Главная » Просмотр файлов » Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988)

Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 110

Файл №1127099 Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988)) 110 страницаР. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099) страница 1102019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 110)

П 8.5. Определение. Периодическая последовательность в„, с минимальным периодом г называется чисто периодической, если равенство в„,г =- вв выполняется для всех п =- О, 1, „, . Следующее условие, которое иногда встречается в литературе, эквивалентно определению чисто периодической последовательности. 8.6, Лемма.

Последовательность дн в„... является чисто периодической тогда и только тогда, когда суи(ествует целое число г» О„л»акое, что вв», = ав для всех п = О, 1, .... Доказал»ельство. Необходимость приведенного условия очевидна. Далее, если условие выполняется, то в„в„... является периодической последовательностью н, следовательно, имеет минимальный период г„причем равенство в„,„, = ав справедливо для всех п» и, н некоторого и, е 1»). Пусть теперь л — произвольное целое неотрицательное число, и выберем такое целое т =:= л,, для которого т = л (глос( г).

Тогда в„,„, = в,„, = — 8„- в„, откуда вытекает, что последовательность а„в„... является чисто периодической в смысле определения 8.5. () Пусть в„вы ... — периодическая последовательность, а г— ее минимальный период, Наименьшее неотрицательное целое число л„, такое, что в„,„= ав для всех п» л„называется предпсриодом этой последовательности.

Периодическая последовательность является чисто периодической, если ее предпериод Равен О. Вернемся теперь к линейным рекуррентным последовательностям над конечными полями н установим основные результаты о свойствах периодичности у таких последовательностей.

8 7. Теорема. Пусть г'» — произвольное конечное поле, а й— ""которое натуральное число. Тогда каждая линейная рекуррентноя последовательность й-го порядка над полем г'» является периодической, При мпом ее минимальный период г удовлетворяет "сровенству г < д», а в случае однородной последовательности— неравенству г < у» — 1. , Показательство. Заметим прежде всего, что существует ровно Различных упорядоченных наборов по й элементов нз поля Г». 5* Гл. 8. Линейные ренуррентные последовательности Поэтому если расслютреть совокупность векторов состояний в О 4 т л дь, данной линейной рекуррентной последовательное й-го порядка ннд полем К„то для некоторых г, 1, О ~ г' < 1 ( должно выполняться равенство з; = зг.

Из соответствующе' линейного рекуррентного соотношения и принципа математич ской индукции можно получить равенство з„„. г == з„для в и .. г'. Последнее означает, что наша линейная рекуррентная и" следовательность является периодической последовательностью если г — ее минимальный период, то г . 1' — г' ~ г)". Рассмотр теперь однородную линейную рекуррентную последовательность.' Если ни один нз ее векторов состояний не является нулев вектором, то, проведя аналогичные рассуждения с заменой на гге — 1, можно получить неравенство г;-., г)' — 1.

Если один нз ее векторов состояний является нулевым вектором, все следующие за ним векторы состояний тоже являются нул выми векторами и, значит, последователыюсть имеет пери г =-= 1 с-. г)ь — !. Теорема доказана. 8.8. Пример. Верхняя оценка для г, полученная в теореме 8. достижима. Это можно показать, рассмотрев линейную рекурре ную последовательность первого порядка над полем Гр (р — пр ' етое число), задаваемую соотношением з„„=- ьв + 1, п = 1, ..., н произвольным начальным значением з, р К„. Если Ге " произвольное конечное поле, а д — примитивный элемент это поля (см.

определение 2.9), то однородная линейная рекуррентн ' последовательность первого порядка над этим полем, задаваем " соотношением зн„, = пз„, и = О, 1, ..., з, ~ О, имеет минимал ный период г == г! — 1. Таким образом, доказана достижим верхней границы для г и в однородном случае. Позже мы покаже что в случае произвольного поля К и любого целого )г )~ ! сущ' ствует однородная линейная рекуррентная последовательносгг й-го порядка над полем Ке, имеющая минимальный период г =- гг" — ! (см, теорему 8.33). 8.0. Пример. Нетрудно заметить, что минимальный пери ' однородной линейной рекуррентной последовательности перво.

порядка над полем Ге делит число г) — 1. Однако для )г )~ минимальный период однородной линейной рекуррентной п . следовательности гг-го порядка не обязан делить число де — 1„' Так, например, можно проверить, что рекуррентная последовв' тельность зе„з„... над полем К„задаваемая рекуррентным с ношением з„,. =- з„„+ з„. гг = О, 1, ..., и начальными зна ниями зе'-- О, хг = 1, имеет минимальный период, равный 20.

8.10. Пример. Лиггейная рекуррентная последовательн над конечным полем является периодической последовательность но не обязана быть чисто периодической последовательность Для доказательства этого достаточно, например, рассмотр 1 !. Регистры сдвига с обратной связью 50! линейную рекуррентную последовательность ~, з„... 2-го поРядка над полем г'я, задаваемую рекуррентным соотношением ,, -- з„„„п = О, 1, ..., и условием д, ~= в,. и Следующий результат дает важное достаточное условие для чистой периодичности линейной рекуррентной последовательности.

8,11. Теорема. Пусть ~, в„... — линейная рекуррентная иостед вательность над конечным полем, удовлеигворяюи(ая линейн..ну рекуррентному соотношению (8.1). Если коэффициент а в (8 1) не равен О, то последовательность дь в„... является чис/ио периодической. Доказа/иельство. По теореме 8.7 линейная рекуррентная последовательность ва, з,, ... является периодической последовательностью. Если / — ее минимальный период, а и, — предпеРиод, то з„,„= в„для всех и ~~ и,.

Допустим, что в нашем случае и„,е- 1. Из соотношения (8,1), полагая п =- и + / — 1 и учитывая, что а, ~= О, получаем — 1/ Ьт» —.-- ао (Вт-~-Я вЂ” ЬЬ» аа — 1Вя~+а — 2-1-» ' ' ' а!Ва -1-» а) = — 1/ = ао (вт-са — ~ — аа,за +а, — ° ° ° — а,з„— а). Используя соотношение (8.1) для и = и„— 1, приходим и такому же выражению и для ва, 1, откуда следует равенство зя„~,, --- з„„~ . Последнее противоречит тому, что и является нредпеРиодом послеДовательности Дь во ....

(з 1!усть в„, в,, ... — однородная линейная рекуррентная последовательность степени й над полем !г'ч, удовлетворяющая линейному рекуррентному соотношению з„,я = а„,в„„, + а„,в„вя,+ +а,в„, и =О, 1,..., (8.2) где а, Е Г,, 0 (1 (й — 1. С этой линейной рекуррентной последовательностью можно связать матрицу А над полем Га размера й;/ й следующего вида: 0 0 0...0 ао 1 0 0...0 ат 010...0 аз (8.3) 0 0 0...1 аят ~:-с1и к -- 1, то под матрицей А понимается матрица А = (аа) Размера 1к!.

Заметим, что матрица А зависит только от линейРекуррентного соотношения, определяющего данную рекуррентную последовательность. Гл. 8. Линеяыыс рекуррсогные послелоаательности 8.12. Лемма. Если з„э„... — однородная линейная рекуррен ная последовательность над полем Гч, удовлетворяющая соотн шению (8.2), а А — матрица, связанная с этой последовате пастью и задаваемая равенством (8,3), т о для векторов сосгпоян последовательности дь э,, ... справедливо равенство з„= — -з„А", п=--О, 1, ...

(8 Доказательство. Так как за = (э„, э„„, ..., э„,„,), то, к' нетрудно проверить, для всех и ~~ О выполняется равенст ' з„„=- а„А, откуда по индукции получается (8.4). Заметим, что множество всех невырожденных й и я-митр над полем Еч образует конечную группу относительно операци матричного умножения. (Зта группа называется общей линейно группой бь(й, го).) 8.!3. Теорема.

Пусть э„, э„... — однородная линейная реку . рентная последовательность и-го порядка над полем Гю так что выполняется соотношение (8.2) и а, Ф О. Тогда минилгальн период данной последовательности делит порядок связанной с не' матрицы А, определенной формулой (8.3) и рассмагприваемой к ' элемент общей линейной группы 6Е (Ь, !)'ч), Доказательство. Так как де1 А = ( — !)ь ' а, Ф О, то и трица А действительно является элементом группы 6Е (я, !1' Если т — порядок А как элемента группы 6Е (к, Ко), то из лемм' 8.12 получаем, что з„, =- заАлч~ =- а,А" =-з„для всех п)~ Отсюда следует, что т является периодом рассматриваемой р куррентной последовательности.

Утверждение теоремы вытека теперь из леммы 8.4. Отметим, что приведенные выше рассуждения вместе с лемм 8.6 дают другое доказательство теоремы 8.1! для однородно случая. Кроме того, из теоремы 8.!3 следует, в частности, ч минимальный период последовательности э„э,, ... делит порядо группы бь (й, К ), который, как известно, равен ум и (г) — 1)(уа — 1)... (у — 1) Пусть теперь з„э„... — неоднородная линейная рекуррентна последовательность Ь-го порядка над полем !1', удовлетворяюща соотношению (8.!).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
14,01 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее