сечения Л. (Такое утверждение предполагает, как было указано в рассуждениях,'следующих за уравнением (70), что пульсации массового расхода с7 (!) в области, размер которой мал по сравнению с с!со = Х7(2я), излучают как точечный источник; этот результат более полно обсуждаетсн в равд.

1.6.) Примеры эффективности, -в' одномерном случае болыпвй, чем в трехмерном, с более подробными количественными оценками приводятся в равд. 1.11 и 1.12. !.5. Акустический диполь Среди фундаментальных решений волнового уравнения, на основании свойств которых было достигнуто понимание очень сложных источников звука, следующим по степени вал<ности после точечного (монопольного) источника является дипольный источник.

Акустический диполь, как будет показано в данном разделе, обладает некоторыми свойствами рассмотренного в равд. 1.4 пространственного точечного источника, которые даже более ярко выражены: различие между дальним полем и ближним полем здесь более значительно и приводит к еще большей неэффективности диполя как генератора акустической энергии (оказывается, что в этой роли точечный пространственный источник, хотя и малоэффективный по сравнению с одяомерными источниками, затмевает всех своих трехмерных соперников!).

Начнем изучение свойств диполя с рассмотрения решения волнового уравнения (13), полученного сложением двух решений для точечных источников: (!) решения, найденного в равд. 1.4 для точечного источника, расположенного в начале координат (О, О, 0), с полем давления (71), выраженным через напряженность с! (!) и расстояние г от начала координат, и (И) решения для точечного источника равной и противоположной напряженности ( — с7)", расположенного в соседней точке ( — 1, О, 0), с полем давления, определенным по формуле (71), в которой с) ааменяется на ( — д) и г на г', где г' — расстояние от точки ( — 1, О, 0).

М Источник с отрицательным расходом обычно называют стоком.— Прим. реди 40 1. Звуяввыв волн Рис. 2. Звуковое поле я точке Р, обусловленное точечным источником напряженности Ч в точке (О, О, 0) и источником разной напряженности противоположного знака — о в точке( — й О, 0), аависит от равности расстояний си г' от точки Р до этих источников. Тогда для г, много ббльших [, поле давления совместной конфи- гурации, изображенной на рис.

2, определяется как р — рв = [д (т — гlс)!(Ьяг)) — [д (Š— г7с~У(4лт')[. (86) Это в действительности относится к диполю, который по существу является предельной формой рассматриваемой конфигурации при уменьшении й Выражение (86) представляет собой разность значений в фиксированный момент времени в выражения (71) для двух близких значений г, а именно г и г', разность мелинду которыми не может превышать (; действительно, на рис. 2 видно, что разность г — г' в направлении, составляющем угол 9 с осью х, все точнее аппроксимируется величиной — в соз 9, когда становится малым по сравнению с г. Соответствующую разность значений выражения (71), обусловленную различными значениями как множителя сферического ослаблении (4яг)-', так и времени запаздывания г!с, для достаточно малых в (см. ниже необходимую оценку малости) можно выразить через производную по г: р — р, ж ( — [ соз 9) (д!дг) [о (т — я!с)/(4пг)).

(87) На рис. 3 показан другой способ получения того я1е реаультата: если г — расстояние точки (х, р, т) от начала координат, то в силу свойств построенного параллелограмма г' можно рас- Х.у. Акустический уикскь 41 1-),с,с) (о,с,с) -4 ---ъ1х+1,у,г) Р Рнс. 3. Расстояние г' точки Р с координатами (к, у, е) от источяяяа напряженности — д, расположенного я точке ( — 1, О, 0), равно расстоянию точки с координатами (к+ 1, у, с) от источника напряженности у, расположеяясго в точке (О, О, 0). сматривать как расстояние блиакой точки (х + ), у, з),от начала координат. Следовательно, формула (86) выражает разность между значениями выражения (71) в точках (х, у, г) и (х + 1, у, г), которую для достаточно малых ) можно представить в виде р — рс ж — ) (дух)(д (1 — г)с))(4яг)), (88) что и совпадает с (87), поскольку г = (хз + уз + г')'Уе и дг)дх = хаас = соз 6.

(89) Понятие днполя в акустике и других отраслях физики воаникло в связи с тем, что выражения типа (87) и (88) зависят не от 1 и д в отдельности, а только от произведения (90) которое можно назвать напряухеннссжью диполя. Иначе говоря, когда с достаточно мало для того, чтобы уравнения (87) и (88) были достаточно точными, поле давления будет, например, таким же и для другой пары источник — сток, у которых напряженность д вдвое больше, а расстояние ь' вдвое меньше. Мы можем теперь ответить на вопрос о том, сколь малым для етого дол)кно быть 1, при помощи теоремы о среднем, которая утверждает, что кая;дое уравнение является точным, если производная от правой части уравнения вычисляется нри некотором п))смсжужсчнсм значении г, заключенном мея:ду г и г', л.

Звуковьм волка замена этого промежуточного значения самим значением г является хорошим приближением только тогда, когда изменение производной мало по сравнению с ней самой при изменениях г на величину порядка й Это легко показать, если выписать производную (например, как это делается ниже при выводе формулы (92)), потребовав при этом пе только, чтобы 1 было мало по сравнению с г, как уже предполагалось ранее, но и чтобы оУо (где о — характерная частота, отношение характерной величины д к характерной величине д) было мало. Последнее условие, при котором область источника конечных размеров 1 (подобная той, которая изображена на рис.

2) описывается формулой для классического диполя, часто называется условием компактности: область, содержащая источники, акустически компактна, если 1« с/ю = Х!(2я). В равд. 1.4 (в рассуждениях, следующих за уравнением (70)) мы получили такое же условие для того, чтобы расход массы из области конечного радиуса описывался соответствующим точечным источником. Акустическая компактность оказывается обычно очень важным условием, которое позволяет использовать элементарные решения, подобные точечным источникам и диполям, для построения моделей более сложных источников звука.

Целесообразно пока не пользоваться подстановкой (90), а вычислить производную в (87): р — ро = соз 0 ((Ра (й — гас)Ц4ягз)) + [Рд (г — т/сЯ4яго)) ) (92) и сравнить результат с поляки давления для индивидуальных источников. Основным отличием, которое возникает из такого сравнения, является зависимость от направления, выраженная множителем соз 9, принимающим значения от — 1 до +1, но не менее существенным является и различие в зависимости от г. Значения двух членов в квадратных скобках (92) относятся к величине для поля давления (71) от одного источника с положительным расходом как Ь н соус, (93) где ю — снова характерная угловая частота (отношение харак° * теркой";величины д к величине д).

Оба отношения (93) должны быть малыми величинами для того, чтобы формула (92) была точной, Таким образом, любая акустически компактная пара источник — сток создает на расстоянии г, большом по сравнению с 1, поле давления диполя, которое мало по сравнению с полем, обусловленным действием каждого источника в отдельности. 1.5. А ку«тический диков» Заметим, что из двух отношений (93) первое уменьшается при удалении на достаточно большое расстояние г, и в частности в ту область, которая в равд. 1.4 определялась как «дальнее поле», где г» с/ю = Х/(2я). (94) При вычислении иабыточного давления вэтом дальнем поле 'основную роль играет второй член (92), полученный в результате дифференцирования (87) только из-за наличия времени задержки гlс.

В ближнем поле, однако, первое отношение в (93) является по меньшей мере столь же важным и начинает преобладать, когда е»г/с становится малым, а это означает, что существенным в (92) будет первый член, полученный в результате дифференцирования в (87) множителя сферического ослабления (4яг)-'. Таким образом, оставляя в стороне аавнсимость поля давления диполя от направления, т. е. от соз9, мы видим, что оно имеет двойственную структуру зависимости от г: (1) в дальнем поле (94) избыточное давление описывается членом, пропорциональным г ", который является следствием разности фаз сигналов от двух одинаковых источников с нанряя«енностью противоположного знака (эта разность фаз обусловлена различием г/с во времени прибытия сигнала в точку наблюдения; (П) в ближнем поле доминирующим является член, пропорциональный г ', обусловленный разностью в степени сферического ослабления двух сигналов.