В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу

В А.ТРЕНОГИН Б М. ПИСАРЕВСКИЙ Т. С. СОБОЛЕВА ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Допуи1гзго дгпкистерством висшего и среднего спекиольного образования СССР в качестве учебного пособил длл студентов вузов, обучающиксл по специальностлш «Математика», г Прикладнал матеМатикае МОСКВА еНАУКАз ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ РИЗИКО МАТЕЛ1АТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ !98$ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Г л а в а 2. Линейные операторы $7, Непрерывность, ограниченность н норма линейного оператора 8. Пространство ограниченных линейных операторов 4 9.

Обратные операторы 4 10. Эанкпутые операторы 46 51 58 62 Г л а в а 3. Сопряженные пространства н еопрнженные операторы 4 ГБ Непрерывные линейные функционалы . 4 12. Теореме Хана — Банаха. Структура сопряженного пространства 4 !3. Слабая сходимость. Рефлексивность 4 14.

Сопряжеппые операторы 67 79 73 НБ № 42«аз Глава 4. Компактные множества и вполне непрерывные операторы $15. Компактные множества в нормярованвых пространствах 4 16. Линейные вполне непрерывные операторы . $17. Нормально разрешимые операторы . 81 88 96 Спектральная тео- самосопряженкого 102 102 107 Ш ~ДИздательства «Наука», Главная редакция фи«ива-квтенатическол литературы, !064 1702050000 — 125 О531021-84 Задача в упражнения по функциональному анализу.

Т реп от и н В. А., П и с а р е в с к и й Б. Ы., Соболе в а Т. С.— Мл Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984,— 256 с, Сборник содержит вадвчи по всем основным разделам курса функционального анализа, читаемого в вузах. Он ориентирован на учебное пособие В, А. Треногинв «Функциональный ааалпч», вышедшее в 1980 г, Рамки задачника несколько шире требований программы. В вадачник вошли такие разделы, канн «Нелинейнв!е операторные уравнения в банаховых пространствах», «Дискретные прпблин«енил решений операторных уравнений», «Монотонные операторы», «Элементы теории экстремумов п выпуклого аваниза» и др. Р е ц е к з е н т ы: кафедра высшей математики Московского инженерно-физического института: доктор фиаико-математнческпх науа А. А, Кирилка«.

Владилен А.чександрович Т р е н о г и н Бориа Меероввч Пи с врез ск и П Татьннв Сергеевна С о б о л а в в ЗАДАЧИ И УПРАИ!НИНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Редактор А. И. Ш т е рн Техн. редактор С. Я. Ш к л я р КарректарыТ. Г. В!орава,И. Я.

криш»аль сдаяо а набор !0 саиз. подписано к печати 06.07.84. Формат 84к!080, Бумага тип. № 3. Обыкновенная гарнитура. Высокан печать Услоен. печ. л. !3,44 Условя. кр-атт. !3,44. Уч.-над. л. 44,84. Твраж 20000 вкз, За- каз № 806. Цека 80 кап, Главная редакция физико-математическая литературы 447071, москва, В-71, ленинская проапект, 16 4-н тноографся нэдатезььт»а «Наука» 630077, Новаспбирск, 77, Станнсл«вского, 23 Гл аз а 1. Нормированные пространства 1. Линейные нормированные пространства 2. Балахоны пространства 3. Гнльбертовы пространства $ 4, Пространства Лебега и Соболева $ 5.

Построение элемента наилучшего приближении гпльбертовых и банаховых пространствах . $ 6. Метрические пространства Г л а в а 5. Самоеопряжеяные операторы. рия 6 18. Самосопряженные операторы 4 19. Спектр лилейного оператора 4 20. Спектр вполне непрерывного и оператора 9 9 22 33 в 37 43 127 127 136 146 операторных 151 151 164 170 177 ПРЕД11СЛОВИЕ 186 186 105 201 205 Ответы н указания 250 25ч 254 Литература Список обозначоихгй . Предметкып указатель 1 21. Линейные интегральные уравнения,, .

114 1 22. Неограипченпыс операторы в гпльбертовом пространстве . . . . . . . . . . . . 123 Г л а в а 6. Нелинейные операторы и уравнения в банаховых пространствах 1 23. Дифференцирование нелинейных операторов 1 24. Привцихь сжимающих отооражсппй; нтсрацнонх1ый процесс Ньютона п принцип неподвижной точки Шаудера 1 25, Неявные операторы Г л а в а 7. Дискретные приближения решений уравнений 1 26. Приблинхепяые и ратиостпыс схемы 1 27. Нптерполкцпя сплайпачи 1 28, Приближенные схемы Галеркппа 29.

Метод монотоппьы операторов Глава 8. Элементы теории акстремума и выпуклого анализа 1 30. Необходимые условия экстремума функционала 1 31. Достаточпью условия вкстремума функционала 1 32. Полунепрерывпые к выпуклые фуакцнопалы . Функцпональнып анализ — одна пз ванпгейших областей современной ыатематики. Его' 'возникновение и разиптие связано с именами таких крупнейших ученых как Д.

Гильберт, Ф. Рисе, С. Бапах, М. Фреше, А. Н. Колмогоров, С. Л. Соболев, А. Н. Тихонов, С. М. Никольский и др. Началом создания функционального анализа можно считать систематическое построение теории операторов в бесконечномерных гпльбертовых ггространствах, а затем п в линейных нормированных пространствах (начало ХХ века). Важной особенностью функционального анализа является общая абстрактная форма рассмотрения проблем анализа, позволяющая единообразно исследовать далекие, казалось бы, друг от друга вопросы.

Именно поэтому сегодня пдеп, нопцепцнп и методы функционального анализа пронизывают чуть ли не все области математики, объедтп«яя пх в единое целое. Функциональный анализ играет важную роль в современном математическом образовании инженера-исследователя, которому предстоит применять математические методы в конкретной ооластп науки. На языке функционального анализа получают ясное выражение основные проблемы прикладной п вычислительной математики.

Предлагаемый задачник рассчктан на студентов технических вузов, специализирующихся в области прикладной математики. Его структура и применяемая терминология ориентированы на учебное пособие В. А. Треногипа «Функциональный анализ» 125]. Однако задачник составлен так, чтобы читатель мог пользоваться любым другим пособием по функциональному анализу. Задачник будет полезен инженерам, математикам-прикладникам при изучении курса функционального анализа, студентам университетов прн первоначальном изучении этого курса. Данный аадачнпк отражает многолетний опыт авторов по преподаванию функционального анализа в Московском фиаико-техническом институте, Московском институте нефтехимической и газовой промышленности пм. И.

М. Губкина, Московском институте стали и сплавов. Наряду с традиционными задачами, при состквленин которых была использована приведенная в конце книги литература, сборник содержит большое число новых, отвечающих современным потребностям практики. Сюда, в частности, относятся все задача, при решении которых предполагается использование ЭВМ, многие задачи нелинейного и прикладного функционального анализа. Сборник неоднороден по своему содержанию. По ная'- дой теме имеются аадачи различной степени трудности, предназначенные как для аудиторной, так и для самостоятельной работы студентов. Кроме аадач технического нли вычислительного характера имеются задачи, поаволяющие лучше уяснить то кли иное понятие илн результат. Встречаются группы задач, которые могут служить для самостоятельного научения отдельных вопросов теории, представляя непростое утверждение в виде его разложения на более плп менее элементарные упражнения. Кподавляющему большинству задач приведены ответы илп указания к решениям.

Задачник состоит пз восьми глав, каждая нз которых содержит, в свою очередь, несколько параграфов. Параграф начинается с краткого теоретического введения, содержащего необходимые для решения последующих задач основные определения и теоремы, а также краткие описания используемых математических приемов. Иногда теоретические сведения вклиниваются внутрь параграфа, предшествуя группе задач па заданную тему. В главе 1 подобраны задачи, относящиеся к теории линейных нормированных, бапаховых, гильбертовых, лебеговых, соболевских и метрических пространств.

Отдельный параграф (з 5) посвящен важному в приложениях вопросу построения элемента наилучшего приближения в гильбертовых н банаховых пространствах. Глава 2 включает материал по теории линейных операторов. Наряду с задачами общего плана, связаннымп с понятиями непрерывности, ограниченности, нормы ли- нейных операторов, а также обратного оператора, значительное внимание уделено конкретным линейным операторам, в частности, интегральным и дифференциальным, которые находят шкрокое применение в решении прикладных задач.

Рассматриваются также и неограниченные замкнутые линейные операторы. Задачи по теории сопряженных пространств и сопряженных операторов подобраны в главе 3. В главе 4 рассмотрены компактные множества, вполне непрерывные и нормально разрешимые операторы. В главе 5 собраны задачи по теории' самосопряженкых операторов в гильбертовых пространствах, задачи на теорию спектра линейного, вполне непрерывного и само- сопряженного операторов. Специальные параграфы посвящены линейным интегральным уравнениям. Рассматриваются решения интегральных уравнений !1 рода, а также метод регуляризации для интегральных уравнений 1 рода (з 21).