Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях, страница 8

курсы гидродинамнки), описывается решением ар = — т (т)/(4лг). (67) Здесь коэффициент т (а) означает объемный расход источника при истечении из центра в момент времени с; действительно, объем жидкости, протекающий через площадь 4лг«на расстоянии г от центра, равен 4лг дф/дг = т (1). (68) Этот поток на расстоянии г мгновенно реагирует на изменение объемного расхода источника т (а) из центральной точки, поскольку время передачи информации на расстояние г для идеалнзированой жидкости, скорость звука в которойбесконечна, равно нулю.

Акустическое решение (66) (при д = 0) можно представить в виде, аналогичном (67), если функцию /(х) записать как — т ( — х/с)/4л; тогда ф = — т (т — г/с)/(4лг). (69) Это выраженно отличается от (67) только наличием времени запаздывания гlс, требующегося для того, чтобы информация об изменениях объемного расхода источника т (а) передавалась на расстояние г со скоростью с; такое чрезвычайно слабое различие между решениями уравнения Лапласа и волнового уравнения надо вновь отметить как относящееся исключительно к случаю трехмерной задачи.

Теперь объемный расход жидкости через площадь 4лг«на расстоянии г от центра равен йлг'дар/дг = т (1 — г/с) + (г/с) т (т — г/с), (70) где в противоположность (68) дф/дг представляется в виде двух членов, поскольку время запавдывания г/с зависит от г. Дополнительный член, однако, исчезает при г -а О, когда предельный объемный расход жидкости, вытекающей из централь«-оыоз 1. Звуковые волна р — р, = д (г — г/с)/(4лг), д (~) = рвт (1) (71) где (72) в линейной теории мо>кяо рассматривать как лассовый расход источника.

В акустике часто предпочитают массовый расход д (») объемному расходу, поскольку масса является физически более важной перемекяой: даже сжимаемая жидкость точно удовлетворяет закону сохранения массы всюду, где «источники» массы отсутствуют. Избыточное давление (а не потенциал скорости) в акустике также является наиболее просто измеряемой величиной. По зтим двум причинам уравнение (71), связывающее р — рв и о (Г), рассматривается как фувдамеятальное уравпеяие для точечного источника.

Заметим, что избыточное давление (71) с запаздыванием во времеви яа г/с реагирует иа скорость изненения массового расхода д(г). Вот почему производную по времени д (ь) обычно называют напряженность>о точечного источкика. Сравним указанное свойство точечного источника в трехмерном просйраистве (скорость 'измейеиия массового' расхода вызывает флуктуаци»/ давления) е противоположной ситуацией в ' одномерном'- слу*1ае.ь 'Плоские 'волиы„.'распростраяяющиеся и ияпрзвлзиии оси а''здоль>трубы' 'сгйоетбяииой площадью А кой точки, будет, согласно равеиству (70), составлять, как и прежде, т (1). Заметим, что г/с ие обязательно должно быть чрезвычайпо малым для того, чтобы выражение (70) было близко к т (в), так как опо представляет собой первые деа члена разложения в ряд Тейлора в окрестности точки З вЂ” г/с.

В самом деле, можно сказать, что объемный расход яри умереяпых расстояниях г «пытается подстроиться» к величине мгновенного расхода т (г) по закону лииейкой экстраполяции (при помощи пропзводкой по времеви т) па времепком интервале г/с. Если характерные зкачеккя т определяются отношением а>» к характерным зкачеяиям т (ь> представляет собой характеркую частоту звука в радианах), то относительная ошибка при замене выражения (70) на т (1) будет величиной порядка (а>г/с)». Отсюда следует (и зто подтверждается в дальнейших разделах), что источник конечного радиуса г с переменным объемным расходом т (г) может действовать так же, как точечный источник, если откошеиие ь>г/с мало. Избыточное давление р — р„определяемое в линейной теории звука по формуле (9), для точечного источника равно Е.й.

Точечный источник поперечного сечения, удовлетворяют уравнению (17); таким образом, если они генерируются при х = О пульсирующим массовым расходом д(с)=Аро(и) =о=Ас 1(р ро)к=о, (7л) то избыточное давление при х ) О определяется формулой Р— Ро = сА гд (à — х/с). (74) Выражение (74) отличается от соответствующего выражения (71 для трехмерного случая не только вполне естественным отсутствием множителя сферического ослабления (4яг) ', но и тем, что оно зависит непосредственно от массового расхода д (е), а не от его производной по времени.

На рнс. 1 показано, как полон.ительная пульсация массового расхода генерирует пропорциональный ей положительный импульс избыточного давления в одномерном случае распространения волн и импульс совершенно другой формы, полученной дифференцированием одномерной зависимости в трехмерном случае. Из-за такого различия напрашивается вопрос: что происходит в промежуточном случае двумерного распространения волн? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим генерирование звука расположенными вдоль бесконечной прямой источниками с постоянным массовым расходом Ь-'д (е) на единицу длины. Определим избыточное давление в некоторой точке, кратчайшее расстояние от которой до рассматриваемой прямой равно г.

Заметим, что суммарная длина двух отрезков этой прямой, расстояние от которых до рассматриваемой точки лежит между г и г + Аг, находится из простых тригонометрических соотношений н составляет 2г (г' — г') Чо е(г, если г ) г, и таких отрезков не существует, если г ( е. Отсюда следует, что в уравнении (71), величину д (8 — г/с) необходимо заменить величиной 2г (г' — зо)-Мой ' д (г — г~с) дг. Интегрируя от г = з до г = со, в результате получаем Р— Ро=(2ЯЬ)-1 ) (гг вз)-~/~у(г — гГс) дг. (75) .Видно, что ато поле давления от источника в двумерном случае значительно сложнее, чем поля, отвечающие выражениям(71) и (74) в трехмерном и одномерном случаях соответственно. Экспериментально та)осе поле может быть создано в жидкости; заключенной между двумя параллельными плоскостями с рао- 36 1.

Зеукоеме волли Рвс. 1. Звуковые импульсы, генерируемые положительной пульсацией массового расхода (меняюпГегося со временем как (Гь + те)-г, где г = совет) в одномерном (вверху), двумерном (в середине) и трехмерном (внизу) случаях. Эти импульсы (изображенные в произвольном вертикальном масппебе) пропорциональны расходу массы, его дробной проиеводной порядка 1/2 и его первой производной соответственно. стоянием Ь между ними, когда вдоль прямой, перпендикулярной зтим плоскостям, происходит приток массы д (г) (например, при взрыве проволочки).

Если массовый расход д (1) задается в виде одиночного импульса, как на рис. т, то уравнение (75) упрощается, когда е/с велико по сравнению со временем продолжительности импульса. В этом случае г' — лт можно приближенно записать как 2г (г — л), так как можно показать, что при значениях г)е, близких к единице, вклады з интеграл (75) от г значительно больше, чем вклады от более высоких степеней г.

Подставляя «.4. Точсчний источник 37 в (75) укааанное выражение при больших г, получаем р — р, = (25) ' (с/(2яг))«/о (с(/с«г)«/од (г — г/с), (76) где производная дробного порядка (с«/«1«)«/о, как обычно, определяется равенством («ЬЙ) / д(г)= ~ д(Т)(я(г — Т)) ы П. (77) В силу такой зависимости от проивводной порядка 1/2 функции д (« — г/с) двумерный случай занимает промея«уточное полон«ение между одно- и трехмерным случаями (формулы (74) и (71)), и, как видно на рис. 1, форма импульса, даваемая выражением (76), также носит промежуточный характер; вместо чисто положительного импульса нли получающегося из него однократным дифференцированием импульса с крутым положительным выбросом, за которым следует точно такой же отрицательный выброс, в двумерном случае виден крутой полол«и- тельный выброс и более широкий, но зато более пологий отрицательный выброс с той же площадью.

Дальнейшее обсуждение распространения двумерных волн подобного типа отложим до гл. 2. Тем временем мы продолжим сравнение между точечными источниками в одномерном и трехмерном случаях, рассмотрев акустическую интенсивность и выходную генерируемую мощность. В одномерном случае, когда справедлива формула (74), интенсивность (48) с учетом (17) можно записать как /= (р — ро) и = (р — ро)о/(рос) = ср,'А од' (« — х/с), (78) что соответствует мощности ср,,'А ««/о (с), (79) генерируемой в источнике и переносимой со скоростью с вдоль трубы с площадью поперечного сечения А. В трехмерном случае уравнение (17) не обязательно должно удовлетворяться, и вместо него мы имеем (переписав (70) через д («)) равенство для радиальной скорости и„= дс//~дт = (р с) ' [о (с — т/с) + (с/т) д (г — т/с))/(4ят).

(80) Из соотношения (80) следует, что при т -э- оо сферические волны все точнее и точнее удовлетворяют соотношению ис = (Рос) (Р Ро) (81) так что в этом смысле они становятся все более и более похожими на плоские волны. Очевидно, что если в равенстве (80) вве- 38 1. Звуковые вовк» сти ю (отношение характерной величины д к характерной величине д), то соотношение,(81) будет хорошей аппроксимацией равенства (80) при больших значениях юг/с.

Для источников звука вообще (не только для точечных источников) с характерной угловой частотой ео мы будем использовать термин «дальнее поле«, имея в виду ту часть жидкости, для точек которой расстояние г от источника велико по сравнению с с/ю (или Х/(2я), где Х вЂ” характерная длина воляы), и найдем (равд. 1.6), что в дальнем поле соотношение для плоских волн (81) становится хорошим приближением.

13 дальнем поле вектор интенсивности (54) направлен по радиусу от источника и имеет величину 7 =. (р с)-'7«(1 — г/с)/(16я«г«) (82) такую же, как если бы выходная мощность (83) Р (1) = ф (1)/(4лр,с), генерируемая источником, переносилась от него со скоростью с, проходя с задержкой во времени г/с через площадь 4яг' жидкости, удаленной на расстояние г от источника. Такое описание генерирования мощности является приемлемым во многих отношениях, несмотря на тот факт, что в более близких точках, не принадлежащих дальнему полю, второй член в квадратных скобках (80) приводит в (82) к дополнительному члену вида р„'с/(г — г/с)д (в — г/с)/(16я'г') = (е//в//) (р,'е/'(1 — г/с)/(32я«г«)), (84) Поскольку осредненное по длительному периоду значение такой производной по времени от ограниченной пульсирующей величины равно нулю.