Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях, страница 5

е. давлению р. Но объом »» единицы массы равен р ', и, таким образом, изменение энергии единицы массы вследствие «работы сжатия» равно 'Е=, ( — йр ') =рр'д (25) В случае когда указанный источник изменения внутренней энергии является единственным, как для звуковых волн, в которых и л»ет«опроводностью, и возникновением тепла за счет диссипа»/ии механической энергии можно пренебречь, соответствующее приращение температуры аТ вычисляется следующим образомз рр 'с/р = ИЕ = с„с/Т = (с„/Л) (о 'е/р — рр 'Ир); (26) при этом используется соотношение (23), связывающее изменения температуры с изменениями давления и плотности.

Теперь видно, что квадрат скорости звука с«, определяемый формулой (14) как Ыр/Ир, в силу соотношения (26), связывающего давление и плотность дчя звуковой волны в совершенном газе, выражается как с» = ур/р = у//'/', где для совершенного газа у = (Л + с,)/с,. (28) Величина, найденная по формуле (27), равна ньютоновскому значению р/р, умноженному на величину у, которая для воздуха имеет значение 1,40. Соответствующее значение Л мы находим по формуле (24); используя средний молекулярный вес 29,0, и тогда прц T = 293 К (что соответствует 20' С) получаем величину с = 340 м/с, с точностью до двух значащих цифр совпадающую се значением, полученным в эксперименте.

Для совершенных газов в общем случае величину (28) можно представить как у = ср/с„ , (29) 1.2. Скорость «орка 21 где ср — удельная сненлоемность нри нссгнолнноль давлении, равная с, + Л. Это обусловлено тем, что газ, будучи нагретым при постоянном давлении (напрвмер, при аэданной высоте ртутного столба), расширяется, совершая работу нэд окружающим гааом, равную рс(р ' на единицу массы (она равна взятой со знаком минус работе, которую совершает соседний газ над данным элементом и которая выражается формулой (25)); эта работа прк постоянном давлении равна Л йТ в силу (23).

Сумма работы Л((Т и увеличения внутренней энергии с, НТ должна равняться полному првтоку тепла срнТ. Типичный интервал значений у: от макс«малького значения 5!3 для одноатомного газа, внутренняя анергпя которого просто равна энергии поступательного дввн;ения молекул (дающей вклад (312)Л в с„), н 7(5 для двухатомного газа (в котором энергия вращения молекул дает дополнительную добавку Л к с„), до таких низких значений, как 1,2 и дан;е 1,1 для многоатомных газов при высокой температуре (с дальнейшим значительным увеличенном с, из-за колебаний молекул). Во всех этих случаях формула (27), утверядаюшая, что квадрат скорости звука с' превышает его ньютоновское аиачение в у раз, хорошо подтверждается наблюдениями. Для жидкостей или газов, плотность которых слишком велика, чть.ы их можно было считать «совершенными газэмю>, простое уравнение состояния (23) и функциональное соотношение между Е и Т должны быть ааменены более сложными соотноше- ниями р = р (р, Т), Е = Е (р, Т), (30) с' = усть (31) в котором «ньютоновское» значение сн равно др!др при посто- явной температуре Т, а у по-прежнему определяется формулой (29) как отношение удельных теплоемкостей.

Это объясняется тем„что любое малое изменение температуры с(Т при постоянном давлении приводит к изменению плот- ности (р=— др! дТ др/др с1Т (32) так что отношение подвода тепла с(Š— рр 'с(р при постоянном давлении к подводу тепла (дЕ(дТ)дТ хри постоянном объеме но с«по-прежнему выражается как с(рЫр при условии выпол- нения равенства (25). Довольно удивительно, что здесь, как и ранее, выполняется соотношение 1.

Звуеовыв во«вы составляет С другой стороны, изменение плотности, удовлетворяющее соотношению (25), отвечает изменению температуры Ит рр 2 — еЕ!др и, де/дт р так что, используя для у определение (31), приходим к соот- ношению (35) которое, очевидно, совпадает с (33). Более глубокое проникновение в природу скорости звука дает общая термодинамическая теория, использующая понятие «энтропии». Подробные сведения об энтропии н ее свойствах можно найти в курсах термодинамики н статистической физики; здесь же кратко описываются только те свойства, которые необходимы для изучения волн в жидкости. Энтропия — это некоторая величина, которая остается постоянной в любом «обратимом» процессе, подобном изменениям, постулированным выше для звуковых волн.

В обратимом процессе внутренняя энергия Е единицы массы газа меняется точно на величину, даваемую формулой (25); никакие дополнительные изменения вследствие перехода кинетической энергии в тепло или передачи тепла извне здесь не имеют места; кроме того, прн таком процессе жидкость нли газ продолжает удовлетворять тем»ке соотношениям (30), которые характеризуют условия ' .равновесия, Таким образом, обратимым является процесс, в котором отсутствуют резкие градиенты по пространству и по времени, так что: (1) влияние обусловленной вязкостью днсснпации энергии в тепло и теплопроводности пренебрежимо мало и (П) распределение тепловой энергии между различными формами молекулярного движения остается близким к равновесному распределению. Этот процесс обратим, поскольку равное и противоположное изменение восстанавливает начальное состояние через ту же совокупность равновесных состояний.

Отсюда следует, что если градиенты в звуковой волне не слишком велики, то энтропия Я единицы массы остается постоянной. Соответственно если для данной жидкости или газа, находящегося в условиях равновесия, можно вывести соотношение (36) р =р(р 8)в з.о. Скорость звука то сз = др(др, (37) где частная производная теперь берется при постоянной Я. Энтропия, однако,— это не просто любая величина, которая сохраняет свое постоянное значение в обратимом процессе (процессе, который, в частности, удовлетворяет соотношению (25)); энтропия н абсолютная температура Т определяются таким обрааом, что любое отклонение от условия (25) при переходе от одного равновесного состояния к другому близкому к нему состоянию определяется уравнением йŠ— рр 'др = Т63; (38) иначе говоря, полное подводимое тепло равно ТНЯ.

Если все переменные представить в виде функций от р и Т, как в формулах (30), то из уравнения (38) следует, что дд 1 / дЕ г1 дЯ 1 дЕ др Т 1 др !' дТ Т дТ' (39) Учитывая, что дзд!дрдТ = д'Я,'дТдр, получаем соотношение Максвелла (40) дЕ7др = (р — 7др,'дТ)р ', которое можно подставить в формулу (ЗЗ) и найти выражение 7 через величины, которые могут быть измерены: 7 = 1 + азТсй/с„ (41) где а — коэффициент расширения жидкости или газа ( — др((рд Т)) прн процессе с постоянным давлением; с учетом и имеем для произвольного процесса Нр = сн(др + ирдТ), (42) откуда моязно найти др/др и др~дТ, подставить в (33) и (40) и получить соотношение (41). Величина у всегда превышает единицу, но это превышение для большинства жидкостей аначительно меньше, чем для большинства гааов. Это превьппение весьма мало для холодной воды с необычно малой величиной произведения аТ (величина, которая в действительности стремится к нулю при Т=- 277 К).

Значения иТ для наиболее типичных жидкостей, как правило, близки к значению для горячей воды; в этом случае произведение аТ увеличивается до 0,27 при Т = 371 К (т. е. при 98 'С), что дает величину у = 1,1. Скорость звука с в воде составляет приблиаительно 1400 м!с, и подобные значения характерны для большинства жидкостей. 24 е, Зеукоеые еелкк Второй закон термодинамики утверждает,что полная энтропия в любой теплоизолированной системе никогда не может уменьшаться. Происходящие процессы либо являются обратимыми и при этом энтропия остается постоянной, либо не обладают свойством обратимости н при этом энтропия увеличивается, как, например, в случае, когда в результате обусловленной вязкостью диссипации кинетической энергии получается приращение тепла ТИК или когда некоторое количество тепла передается от части системы с более высокой температурой Т к части системы с более низкой температурой (так что последняя приобретает больше энтропии, чем теряет первая).

С точки зрения статистической физики энтропия является мерой случайности организации системы молекул вещества, и в обратимых процессах эта мера остается постоянной, в то время как при необратимых изменениях ее полная величина для изолированной сисоемы может только увеличиваться, так как система движется в области «пространства состояний» со все болыпей и болыпей вероятностью. В звуковых волнах любые необратимые процессы, включая вязкость и теплопроводпость, которые не принимались во внимание в равд. 1.1, должны таким образом приводить к увеличению полной энтропии и соответственно к нагреву жидкости, через которую проходит звуковая волна, и соответствующей постепенной диссипации механической энергии звуковой волны (смысл этой величины будет уточнен в равд.

1.3). Количественное исследование процесса диссипации проводится в равд. 1.13. Теперь можно остановиться вкратце на возможном влиянии на распространение звука еще одного фактора, которым мы пренебрегали в равд. 1.1, а именно поля внешних сил, в частности поля силы тяжести. Его наличие означает, что давление р, и Плотность р, в невозмущенной жидкости не являются постоянйыми, а удовлетворяют гидростатнческому соотношению туРо = Роя (43) где П вЂ” вектор ускорения силы тяжести. Однако сначала предполояоим, что энтропия единицы массье в невозмущенной жидкости имеет постоянную величину, н, следовательно, остается постоянной (если пренебречь процессами диссипации) в течение всего процесса распространения звуковой волны. Тогда линеаризованное уравнение количества движения (4), которое теперь будет содержать в правой части дополнительный член рп, после вычитания из него соотношения (43) и учета соотношения (37), связывающего Р и р при постоянной антропии, примет вид Ро ди1до+ ое' (Р— Ро) = (Р— Ро)й = (Р— Ро)дс о.

(44) э.з. Акустическая энергия и акустичсскаа интсксиэнссть 25 Отношение характерной величины градиента»7 (р — рэу в уравнении (44) к характерной величине р — рс равно 2л,'),, где Х вЂ” характерная длина волны. Следовательно, влияние силы тяжести на любую звуковую волну с длиной волны г, многа меньшей, чггк сЧд, оказывается пренебрежимо малым. Для воздуха отношение сг(д равно приближенно 12 км, так что влияние силы тяжести пренебрежимо мало для всех обычных звуковых волн.