Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики, страница 9

Запишем сс в виде А ох)э'(()сг — аа()', = А схр ~ — '(рг — Е()„. (2.13) " мя оптике в течение столстня слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории вещества обратная ошибка?*' (Л, дс Бройль) Опыты Дэвиссона и Джермсра произвели в свое время колоссальное впечатление. Они показали, что традиционное, так сказать, чисто корпускулярнос понимание такой фундаментальной физической сущности, как частица является неполным.

Оказалось, что частицы обладают типичньи ми волновыми свойствами. Они, т. с. частицы, создают дифракционную картину! Вскоре дифракционныс картины были получены в привычной форме при фотографировании пучков электронов, рассеянных при прохождении через тонкие поликристалличсскис металлические пленки, например через золотую фолыу. В этих опытах были получены системы интсрфсрснционных колец типичныс дсбасграммы, стандартно получаемые при рентгеновском исследовании поликристалличсскнх ооразцов. Дж. П. Томпсон развеял возможные сомнения, простым и остроумным способом доказав, что эти кольца денствитсльно вызваны рассеянными электронами, а нс вторичными рентгеновскими лучами.

Он магнитным полем смеюал интерфсрснционную картинку, менял се контрастность, смазывал сс вовсе. На рентгеновское жс излучение, как известно, магнитное попс нс действует. Факз дифраьции электронов установлен достаточно твердо. К настоящему времени более чем полувековой опыт электронной микроскопии подтверждает это. Так, например, постоянньтс кристаллов, опрсдсленныс из опьпов с электронами, совпадают с известными значениями, полученными другими методами (в частности, при исследовании дифракции рентгеновских лучей).

В предыдущем иапо>кении было показано, что энергия светового кванта связана с частотой колебаний в световой волне формулой 2.4. Волям де Бройля Л= — '= ь л (2.!4) Для нерелятивистских электронов (и « с) энергия равна Š— -- р /2гп и Л зкл .Лте (2.15) Если энергию электрона измерять в электрон-вольтах (т. е. считать, что электрон пэпошел разность потенциалов К (Вольт)), то при его массе па =- = 9,1 10 -" г окажется Л=,/ — А. (2.16) При ускоряюшем потенциале в 150 В это дает значение длины волны в с 1 А. Волны де Бройля обычно очень короткие. Например, для молекулы водорода Нз при энергии теплового движения в 6 10 з эрг, отвечающей температуре в 300 К, (гп = 8,8 !О з~ г) длина волны де Бройля составляет 1 Л, что хорошо соответствует размеру этой молекулы, известному из газокинетических соображений.

Очень важное свойство волн дс Бройля состоит в том, что их групповая скорость совпадает со скоростью механического движения частицы. Рассмотрим волну дс Бройля, приняв для простоты записи, что она распространяется вдоль оси Ох: Ф(аь 1) = А ехр11(йтт — ы()). Фаза этой волны " =- йл . ый Тогда координата точки постоянной фазы ко+ с зео равна х == - — .Фазовая скорость, по определению равная скорости ь распространения точки фиксированной фазы, составляет тогда (2.18) что является соотношением, хорошо известным в теории волн.

Здесь использованы соотношения (2.11) и (2.12). Хотя (2.13) выглядит как тавтологически тождественная перезапись известного выражения, только лишь с заменой обозначений, на самом деле применение равенств (2.11)— (2.13) имеет глубокий смысл. С одной стороны, это означает, что электромагнитной волне с частотой ы и волновым вектором к ставится в соответствие частица фотон с энергией Е = йы и с импульсом р =. /1)с. С другой стороны, эю означает, что частице с энергией Е и импульсом р ставится в соответствие волна с частотой ы = Е(й и волновым вектором )с = р/6. Поставленная таким образом в соответствие электрону волна называется волной де Бройля.

Бе длина равна 42 Гл 2. 1Гвпптпвпнпевли~кролтре, еоотггошеггяеггеппределеппоепгей вэ = ЬК-'(2гп. (2.19) Согласно (2.18) фазовая скорость равна ль вд Ь Зт пгЛ и зависит от волнового числа й (т. е. от длины волны), что и свидетельствует о наличии дисперсии. Зто, в свою очередь, приводит к отличию групповой скорости от фазовой. Групповая скорость есть производная частоты по вол- новому вектору, и мы имеем: яь р Ир: ": ': ': и.

вя гп т (2.20) где и скорость частицы как механического объекта. Тот факт, что групповая скорость волны де Бройля, ассоциируемой с частицей, совпадает со скоростью движения частицы в реальном трехмерном пространстве, имеет, конечно, глубокий смысл. Нельзя не отметить при этом, что определение групповой скорости как скорости перемещения в пространстве центра тяжести некоего волнового пакета становится таким образом более наглядным. Итак, рассмотрев ряд ключевых экспериментов и их трактовку, мы пришли к необходимости так строп гь физику микромира, чтобы она правильно передавала как волновые, так и корпускулярные свойства частиц и волн. Эта физика должна удовлетворять очень важному непременному условию: она должна переходить в классическую физику при переходе к макрообъектам. Это требование называется приггцггпогг еоопгвепгспгвпя Бора.

Вернемся к волнам де Бройля. Их физический смысл был осознан не сразу. Первоначально частицы рассматривались как образования из волн, должным образом распределенных в пространстве. Это волновое образование по существу рассматривалось как сама частица. Интенсивность волны де Бройля рассматривалась как величина, характеризующая плотность среды, из которой образована частица. Частица физически, так сказать, "размазывалась" по пространству в соответствии с распределением интенсивности волны де Бройля. Такое понимание носит соверпгенно классический характер. Действительно, из волн всегда можно построить путем суперпозиции некоторого Зависизгосз ь фазовой скорости волны от волновою числа означает наличие дисперсии.

Для электромагнитньгх волн дисперсия обусловлена свойствами материальной среды распространения излучения. В пустом и неограниченном пространстве для электромагнитною излучения дисперсии нет. Оказывается, однако, что для волн де Бройля дисперсия существует и в пустом пространстве. Зто происходит в силу наличествующей в этом случае связи между энергией и импульсом. В нерелятивистской области (ъ « с) энергия равна Е =- р-',~2гп. Но, вместе с тем, Е .— )ке, р = !А, и мы получаем 2 5.

Дяфраквня на дсзх ~исььт их числа требуемые волновые образования --- волновые пакеты, движущиеся с групповой скоростью г = и„,. Однако это ошибочное представление: вследствие дисперсии, описываемой уравнением (2.19), волновой пакет неизбежно расплывается даже в пустоте. Размер частицы возрастает, она становится неустойчивой. Это во-первых. Л во-вторых, при прохождении электронов через пол икристаддичсскунэ фольгу была получена система дифрагировавших пучков.

Если их регистрировать по отдельности (что технически возможно), то можно было бы ожидать, что регистрируется часть электрона, часть неделимой частицы. Все это — нарушение принципа атомизма и резко противоречит опыту. В то же время настоящий волновой пакет впозне возможно разделить на части и регистрировать эти части по отдельности. Точно так же неверно думать, что волны де Бройля всего лишь сопровождают частицы, что они как-то образуются частицами. Дело в том, что наличие дифракционной картины не опредедяется интенсивностью потока частиц.

Если частиц мало, надо только подождать и дифракционная картина проявится. Поэтому существование волновых явзений нельзя связывать с одновременным когерентным действием большого числа частиц. Правильной оказалась статистическая трактовка, предложенная Максом Борном в 1926 г. 2.5. Дифрнкция иц двух щелих Рассмотрим ддя начала опыт по распространению световой волны через перегородку с двумя щелями (рис. 2.7).

Экран Рнс. 2.7. Днфракцня света на экране с двумя щелямн Поместим фотоэлемент, регистрирующий фотоны, в максимум дифракционной картины. Поставим вопрос: через какую из двух щелей прошел фотон, который только что бьш зарегистрирован фотоэлементом? В поисках ответа закроем одну из щелей. Обозначим количество регистрируемых 44 Гл 2. Квантование втинроиире, еоотно~аение оеопредененноетев при этом фотонов через аз.