Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях, страница 4

е. ротор поля скорости (относительно общих своиств аавихренности см. любой курс гидродннамики). В самом деле, иа уравнения (4) вытекает, что дй(д1 = О, (7) так как го« 'Рр равен нулю. Таким образом, поле завихренности не зависит от времени: в приближении линейной теории внука завихренность «остается неподвижной», хотя многие другие величины могут распространяться. Такое заключение может удивить читателя, знакомого с теоремой Гельмгольца, утверждающей, что «вихревые лянпп движутся вместе с жидкостьюь. Однако в линейной теории все подобные изменения, обусловленные конвекцией, считаются пренебрежимо малыми, и зто вполне разумно в теории авука, в которой принимается, что иаменения других величин (таких, как давление) распространяются на сотни метров в секунду, по сравнению с чем конвекция при относительно малых скоростях течения представляется пренебрежимо малой.

Вихревая часть поля скорости, которая «индуцируется» полем завихренности ««, не должна, согласно уравнению (7), зависеть от времени. Остальная часть поля скорости является безвихревой и, тани«« образов«, может быть представлена как градиент Чф от потенциала скорости ф. Только в этой части поля возникают флуктуации, вызванные распространением звука. Учитывая сказанное, полон<им (8) п=«уф, 1 Зоуноене еоенн так что и рассматривается как безвихревая часть поля скорости (которая остается после вычитания скоростей„индуцируемых стационарным полем завихренности). В рамках линейной теории взаимодействие этого безвихревого движущегося поля скорости со стационарным полем эавнхренности не проявляется.

Действительное распространение звуковых полей через вихревые линии, которые на самом деле движутся вместе с жидкостью, будет исследовано ниже (равд. 4.6); если скорости течения много меньше скорости звука, то можно показать, что это взаимодействие приводит самое большее к весьма медленным изменениям„ Из уравнений (4) н (8) следует, что (9) Р— Ро = — Род<Р/дт, поскольку градиенты от обеих частей уравнения (9) всюду равны и поскольку обе зти части обращаются в нуль в невозмущеяной области течения, если потенциал скорости, как обычно, берется как решение уравнения (8), равное нулю в этой области.

Уравнение (9) отличается от известного уравнения Бернулли для нестационарных безвихревых течений отсутствием в правой части члена — (1/2)о, ('~гр)' (которым в линейной теории пренебрегают). Из уравнений (5) и (8) получаем выражение для скорости изменения плотностщ др/д1 =. -орете',р (10) через лапласнан т/ор, но дальнейшие преобразования уравнений (9) и (10) провести нельзя до тех пор, пока не будут использованы свойства сжимаемости испакости, приводящие к явному виду связи между изменениями давления и плотности. Характер такой связи будет обсуждаться нюке (равд.

1.2), но здесь мы просто предположим наличие некоторой функциональной зависимости: Р = р (р). Линеаризуя ее посредством разложения в ряд Тейлора в окрестности р = р, Р = Р (Ро) + (Р .Ро)Р (Ро) 1 ° ° (11) и пренебрегая всеми членами, содержащими квадраты н более высокие степени р — ро, получаем (12) др/дг = Р' (ро) др/дс. Отсюда, подставляя в левую часть р из уравнения (9), а в правую часть выражение (10) для др/д1, выводим уравнение до<Р/дто = со~/о~уе (13) ХЫ, В«оно«о« ууоенение где постоянная с (имеющая размерность скорости) определяется формулой с' = р' (ро) (14) Большинство читателей узнает в уравнении (13) «волновое уравнение» вЂ” уравнение, типичное для любого явления с сохранением энергии, в том числе и для распространения волн через однородную среду с единственной возможной скоростью волны с, не зависящей ни от формы волны, ни от направления ее распространения.

Этому уравнению удовлетворяют, например, компоненты электромагнитных полей в вакууме, если с— скорость света, равная 3 10' м/с. Как будет показано ниже (равд. 1.2), скорость звука с, определяемая формулой (14), на несколько порядков меньше этой величины. Простейшим решением уравнения (13) является «плоская волна», бегущая в положительном направлении аси х: (15) ер = /(х — се). Здесь / (х) задает форму волны при е = О, причем в более поздние моменты времени е форма волны сохраняется, на сдвигается на расстояние се в направлении положительной оси х. Такая волна является «продольной» в том смысле, что поле скорости 0 = (и, и, и), удовлетворяющее равенствам и = /' (х — с1), и = ие = О, (16) параллельно направлению распространенна волны. Для такой бегущей плоской волны уравнение (9) дает (17) р — ро = рост т.

е. прямую пропорциональность между избыточным давлением н составляющей скорости жидкости в направлении распространения волны. Эта пропорциональность обусловлена тем, что в точке бегущей волны, где давление увеличивается, градиент давления в направлении распространения волны принимает отрицательное значение — с » др/дои, таким образом, ускоряет жидкость, в которой соответствующая составляющая ускорения ди/д1 имеет положительное значение (р,с)» др/ду(см. уравнение (4)). Заметим, что формула (17) дает намного болылее приращение давления при данном и, чем получилось бы для стационарного течения в соответствии с членом (1/2)р,и».

Решение(15) не является единственным решением волнового уравнения, зависящим от двух переменных х и 1; другим решением будет (18) ер = я(х+ сг), з-о««оо 1. Звуковив возни а общее решение дается суммой решений (15) и (18) с произвольными функциями ~ и 4. Формула (18) описывает плоскую волну, бегущую в отрицательном направлении оси х; поле скорости и = (и, и, ш) удовлетворяет равенствам и=у'(х+сг), и=ш=0, (19) а избыточное давление составляет (20) Р— Р, = — р,си, но по-прежнему отношение избыточного давления к составляющей скорости ( — и) в направлении распространения равно р,с. В общем случае плоская волна, бегущая в направлении вектора (е, Ч, ь), представляется функцией т =Я($х+ЧР+ ьз — оо) (21) которая удовлетворяет уравнению (13) прн условии, что 3«+ + 11'+ г~« = 1. Из уравнений (8) н (9) очевидно, что и = («Ч "-) (Рос) (Р Ро) (22) т.

е. мы снова имеем продольную волну с составляющей скоРости (Рос) '(Р— Р,) в напРавлении ее РаспРостРаненна. Г(ре1Шолон ения о независимости скорости волны с от направления вектора (Е, Ч, ~), а также от формы волны Й упрощают «волновое уравненнео, но такое упрощение оказывается недопустимым во многих других задачах о волнах в жидкости (см. ниже, начиная с гл. 3 п 4). 1.2. Скорость звука Хотя формула (14) для скорости звука была известна еще Ньютону, ему не удалось получить хорошее согласование между вычисляемой по ней величиной скорости звука н результатамп наблюдеянй. Эксперименты Войля с газани показали, что прн умеренных значениях давления оно увеличивается с уменыпением объема газа и что давление почти пропорционально плотности прн фиксированной температуре; с учетом последнего предположения формулу (14) можно записать как с« = Ро/р„откуда для воздуха прн 20' С получается с = 290 м/с, что значительно меньше наблгодаемой величины 340 м/с.

Не более чем столетие спустя Лаплас объяснил, что это расхождение получается из-за недопустимости испольаовання данных, полученных при фиксированной температуре. Каждьпг раз, когда в звуковой волне сжимается элемент газа, соседняя )кндкость совершает нэД-нн«г, работу, и эта «работа сжатия» 1.2. Скорость авука увеличивает внутреннюю энергию элемента, таким образом повышая его температуру. Эксперименты, подобные экспериментам Бойля с газами, выполняются в резервуарах с большой теплоемкостью, благодаря чему допускается тенлообмен в газе после сжатия; при этом изменение объема измеряется только после достижения стационарного состояния, связанного с возвращением к начальной температуре. Наоборот, для локальных сжатий внутри звуковой волны подобных ограничений на изменение температуры нет; вычислим величину этого изменения температуры и определим, как ояа влияет на скорость звука в тех газах, которые с хорошей степенью приближения удовлетворяют закону Бойля.

Это так называемые есовершенные гааы»; к ним относятся воздух и любой газ, плотность которого очень мала по сравнению с плотностью того я е вещества в конденсированной фазе. Тогда величина давления хорошо аппрокснмируется выражением р=ЛТр, (23) где Т вЂ” абсолютная температура в градусах Кельвина (т. е. темь пература в градусах Цельсия плюс 273), а формула Л= 83Г4 (мЧсе) К-1 Средннй молекулярный еес (24) позволяет выразить ВТ (в ме/се) через средний молекулярный вес газа или газовой смеси. О физической точки зрения совершенным является такой газ, в котором в каждый момент времени только очень малая часть молекул находится настолько близко к другим молекулам, что они могут взаимодействовать.

Давление такого газа близко к величине АТр, связанной с переносом количества движения за счет случайного поступательного движения молекул, поскольку вклады от действия межмолекулярных сил, пропорциональные более высоким степеням р, пренебрежимо малы. Отнесенная к единице массы внутренняя энергия Е такого газа, которая с хорошей степенью приближения представляется функцией только от температуры Е = Е (Т), пропорциональна средней энергии (поступательного движения, вращения и колебаний) изолированной молекулы, поскольку вклады потенциальной энергии, связанные с межмолекулярными силами, тоже являются пренебрежимо малыми. Если объем элемента газа остается неизменным, то для любого повышения температуры ввТ требуется на единицу массы подвод тепла, равный требуемому увеличенито внутренней энергии Е'(Т) йТ.

Поэтому Е'(Т) (количествоподводимоготепла,'на 'единицу массы, требующееся для повышения температуры на г. «. З«вз««ы««овны до один градус) обозначается через с„и называется удельной теплоемностью при постоянном объеме. Кроме того, при сжатии элемента газа имеет место дополнительное увеличение внутренней энергии (за счет совершаемой работы, а не тепла), так что его объем «" изменяется на величину «(Г, которая является отрицательной. Тогда полная работа, совершаемая над этим элементом давлением р со стороны соседних элементов, будет равна р ( — аГ), так как каждый соседний малый элемент совершает работу (равную произведению силы, с которой он действует, на перемещение в направлении действия этой силы) на единицу уменьшения объема элемента, равную силе, деленной на площадь ее привоя«ения, т.