Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях, страница 6

В атмосфере оно мок«ет оказаться значительным лишь прв распространении очень медленных флуктуакий давления с периодамн в несколько секунд (в, следовательно, длиной волны в несколько километров). Для воды отношение сЧд достигает величины 2СО км, что практически всключает какое-либо влияние силы тяжести на звуковые волны даже в таких больших объемах воды, как океан. Проведенные выше рассуждения обобщаются в гл. 4 на атмосферы со стратп(риуыраеанной.

энтропией (увеличивающейся вверх), для'которых те же условия оказываются достаточными (несмотря ва то, что уравнения двня«ения теперь допускают существование других, значительно более медленпь|х волн— так называемых внутренних граввтаппонных волн) для того, чтобы устранить любое возможное влияние силы тяжести на распространение звука вообще и на скорость звука в частности. 1.3. Акустическая энергия и акустическая интенсивность Характерным свойством волн является возможность переноса энергии без необходимости переноса вещества.

Под ванустической энергией» подразумеваютчасть полной энергии жидкости, связанную с наличием в ней звуковой волны, в то время как «акустическая интенсивность» имеет смысл скорости переноса акустической энергии; в данном разделе оба понятия рассматриваются в плане линейной теории звука. Как было отмечено в равд.

1.1, в любой линейной теории колебаний пли волн возмущения считаются малыми величинами, квадратами которых в уравнениях движения можно пренебречь (подразумевается также, что произведение двух таких величин является пренебрежимо малым, поскольку его численное значение не может быть больше квадрата одной из них). Однако иное правило применяется для выражений энергии и скорости ее изменения (или переноса), в которых первые степени малых величин будут отсутствовать и в которых поатому сохраняют квадраты и произведения двух малых величин, а пренебрегают 1. 3«укьгв«гглвв только их кубами (подрааумевая при этом, что проиаведение трех и более таких величин также пренебрежимо мало). В общей теории (см.

курсы теории колебаний) показывается, почему два таких подхода в точности согласуются друг с другом. Для простой иллюстрации выщесказанного рассмотрим кинетическую энергию. В потоке жидкости с вектором скорости п=(и, о, и>) (45) плотность кинетической энергии (кинетическая энергия на единицу объема) равна р (иг+оз+юг) 1 (46) где р — массовая плотность жидкости. Для любого возмущения волнового типа в нсидкости, у которой в невозмущенном состоянии р .== р, н и = О, плотность кинетической энергии в линейной теории принимается равной (47) — р,(и»+о»+ иг) что отличается от величины (46) на пренебрежимо малую вели- чипу, равную произведению трех малых величин (р — р«н двух составляющих скорости).

Из общей теории колебаний следует, что инерциальный вклад, даваемый формулой (47), в плотность энергии волны должен быть равноценным вкладу, который связан с восстанавливающими силами (например, со сжимаемостью жидкости в акустическом случае) и который можно назвать плотностью «потенциальной» энергии; утверждается также, что соответствующим образом осредкекние значения кинетической и потенциальной энергий должны быть равны между собой. В акус7ической теории требуется некоторая аккуратность, чтобы определить точные значения как для «потенциальной энергии», так и для скорости переноса этой энергии. Рассмотрим сначала последнЮю величину, причем только в описываемом уравнениями (15) — (17) очень простом случае плоской волны, распространяющейся в положительном направлении осн х.

В данном случае можно ожидать, что будет иметь место положительный перенос энергии через любую плоскость х = сопя« в полоясительном направлении оси х. Для этого требуется, чтобы жидкость слева от плоскости действовала на жидкость справа с положительной мощностью. Эта мощность будет равна произведению (1) силы, действунвцей в положительном направлении оси х на указанную плоскость и равной давлению р в пересчете на единицу площади, и (й) составляющей скорости и у.у.

Акустическая »нерви» и акустическ я интенсивность и этом направлении. Уравнение (17) подтверн<дает высказанное предположение о положительности мощности на единицу площади, поскольку из него следует, что «избыточное давление» р — ро (избыточное по отношению к невозмущенному значению ро) всегда имеет тот л<е знак, что и и, так что их произведение никогда не может быть отрицательным.

Хотя действительная мощность на единицу площади равна ри, мы определим акустическую интенсивность как 7=(Р— р) п. 'Это означает, что мы игнорируем любую работу, производимую невозмущенным «атмосферным» давлением р„поскольку вряд ли можно он<икать, что оно играет какую-либо роль в переносе энергии, н прияимаем (48) как величину, точно квадратичную относительно возмущений (таким, как мы видели, и должен быть перенос энергии). Приниман на время концепцию, аргументированную такими грубыми рассуждениями, будем сейчас исходить из формулы (48), но позднее в этом же разделе вернемся к более полному обоснованию отбрасывания обременительного для нас линейного члена рои, Принимая ту л<е концепцию, определим <шотенциальяую энергию» жидности как работу, произведенную над ней действием только избыточного давления при сжатии до плотности Р от невозмущенной плотности р,.

Для любого малого увеличения <(р эта работа на единицу объема представится выражением Р(р — Ро) ( — дР ') = (Р— Ро)Р 'АР (49) которое отличается от (25) заменой самого давления р на избыточное р — ро н множителем р, введенным для пересчета с единицы массы на единицу объема. Замети»<, что выражение (49) является квадратичным относительно малых величин, наким и должен быть вклад в энергию. Это значит, что мнон<итель Р ' можно заменить на р„' с погрешностью третьего порядка малости, а с учетом (14) множитель р — ро можно заменить на (Р— Ро) с'. Следовательно, полнаЯ потенцнальнаЯ энеРгиЯ жидкости, сжатой до плотности Р, равна о (Р Ро)СР» <<Р= 2 (Р Ро) «Ро = о(Р Ро) с Ро' (59) Ре В этом выражении два различных представления снова совпадают, если пренебречь величинами третьего порядка малости. Предполон<ение общей теории о том, что «соответствующим образом осредненпые» величины кинетической и потенциальной энергий должны быть равны„легко подтверждается в этом 1.

Звук«вне волне« частном случае распространения плоской волны: их плотности (47) и (50) действительно всегда равны, так как в этом случае и =- ю = 0 н справедливо уравнение (17). Поэтому полная плотность акустической анергии (кинетической н потенциальной) составляет Иг = р«п«~ (51) в то время как интенсивность (48) с учетом (17) можно предста- вить в виде Г = руси'. (52) Полученные величины находятся в соответствии с предположением, что движущаяся звуковая волна может переносить элергию со скоростью с, так как скорость переноса энергии! на единицу площади равна произведению скорости с на энергию Иг единицы объема. Используя полученные заключения для плоской волны, можно теперь попытаться обобщить понятие акустической энергии и интенсивности на общий случай трехмерного движе-, ния, основываясь на той же концепции, согласно которой необходимо учитывать лишь ту работу, которую совершает «избыточное» давление.

Вывод уравнения (50) для плотности потенциальной энергии остается неизменным, но полная акустическая энергия (сумма (47) и (50)) ун е не может быть представлена простым выражением (51), так как соотношение (17) в общем случае не выполняется. Вместо него можно использовать уравнения (8) и (9), чтобы записать эту акустическую энергию плп «волновую энергиюэ через потенциал скорости ву в виде (58) Иг = — Ро «(~еуг) + с г (д<р/дг) г) В рассматрйваемом трехмерном случае акустическую интенсивность можно определить как вектор 1, составляющая которого 1.н в направлении любого единичного вектора и равна скорости, с которой в направлении и через малый элемент плоскости, перпендикулярной и, переносится энергия, отнесенная к единице площади элемента.

Этот перенос энергии создается силой р — рв на единицу площади (если мы рассматриваем только избыточное давление), умноженной на составляющую скорости н и в направлении и; таким образом, мощность на единицу площади равна (р — р,)н и, н обобщением формулы (48) на трехмерный случай будет (54) « = (Р— Р«) и.

!.3. Акустическая энергия и акустическая инсненсивность Отсюда, выражая все величины через потенциал скорости ср, получаем 1 = — ро (двр(д$)гччгср. (55) Важной проверкой взаимной согласованности уравнений (53) и (54) является тот факт, что они удовлетворяют уравнению сохранения акустической энергии дИ7дс = — гр. 1, (56) которое выражает равенство скорости изменения акустической энергии в малой области и полной скорости переноса энергии в эту область (которая в пересчете на единицу объема этой области равна дивергенцни вектора переноса энергии 1, взятой со знаком минус).

Заметим, что любой член типа и чоИг, который можно было бы добавить в левую часть (56) для учета конвективного переноса акустической энергии со скоростью окндкости и (н который может дополнительно влиять на изменение энергии за счет работы сил давления жидкости), можно здесь отбросить, поскольку И" — величина второго порядка малости, а и чгИ' имеет третий порядон. Действительно, уравнению(56) в том виде, как оно записано, точно удовлетворяет потенциал скорости ~р линейной теории, так как его левая часть с учетом (53) равна Р, [(чсср) ° ту (дср~дс) + с (дорой) (дхср!дго)), (57) а правая с учетом (55) записывается в виде р„((чУ р) У (д р(дЮ) + (д р(И) ~о р). (53) Эти выражения равны в силу волнового уравнения (13). Тогда, конечно, логично рассматривать Иг как плотность некоторой полезной квадратичной меры акустической амплитуды, а 1— как векторный поток этой величины.