Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях, страница 7

С другой стороны, следовало бы спросить, почему это так, поскольку, отбрасывая всякую работу, производимую невозмущенным атмосферным давлением ро, мы, конечно, не включили в И" всю плотность энергии. Уравнение (49) показывает, что отброшенная часть энергии равна И ех= ~ Рор саар= Ро 1н (Рlро)~ (59) а соответствующая отброшенная часть скорости переноса энергий 1, согласно (54), равна 1ех, Р он. (60) Почему же можно исключать из рассмотрения подобные члены, например часть 1, пропорциональную и7 зо 1. Звук»вы«»о»нм При ответе на этот вопрос мы не должны использовать тот довод, что член (60) не должен быть существенным в переносе.

энергии, поскольку его среднее (в некотором смысле) значение равно нулю. Разумеется, авук часто генерируется колебаниями, которые в линейной теории вызывают флуктуации скорости и кидкости около ее нулевого значения. Однако если включить 1, в 1, которая является величиной второго порядка малости, то нужно внлючить в 1,» вклады и того же порядка, которые могут быть вычислены только на основе нелинейной теории и могут иметь ненулевое среднее значение (это были бы «исправленные» движения, которые часто описываются как «акустический ветер» или как «акустическпй поток» и которые более подробно изучаются в раэд. 4.7).

Тот факт, что 1„и аналогично И', могут быть учтены правильно только в том случае, когда входящие в них величины вычисляются со вторил порядком точности, является весьма убедительным мотивом (наряду с отмеченными выше) отбрасывания 1,„и И',», но при этом подразумевается, что любые доводы, оправдывающие их исключение, должны основываться на точных, а не на простых линеаризованных соотношениях между входящими в них величинами. К счастью, эти отброшенные величины сами точно удовлетворяют уравнению сохранения вида дИ„,(дг +. и 1гИ; =- — С~. 1„, (61) которое утверждает, что полная скорость изменения «потенциальной» энергии элемента я»идкости, связанной с работой невозмущенного давления ри равна скорости такого переноса энергии в этот элемент, который соответствует работе, совершаемой за единицу времени давлением р» со стороны срседних элементов.

Это утверждение почти самоочевидно; во всяком случае уравнение (61) с учетом (59) и (60) совладает с уравнением неразрывности (3) с точностью до множителя. Это делает ясным статус нашего уравнения сохранения акустической энергии (56): оно представляет собой полное уравнение сохранения энергии за вычетом уравнения неразрывности (61), умноженного на определенный множитель. Результаг умножения можно рассматривать как отдельное уравнение сохранения части полной энергии, отброшенной в полной «акустической энергии», которое включает в себя конвективный член и ЧИ'»», поскольку в И~, входят величины первого порядка малости, в то время как в (56) соответствующий член отбрасывается, поскольку И' не содержит величин первого порядка.

Определенйые формулами (53) и (55) величины И" и 1, 'в которых отброшены И", и 1»ю особенно полезны', поскольку для них 1.о. Точечннй источник всегда можно использовать решения линейного волнового уравнения (13), если пренебречь членами третьей степени от возмущений, и эти решения должны точно удовлетворять уравнению сохранения в линейной теории (56). Акустическая интенсивность может измеряться в единицах Вт м» (ватт на кв. метр), однако если речь идет о чувственном восприятии звука, то более подходящей является логарифмическая пгкала уровней интенсивности, потому что для данной частоты в Гц (колебаниях в секунду) ухо воспринимает одинаковые отличия в громкости прк одинаковых отличиях логарифма интенсивности, а не ее самой.

Уровень интенсивности по шкале децибелов (дБ) определяется как 120 + 10 1л (1~Вт м»); (62) здесь в скобках стоит величина У вектора интенсивности, измеренная в Вт м». Типичный минимальный уровень интенсивности, при котором слышен звук, ка типичных «высоких» частотах (от 500 до 8000 Гц) составляет 0 дБ, что соответствует )' = =- 10 '» Вт м ' в силу (62). Аналогичный «порог слышимости» при низких или очень высоких частотах болыпе, например он равен 20 дБ (т. е, 1 = = 10 " Вт м») как при 200 Гц, так и при 15 000 Гц и 40 дБ (т.

е. Х = 10 «Вт.м») как при 100 Гц, так и при 18 000 Гц. Слышимость прекращается при частотах виже 20 Гц и вьппе 20 000 Гц. Для большинства частот звук сильнее 120 дБ (1 = 1 Вт м «) приводит к болевым ощущениям. Оценка выходной мощности (в Вт) источников различных типов обсуждается в следующих разделах, но здесь мы укажем типичные значения для нескольких случаев; величины выходной мощности, если нх разделить на 4яг' (при этом направленность источника, если тановая имеет место, не учитывается), дадут интенсивность (в Вт и ') на расстоянии г (в метрах) от источника.

Выходная мощность человеческого голоса составляет около 10 " Вт при обычной речи и поднимается до 0,03 Вт прп громном пении. С другой стороны, акустическая мощность двигателей может быть гораздо выше, достигая таких больших значений, как 10' Вт для огромных ракетных двигателей, используемых при запуске больших космнческих кораблей.

1.4. Точечный источник Волновое уравнение (13), которому удовлетворяет потенциал скорости са в линейной теории звука, имеет много разнообравных решений, кроме решенйй вида (15), (18) или (21), пред- 32 1. Звук»»э« «о«э»» ставляющих плоские волны. Дальнейшие исследования по определению существенно одномерных решений, подобных указанным, мы отложим до гл. 2, а в оставшейся части гл. 1 изучим свойства некоторого важяого класса существенно трехмерных решений. При этом время от времени мы будем производить сравнения со свойствами решений для плоских волн, поскольку противопоставление характеристик механизма обрааования звука при разном числе измерений оказывается весьма поучительным. Некоторое понимание чрезвычайно сложных механизмов образования звука или «источников» звука часто может быть достигнуто в результате исследования нескольких фундаментальных решений волнового уравнения.

Простейшим нэ них является рещение, не зависящее от направления; таков источник, излучающий звук одинаково по всем направлениям и, естественно, называемый «точечным нсточником» (илн иначе по соображениям, которые будут объяснены в равд. 1.5, «монополем»). В данном разделе подробно исследуются свойства такого точечного источника. Для описания точечного источника, не зависящего от направления, будем искать потенциал «у, сфернческн симметричный относительно некоторой центральной точки. Действительно, по те 1щи ал (63) ~г = <р(г, г), зависящий только от времени «и расстояния г от центральной точки, должен принимать одинаковые значения во всех точках, равноудаленных от центральной точки по всем направлениям в фиксированный момент времени. Лапласиан от функции (63) легко вычислить: «7»«р = д»«р!дг» + 2г 'дСУдг = г 'д' (г«р)lдг», (64) так что волновое уравнение (13) можно записать в виде д» (гу)lд«» = с'д' (лу)/дг«.

(65) Целесообразность изучения волнового уравнения в трехмерном пространстве очевидна, поскольку только при таком числе измерений волновое уравнение для сферически симметричного потенциала у может быть сведено к одномерному волновому уравнению (65) для функции гф. Для атого уравнения в соответствии с формулами (15) и (18) можно записать общее решение г»р = У (г — с») + д(г+ с»), (66) 1.4.

Тачачнвй источник но, поскольку нас интересуют лишь волны, бегущие в направлении возрастания г (т. е. от источника), в дальпейшем мы будем рассматривать только случай я = О. Интересно сравнить решение (66) с классическим решением для сферически симметричного течения «несжимаемой жидкостна, т. е. идеализированной акидкости, плотность которой не меняется при изменении давления, так что сз = ар/ар равняется бесконечности и уравнение (13) превращается в уравнение Лапласа чр'ф = О. Зто классическое течение, также называемое точечным источником (см.